Theorem homvalt 9518

Description: Value of the scalar product with a Hilbert space operator.

Assertion

Ref	Expression
homvalt	|- ((A e. CC /\ T:H~-->H~ /\ B e. H~) -> ((A .op T)` B) = (A .h (T` B)))

Proof of Theorem homvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hommvalt 9512	. . . 4 |- ((A e. CC /\ T:H~-->H~) -> (A .op T) = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (A .h (T` x)))})
2	1	fveq1d 3726	. . 3 |- ((A e. CC /\ T:H~-->H~) -> ((A .op T)` B) = ({<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (A .h (T` x)))}` B))
3		fveq2 3724	. . . . 5 |- (x = B -> (T` x) = (T` B))
4	3	opreq2d 3976	. . . 4 |- (x = B -> (A .h (T` x)) = (A .h (T` B)))
5		eqid 1475	. . . 4 |- {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (A .h (T` x)))} = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (A .h (T` x)))}
6		oprex 3983	. . . 4 |- (A .h (T` B)) e. V
7	4, 5, 6	fvopab4 3780	. . 3 |- (B e. H~ -> ({<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (A .h (T` x)))}` B) = (A .h (T` B)))
8	2, 7	sylan9eq 1527	. 2 |- (((A e. CC /\ T:H~-->H~) /\ B e. H~) -> ((A .op T)` B) = (A .h (T` B)))
9	8	3impa 828	1 |- ((A e. CC /\ T:H~-->H~ /\ B e. H~) -> ((A .op T)` B) = (A .h (T` B)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  {copab 2666  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  H~chil 8788   .h csm 8790   .op chot 8808

This theorem is referenced by:  homclt 9524  honegsub 9722  homulid2t 9726  homco1t 9727  homulasst 9728  hoadddit 9729  hoadddirt 9730  nmopneg 9889  homco2t 9901  lnopm 9925  hmopmt 9946  nmophm 9961  adjmult 10025  leopmulit 10066  leopnmidt 10071

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-hilex 8869

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-map 4324  df-homul 9507

Copyright terms: Public domain