HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hoeq2 Structured version   Unicode version

Theorem hoeq2 23334
Description: A condition implying that two Hilbert space operators are equal. Lemma 3.2(S11) of [Beran] p. 95. (Contributed by NM, 15-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hoeq2  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( S `
 y ) )  =  ( x  .ih  ( T `  y ) )  <->  S  =  T
) )
Distinct variable groups:    x, y, S    x, T, y

Proof of Theorem hoeq2
StepHypRef Expression
1 ralcom 2868 . . 3  |-  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( S `  y ) )  =  ( x 
.ih  ( T `  y ) )  <->  A. y  e.  ~H  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( S `  y ) )  =  ( x 
.ih  ( T `  y ) ) )
21a1i 11 . 2  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( S `
 y ) )  =  ( x  .ih  ( T `  y ) )  <->  A. y  e.  ~H  A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( S `  y ) )  =  ( x  .ih  ( T `  y )
) ) )
3 ffvelrn 5868 . . . . 5  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( S `  y
)  e.  ~H )
4 ffvelrn 5868 . . . . 5  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  y
)  e.  ~H )
5 hial2eq2 22609 . . . . . 6  |-  ( ( ( S `  y
)  e.  ~H  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  -> 
( A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( S `  y ) )  =  ( x 
.ih  ( T `  y ) )  <->  ( S `  y )  =  ( T `  y ) ) )
6 hial2eq 22608 . . . . . 6  |-  ( ( ( S `  y
)  e.  ~H  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  -> 
( A. x  e. 
~H  ( ( S `
 y )  .ih  x )  =  ( ( T `  y
)  .ih  x )  <->  ( S `  y )  =  ( T `  y ) ) )
75, 6bitr4d 248 . . . . 5  |-  ( ( ( S `  y
)  e.  ~H  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  -> 
( A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( S `  y ) )  =  ( x 
.ih  ( T `  y ) )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( S `
 y )  .ih  x )  =  ( ( T `  y
)  .ih  x )
) )
83, 4, 7syl2an 464 . . . 4  |-  ( ( ( S : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  ( T : ~H
--> ~H  /\  y  e. 
~H ) )  -> 
( A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( S `  y ) )  =  ( x 
.ih  ( T `  y ) )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( S `
 y )  .ih  x )  =  ( ( T `  y
)  .ih  x )
) )
98anandirs 805 . . 3  |-  ( ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H )  /\  y  e.  ~H )  ->  ( A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( S `
 y ) )  =  ( x  .ih  ( T `  y ) )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( S `  y )  .ih  x
)  =  ( ( T `  y ) 
.ih  x ) ) )
109ralbidva 2721 . 2  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( A. y  e. 
~H  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( S `
 y ) )  =  ( x  .ih  ( T `  y ) )  <->  A. y  e.  ~H  A. x  e.  ~H  (
( S `  y
)  .ih  x )  =  ( ( T `
 y )  .ih  x ) ) )
11 hoeq1 23333 . 2  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( A. y  e. 
~H  A. x  e.  ~H  ( ( S `  y )  .ih  x
)  =  ( ( T `  y ) 
.ih  x )  <->  S  =  T ) )
122, 10, 113bitrd 271 1  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( S `
 y ) )  =  ( x  .ih  ( T `  y ) )  <->  S  =  T
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   ~Hchil 22422    .ih csp 22425
This theorem is referenced by:  adjcoi  23603
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-hfvadd 22503  ax-hvcom 22504  ax-hvass 22505  ax-hv0cl 22506  ax-hvaddid 22507  ax-hfvmul 22508  ax-hvmulid 22509  ax-hvdistr2 22512  ax-hvmul0 22513  ax-hfi 22581  ax-his1 22584  ax-his2 22585  ax-his3 22586  ax-his4 22587
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-2 10058  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-hvsub 22474
  Copyright terms: Public domain W3C validator