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Theorem homgrf 25802
Description: Homset of a composite. JFM CAT1 th. 51 (Contributed by FL, 10-Mar-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
homgrf.1  |-  O  =  dom  ( id_ `  T
)
homgrf.2  |-  H  =  ( hom `  T
)
homgrf.3  |-  R  =  ( o_ `  T
)
Assertion
Ref Expression
homgrf  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
) )  ->  (
( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  ->  ( G R F )  e.  ( H `  <. A ,  C >. ) ) )

Proof of Theorem homgrf
StepHypRef Expression
1 homgrf.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  O  =  dom  ( id_ `  T
)
2 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  ( dom_ `  T )  =  dom  ( dom_ `  T
)
3 homgrf.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  H  =  ( hom `  T
)
41, 2, 3ehm 25791 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  A  e.  O  /\  B  e.  O )  ->  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  ->  F  e.  dom  ( dom_ `  T
) ) )
543adant3r3 1162 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
) )  ->  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  ->  F  e.  dom  ( dom_ `  T
) ) )
65com12 27 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  ->  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
) )  ->  F  e.  dom  ( dom_ `  T
) ) )
76adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( H `
 <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  ->  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
) )  ->  F  e.  dom  ( dom_ `  T
) ) )
87impcom 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O ) )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )  ->  F  e.  dom  ( dom_ `  T
) )
91, 2, 3ehm 25791 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  ->  ( G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )  ->  G  e.  dom  ( dom_ `  T
) ) )
1093adant3r1 1160 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
) )  ->  ( G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )  ->  G  e.  dom  ( dom_ `  T
) ) )
1110com12 27 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )  ->  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
) )  ->  G  e.  dom  ( dom_ `  T
) ) )
1211adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( H `
 <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  ->  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
) )  ->  G  e.  dom  ( dom_ `  T
) ) )
1312impcom 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O ) )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )  ->  G  e.  dom  ( dom_ `  T
) )
14 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom_ `  T )  =  (
dom_ `  T )
151, 14, 3dehm 25792 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  ->  ( G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )  ->  (
( dom_ `  T ) `  G )  =  B ) )
16153adant3r1 1160 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
) )  ->  ( G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )  ->  ( ( dom_ `  T ) `  G )  =  B ) )
1716com12 27 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )  ->  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
) )  ->  (
( dom_ `  T ) `  G )  =  B ) )
1817adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( H `
 <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  ->  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
) )  ->  (
( dom_ `  T ) `  G )  =  B ) )
1918impcom 419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O ) )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )  ->  (
( dom_ `  T ) `  G )  =  B )
20 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( cod_ `  T )  =  (
cod_ `  T )
211, 20, 3cehm 25793 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  A  e.  O  /\  B  e.  O )  ->  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  ->  (
( cod_ `  T ) `  F )  =  B ) )
2221imp 418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  -> 
( ( cod_ `  T
) `  F )  =  B )
2322eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  ->  B  =  ( ( cod_ `  T ) `  F ) )
2423ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  A  e.  O  /\  B  e.  O )  ->  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  ->  B  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
) ) )
25243adant3r3 1162 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
) )  ->  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  ->  B  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
) )
2625com12 27 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  ->  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
) )  ->  B  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
) ) )
2726adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( H `
 <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  ->  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
) )  ->  B  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
) ) )
2827impcom 419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O ) )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )  ->  B  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
) )
2919, 28eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O ) )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )  ->  (
( dom_ `  T ) `  G )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
)
308, 13, 293jca 1132 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O ) )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )  ->  ( F  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  G  e.  dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  G )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
) )
3130ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
) )  ->  (
( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  ->  ( F  e.  dom  ( dom_ `  T
)  /\  G  e.  dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  G )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
) ) )
32 homgrf.3 . . . . . . . . . 10  |-  R  =  ( o_ `  T
)
332, 14, 20, 32cmpmorp 25779 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  F  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  G  e.  dom  ( dom_ `  T ) )  -> 
( ( ( dom_ `  T ) `  G
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  F )  ->  ( G R F )  e. 
dom  ( dom_ `  T
) ) )
34333exp 1150 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( F  e.  dom  ( dom_ `  T )  -> 
( G  e.  dom  ( dom_ `  T )  ->  ( ( ( dom_ `  T ) `  G
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  F )  ->  ( G R F )  e. 
dom  ( dom_ `  T
) ) ) ) )
35343impd 1165 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( ( F  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  G  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  G )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
) )  ->  ( G R F )  e. 
dom  ( dom_ `  T
) ) )
3635adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
) )  ->  (
( F  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  G  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  G )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
) )  ->  ( G R F )  e. 
dom  ( dom_ `  T
) ) )
3731, 36syld 40 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
) )  ->  (
( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  ->  ( G R F )  e.  dom  ( dom_ `  T )
) )
3837imp 418 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O ) )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )  ->  ( G R F )  e. 
dom  ( dom_ `  T
) )
39 catded 25764 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  T  e.  Ded )
4039ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O ) )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )  ->  T  e.  Ded )
4140, 8, 133jca 1132 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O ) )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )  ->  ( T  e.  Ded  /\  F  e.  dom  ( dom_ `  T
)  /\  G  e.  dom  ( dom_ `  T
) ) )
42213adant3r3 1162 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
) )  ->  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  ->  ( ( cod_ `  T ) `  F )  =  B ) )
4342com12 27 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  ->  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
) )  ->  (
( cod_ `  T ) `  F )  =  B ) )
4443adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( H `
 <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  ->  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
) )  ->  (
( cod_ `  T ) `  F )  =  B ) )
4544impcom 419 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O ) )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )  ->  (
( cod_ `  T ) `  F )  =  B )
4619, 45eqtr4d 2318 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O ) )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )  ->  (
( dom_ `  T ) `  G )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
)
472, 14, 20, 32domcmpd 25746 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  Ded  /\  F  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  G  e.  dom  ( dom_ `  T
) )  ->  (
( ( dom_ `  T
) `  G )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  ->  ( ( dom_ `  T ) `  ( G R F ) )  =  ( (
dom_ `  T ) `  F ) ) )
4841, 46, 47sylc 56 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O ) )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )  ->  (
( dom_ `  T ) `  ( G R F ) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )
)
491, 14, 3dehm 25792 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  A  e.  O  /\  B  e.  O )  ->  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  ->  (
( dom_ `  T ) `  F )  =  A ) )
50493adant3r3 1162 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
) )  ->  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  ->  ( ( dom_ `  T ) `  F )  =  A ) )
5150com12 27 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  ->  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
) )  ->  (
( dom_ `  T ) `  F )  =  A ) )
5251adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( H `
 <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  ->  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
) )  ->  (
( dom_ `  T ) `  F )  =  A ) )
5352impcom 419 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O ) )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )  ->  (
( dom_ `  T ) `  F )  =  A )
5448, 53eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O ) )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )  ->  (
( dom_ `  T ) `  ( G R F ) )  =  A )
552, 14, 20, 32codcmpd 25747 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  Ded  /\  F  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  G  e.  dom  ( dom_ `  T
) )  ->  (
( ( dom_ `  T
) `  G )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  ->  ( ( cod_ `  T ) `  ( G R F ) )  =  ( (
cod_ `  T ) `  G ) ) )
5641, 46, 55sylc 56 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O ) )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )  ->  (
( cod_ `  T ) `  ( G R F ) )  =  ( ( cod_ `  T
) `  G )
)
571, 20, 3cehm 25793 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  ->  ( G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )  ->  (
( cod_ `  T ) `  G )  =  C ) )
58573adant3r1 1160 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
) )  ->  ( G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )  ->  ( ( cod_ `  T ) `  G )  =  C ) )
5958com12 27 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )  ->  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
) )  ->  (
( cod_ `  T ) `  G )  =  C ) )
6059adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( H `
 <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  ->  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
) )  ->  (
( cod_ `  T ) `  G )  =  C ) )
6160impcom 419 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O ) )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )  ->  (
( cod_ `  T ) `  G )  =  C )
6256, 61eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O ) )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )  ->  (
( cod_ `  T ) `  ( G R F ) )  =  C )
6338, 54, 623jca 1132 . . 3  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O ) )  /\  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
) )  ->  (
( G R F )  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  ( G R F ) )  =  A  /\  ( (
cod_ `  T ) `  ( G R F ) )  =  C ) )
6463ex 423 . 2  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
) )  ->  (
( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  ->  ( ( G R F )  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  ( G R F ) )  =  A  /\  ( ( cod_ `  T
) `  ( G R F ) )  =  C ) ) )
651, 2, 14, 20, 3ishomd 25790 . . 3  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  A  e.  O  /\  C  e.  O )  ->  ( ( G R F )  e.  ( H `  <. A ,  C >. )  <->  ( ( G R F )  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  ( G R F ) )  =  A  /\  ( ( cod_ `  T
) `  ( G R F ) )  =  C ) ) )
66653adant3r2 1161 . 2  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
) )  ->  (
( G R F )  e.  ( H `
 <. A ,  C >. )  <->  ( ( G R F )  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  ( G R F ) )  =  A  /\  ( ( cod_ `  T
) `  ( G R F ) )  =  C ) ) )
6764, 66sylibrd 225 1  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O
) )  ->  (
( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  /\  G  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  ->  ( G R F )  e.  ( H `  <. A ,  C >. ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   <.cop 3643   dom cdm 4689   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   dom_cdom_ 25712   cod_ccod_ 25713   id_cid_ 25714   o_co_ 25715   Dedcded 25734    Cat
OLD ccatOLD 25752   homchomOLD 25785
This theorem is referenced by:  cmpmon  25815  icmpmon  25816
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-alg 25716  df-dom_ 25717  df-cod_ 25718  df-id_ 25719  df-cmpa 25720  df-ded 25735  df-catOLD 25753  df-homOLD 25786
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