MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  homarcl2 Structured version   Unicode version

Theorem homarcl2 14190
Description: Reverse closure for the domain and codomain of an arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
homahom.h  |-  H  =  (Homa
`  C )
homarcl2.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
Assertion
Ref Expression
homarcl2  |-  ( F  e.  ( X H Y )  ->  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)

Proof of Theorem homarcl2
StepHypRef Expression
1 elfvdm 5757 . . . 4  |-  ( F  e.  ( H `  <. X ,  Y >. )  ->  <. X ,  Y >.  e.  dom  H )
2 df-ov 6084 . . . 4  |-  ( X H Y )  =  ( H `  <. X ,  Y >. )
31, 2eleq2s 2528 . . 3  |-  ( F  e.  ( X H Y )  ->  <. X ,  Y >.  e.  dom  H
)
4 homahom.h . . . . 5  |-  H  =  (Homa
`  C )
5 homarcl2.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  C
)
64homarcl 14183 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( X H Y )  ->  C  e.  Cat )
74, 5, 6homaf 14185 . . . 4  |-  ( F  e.  ( X H Y )  ->  H : ( B  X.  B ) --> ~P (
( B  X.  B
)  X.  _V )
)
8 fdm 5595 . . . 4  |-  ( H : ( B  X.  B ) --> ~P (
( B  X.  B
)  X.  _V )  ->  dom  H  =  ( B  X.  B ) )
97, 8syl 16 . . 3  |-  ( F  e.  ( X H Y )  ->  dom  H  =  ( B  X.  B ) )
103, 9eleqtrd 2512 . 2  |-  ( F  e.  ( X H Y )  ->  <. X ,  Y >.  e.  ( B  X.  B ) )
11 opelxp 4908 . 2  |-  ( <. X ,  Y >.  e.  ( B  X.  B
)  <->  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )
1210, 11sylib 189 1  |-  ( F  e.  ( X H Y )  ->  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956   ~Pcpw 3799   <.cop 3817    X. cxp 4876   dom cdm 4878   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469  Homachoma 14178
This theorem is referenced by:  homarel  14191  homa1  14192  homahom2  14193  homadm  14195  homacd  14196  arwdm  14202  arwcd  14203  coahom  14225  arwlid  14227  arwrid  14228  arwass  14229
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-homa 14181
  Copyright terms: Public domain W3C validator