Theorem hoeqi 23269

Description: Equality of Hilbert space operators. (Contributed by NM, 14-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoeq.1	|- S : ~H --> ~H
hoeq.2	|- T : ~H --> ~H

Assertion

Ref	Expression
hoeqi	|- ( A. x e. ~H ( S ` x ) = ( T ` x ) <-> S = T )

Distinct variable groups:   x, S   x, T

Proof of Theorem hoeqi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoeq.1	. 2 |- S : ~H --> ~H
2		hoeq.2	. 2 |- T : ~H --> ~H
3		hoeq 23268	. 2 |- ( ( S : ~H --> ~H /\ T : ~H --> ~H ) -> ( A. x e. ~H ( S ` x ) = ( T ` x ) <-> S = T ) )
4	1, 2, 3	mp2an 655	1 |- ( A. x e. ~H ( S ` x ) = ( T ` x ) <-> S = T )

Syntax hints:   <-> wb 178   = wceq 1653   A.wral 2707   -->wf 5453   ` cfv 5457   ~Hchil 22427

This theorem is referenced by:  hoaddcomi  23280  hodsi  23283  hoaddassi  23284  hocadddiri  23287  hocsubdiri  23288  hoaddid1i  23294  ho0coi  23296  hoid1i  23297  hoid1ri  23298  honegsubi  23304  hoddii  23497  pjsdii  23663  pjddii  23664  pjss1coi  23671  pjss2coi  23672  pjorthcoi  23677  pjscji  23678  pjtoi  23687  pjclem4  23707  pj3si  23715  pj3cor1i  23717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-fv 5465