HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hodcl Unicode version

Theorem hodcl 23092
Description: Closure of the difference of two Hilbert space operators. (Contributed by NM, 15-Nov-2002.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hodcl  |-  ( ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H )  /\  A  e. 
~H )  ->  (
( S  -op  T
) `  A )  e.  ~H )

Proof of Theorem hodcl
StepHypRef Expression
1 hodval 23087 . . 3  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H  /\  A  e.  ~H )  ->  ( ( S  -op  T ) `  A )  =  ( ( S `
 A )  -h  ( T `  A
) ) )
2 ffvelrn 5801 . . . . 5  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  A  e.  ~H )  ->  ( S `  A
)  e.  ~H )
323adant2 976 . . . 4  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H  /\  A  e.  ~H )  ->  ( S `  A
)  e.  ~H )
4 ffvelrn 5801 . . . . 5  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  A  e.  ~H )  ->  ( T `  A
)  e.  ~H )
543adant1 975 . . . 4  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H  /\  A  e.  ~H )  ->  ( T `  A
)  e.  ~H )
6 hvsubcl 22362 . . . 4  |-  ( ( ( S `  A
)  e.  ~H  /\  ( T `  A )  e.  ~H )  -> 
( ( S `  A )  -h  ( T `  A )
)  e.  ~H )
73, 5, 6syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H  /\  A  e.  ~H )  ->  ( ( S `  A )  -h  ( T `  A )
)  e.  ~H )
81, 7eqeltrd 2455 . 2  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H  /\  A  e.  ~H )  ->  ( ( S  -op  T ) `  A )  e.  ~H )
983expa 1153 1  |-  ( ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H )  /\  A  e. 
~H )  ->  (
( S  -op  T
) `  A )  e.  ~H )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1717   -->wf 5384   ` cfv 5388  (class class class)co 6014   ~Hchil 22264    -h cmv 22270    -op chod 22285
This theorem is referenced by:  hodcli  23108
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2362  ax-rep 4255  ax-sep 4265  ax-nul 4273  ax-pow 4312  ax-pr 4338  ax-un 4635  ax-resscn 8974  ax-1cn 8975  ax-icn 8976  ax-addcl 8977  ax-addrcl 8978  ax-mulcl 8979  ax-mulrcl 8980  ax-mulcom 8981  ax-addass 8982  ax-mulass 8983  ax-distr 8984  ax-i2m1 8985  ax-1ne0 8986  ax-1rid 8987  ax-rnegex 8988  ax-rrecex 8989  ax-cnre 8990  ax-pre-lttri 8991  ax-pre-lttrn 8992  ax-pre-ltadd 8993  ax-hilex 22344  ax-hfvadd 22345  ax-hfvmul 22350
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2506  df-ne 2546  df-nel 2547  df-ral 2648  df-rex 2649  df-reu 2650  df-rab 2652  df-v 2895  df-sbc 3099  df-csb 3189  df-dif 3260  df-un 3262  df-in 3264  df-ss 3271  df-nul 3566  df-if 3677  df-pw 3738  df-sn 3757  df-pr 3758  df-op 3760  df-uni 3952  df-iun 4031  df-br 4148  df-opab 4202  df-mpt 4203  df-id 4433  df-po 4438  df-so 4439  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-iota 5352  df-fun 5390  df-fn 5391  df-f 5392  df-f1 5393  df-fo 5394  df-f1o 5395  df-fv 5396  df-ov 6017  df-oprab 6018  df-mpt2 6019  df-riota 6479  df-er 6835  df-map 6950  df-en 7040  df-dom 7041  df-sdom 7042  df-pnf 9049  df-mnf 9050  df-ltxr 9052  df-sub 9219  df-neg 9220  df-hvsub 22316  df-hodif 23077
  Copyright terms: Public domain W3C validator