HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hoeq2 Unicode version

Theorem hoeq2 22411
Description: A condition implying that two Hilbert space operators are equal. Lemma 3.2(S11) of [Beran] p. 95. (Contributed by NM, 15-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hoeq2  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( S `
 y ) )  =  ( x  .ih  ( T `  y ) )  <->  S  =  T
) )
Distinct variable groups:    x, y, S    x, T, y

Proof of Theorem hoeq2
StepHypRef Expression
1 ralcom 2700 . . 3  |-  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( S `  y ) )  =  ( x 
.ih  ( T `  y ) )  <->  A. y  e.  ~H  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( S `  y ) )  =  ( x 
.ih  ( T `  y ) ) )
21a1i 10 . 2  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( S `
 y ) )  =  ( x  .ih  ( T `  y ) )  <->  A. y  e.  ~H  A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( S `  y ) )  =  ( x  .ih  ( T `  y )
) ) )
3 ffvelrn 5663 . . . . 5  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( S `  y
)  e.  ~H )
4 ffvelrn 5663 . . . . 5  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  y
)  e.  ~H )
5 hial2eq2 21686 . . . . . 6  |-  ( ( ( S `  y
)  e.  ~H  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  -> 
( A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( S `  y ) )  =  ( x 
.ih  ( T `  y ) )  <->  ( S `  y )  =  ( T `  y ) ) )
6 hial2eq 21685 . . . . . 6  |-  ( ( ( S `  y
)  e.  ~H  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  -> 
( A. x  e. 
~H  ( ( S `
 y )  .ih  x )  =  ( ( T `  y
)  .ih  x )  <->  ( S `  y )  =  ( T `  y ) ) )
75, 6bitr4d 247 . . . . 5  |-  ( ( ( S `  y
)  e.  ~H  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  -> 
( A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( S `  y ) )  =  ( x 
.ih  ( T `  y ) )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( S `
 y )  .ih  x )  =  ( ( T `  y
)  .ih  x )
) )
83, 4, 7syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( ( S : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  ( T : ~H
--> ~H  /\  y  e. 
~H ) )  -> 
( A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( S `  y ) )  =  ( x 
.ih  ( T `  y ) )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( S `
 y )  .ih  x )  =  ( ( T `  y
)  .ih  x )
) )
98anandirs 804 . . 3  |-  ( ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H )  /\  y  e.  ~H )  ->  ( A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( S `
 y ) )  =  ( x  .ih  ( T `  y ) )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( S `  y )  .ih  x
)  =  ( ( T `  y ) 
.ih  x ) ) )
109ralbidva 2559 . 2  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( A. y  e. 
~H  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( S `
 y ) )  =  ( x  .ih  ( T `  y ) )  <->  A. y  e.  ~H  A. x  e.  ~H  (
( S `  y
)  .ih  x )  =  ( ( T `
 y )  .ih  x ) ) )
11 hoeq1 22410 . 2  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( A. y  e. 
~H  A. x  e.  ~H  ( ( S `  y )  .ih  x
)  =  ( ( T `  y ) 
.ih  x )  <->  S  =  T ) )
122, 10, 113bitrd 270 1  |-  ( ( S : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( S `
 y ) )  =  ( x  .ih  ( T `  y ) )  <->  S  =  T
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   ~Hchil 21499    .ih csp 21502
This theorem is referenced by:  adjcoi  22680
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-hfvadd 21580  ax-hvcom 21581  ax-hvass 21582  ax-hv0cl 21583  ax-hvaddid 21584  ax-hfvmul 21585  ax-hvmulid 21586  ax-hvdistr2 21589  ax-hvmul0 21590  ax-hfi 21658  ax-his1 21661  ax-his2 21662  ax-his3 21663  ax-his4 21664
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-2 9804  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-hvsub 21551
  Copyright terms: Public domain W3C validator