MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  homahom2 Unicode version

Theorem homahom2 14120
Description: The second component of an arrow is the corresponding morphism (without the domain/codomain tag). (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
homahom.h  |-  H  =  (Homa
`  C )
homahom.j  |-  J  =  (  Hom  `  C
)
Assertion
Ref Expression
homahom2  |-  ( Z ( X H Y ) F  ->  F  e.  ( X J Y ) )

Proof of Theorem homahom2
StepHypRef Expression
1 df-br 4154 . . . 4  |-  ( Z ( X H Y ) F  <->  <. Z ,  F >.  e.  ( X H Y ) )
2 homahom.h . . . . 5  |-  H  =  (Homa
`  C )
3 eqid 2387 . . . . 5  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
42homarcl 14110 . . . . 5  |-  ( <. Z ,  F >.  e.  ( X H Y )  ->  C  e.  Cat )
5 homahom.j . . . . 5  |-  J  =  (  Hom  `  C
)
62, 3homarcl2 14117 . . . . . 6  |-  ( <. Z ,  F >.  e.  ( X H Y )  ->  ( X  e.  ( Base `  C
)  /\  Y  e.  ( Base `  C )
) )
76simpld 446 . . . . 5  |-  ( <. Z ,  F >.  e.  ( X H Y )  ->  X  e.  ( Base `  C )
)
86simprd 450 . . . . 5  |-  ( <. Z ,  F >.  e.  ( X H Y )  ->  Y  e.  ( Base `  C )
)
92, 3, 4, 5, 7, 8elhoma 14114 . . . 4  |-  ( <. Z ,  F >.  e.  ( X H Y )  ->  ( Z
( X H Y ) F  <->  ( Z  =  <. X ,  Y >.  /\  F  e.  ( X J Y ) ) ) )
101, 9sylbi 188 . . 3  |-  ( Z ( X H Y ) F  ->  ( Z ( X H Y ) F  <->  ( Z  =  <. X ,  Y >.  /\  F  e.  ( X J Y ) ) ) )
1110ibi 233 . 2  |-  ( Z ( X H Y ) F  ->  ( Z  =  <. X ,  Y >.  /\  F  e.  ( X J Y ) ) )
1211simprd 450 1  |-  ( Z ( X H Y ) F  ->  F  e.  ( X J Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   <.cop 3760   class class class wbr 4153   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   Basecbs 13396    Hom chom 13467  Homachoma 14105
This theorem is referenced by:  homahom  14121
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-homa 14108
  Copyright terms: Public domain W3C validator