Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  homco2 Structured version   Unicode version

Theorem homco2 23480
 Description: Move a scalar product out of a composition of operators. The operator must be linear, unlike homco1 23304 that works for any operators. (Contributed by NM, 13-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
homco2

Proof of Theorem homco2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 960 . . . . . 6
2 simpl3 962 . . . . . 6
3 simpr 448 . . . . . 6
4 homval 23244 . . . . . 6
51, 2, 3, 4syl3anc 1184 . . . . 5
65fveq2d 5732 . . . 4
7 homulcl 23262 . . . . . 6
873adant2 976 . . . . 5
9 fvco3 5800 . . . . 5
108, 9sylan 458 . . . 4
11 fvco3 5800 . . . . . . 7
122, 3, 11syl2anc 643 . . . . . 6
1312oveq2d 6097 . . . . 5
14 lnopf 23362 . . . . . . . . 9
15143ad2ant2 979 . . . . . . . 8
16 simp3 959 . . . . . . . 8
17 fco 5600 . . . . . . . 8
1815, 16, 17syl2anc 643 . . . . . . 7
1918adantr 452 . . . . . 6
20 homval 23244 . . . . . 6
211, 19, 3, 20syl3anc 1184 . . . . 5
22 simpl2 961 . . . . . 6
2316ffvelrnda 5870 . . . . . 6
24 lnopmul 23470 . . . . . 6
2522, 1, 23, 24syl3anc 1184 . . . . 5
2613, 21, 253eqtr4d 2478 . . . 4
276, 10, 263eqtr4d 2478 . . 3
2827ralrimiva 2789 . 2
29 fco 5600 . . . 4
3015, 8, 29syl2anc 643 . . 3
31 simp1 957 . . . 4
32 homulcl 23262 . . . 4
3331, 18, 32syl2anc 643 . . 3
34 hoeq 23263 . . 3
3530, 33, 34syl2anc 643 . 2
3628, 35mpbid 202 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705   ccom 4882  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081  cc 8988  chil 22422   csm 22424   chot 22442  clo 22450 This theorem is referenced by:  opsqrlem1  23643 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-hilex 22502  ax-hfvadd 22503  ax-hvass 22505  ax-hv0cl 22506  ax-hvaddid 22507  ax-hfvmul 22508  ax-hvmulid 22509  ax-hvdistr2 22512  ax-hvmul0 22513 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-ltxr 9125  df-sub 9293  df-neg 9294  df-hvsub 22474  df-homul 23234  df-lnop 23344
 Copyright terms: Public domain W3C validator