MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  homahom2 Unicode version

Theorem homahom2 13870
Description: The second component of an arrow is the corresponding morphism (without the domain/codomain tag). (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
homahom.h  |-  H  =  (Homa
`  C )
homahom.j  |-  J  =  (  Hom  `  C
)
Assertion
Ref Expression
homahom2  |-  ( Z ( X H Y ) F  ->  F  e.  ( X J Y ) )

Proof of Theorem homahom2
StepHypRef Expression
1 df-br 4024 . . . 4  |-  ( Z ( X H Y ) F  <->  <. Z ,  F >.  e.  ( X H Y ) )
2 homahom.h . . . . 5  |-  H  =  (Homa
`  C )
3 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
42homarcl 13860 . . . . 5  |-  ( <. Z ,  F >.  e.  ( X H Y )  ->  C  e.  Cat )
5 homahom.j . . . . 5  |-  J  =  (  Hom  `  C
)
62, 3homarcl2 13867 . . . . . 6  |-  ( <. Z ,  F >.  e.  ( X H Y )  ->  ( X  e.  ( Base `  C
)  /\  Y  e.  ( Base `  C )
) )
76simpld 445 . . . . 5  |-  ( <. Z ,  F >.  e.  ( X H Y )  ->  X  e.  ( Base `  C )
)
86simprd 449 . . . . 5  |-  ( <. Z ,  F >.  e.  ( X H Y )  ->  Y  e.  ( Base `  C )
)
92, 3, 4, 5, 7, 8elhoma 13864 . . . 4  |-  ( <. Z ,  F >.  e.  ( X H Y )  ->  ( Z
( X H Y ) F  <->  ( Z  =  <. X ,  Y >.  /\  F  e.  ( X J Y ) ) ) )
101, 9sylbi 187 . . 3  |-  ( Z ( X H Y ) F  ->  ( Z ( X H Y ) F  <->  ( Z  =  <. X ,  Y >.  /\  F  e.  ( X J Y ) ) ) )
1110ibi 232 . 2  |-  ( Z ( X H Y ) F  ->  ( Z  =  <. X ,  Y >.  /\  F  e.  ( X J Y ) ) )
1211simprd 449 1  |-  ( Z ( X H Y ) F  ->  F  e.  ( X J Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   <.cop 3643   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148    Hom chom 13219  Homachoma 13855
This theorem is referenced by:  homahom  13871
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-homa 13858
  Copyright terms: Public domain W3C validator