MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hsmex3 Unicode version

Theorem hsmex3 8060
Description: The set of hereditary size-limited sets, assuming ax-reg 7306, using strict comparison (an easy corrolary by separation). (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
hsmex3  |-  ( X  e.  V  ->  { s  |  A. x  e.  ( TC `  {
s } ) x 
~<  X }  e.  _V )
Distinct variable group:    x, s, X
Allowed substitution hints:    V( x, s)

Proof of Theorem hsmex3
StepHypRef Expression
1 sdomdom 6889 . . . 4  |-  ( x 
~<  X  ->  x  ~<_  X )
21ralimi 2618 . . 3  |-  ( A. x  e.  ( TC `  { s } ) x  ~<  X  ->  A. x  e.  ( TC
`  { s } ) x  ~<_  X )
32ss2abi 3245 . 2  |-  { s  |  A. x  e.  ( TC `  {
s } ) x 
~<  X }  C_  { s  |  A. x  e.  ( TC `  {
s } ) x  ~<_  X }
4 hsmex2 8059 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  { s  |  A. x  e.  ( TC `  {
s } ) x  ~<_  X }  e.  _V )
5 ssexg 4160 . 2  |-  ( ( { s  |  A. x  e.  ( TC `  { s } ) x  ~<  X }  C_ 
{ s  |  A. x  e.  ( TC `  { s } ) x  ~<_  X }  /\  { s  |  A. x  e.  ( TC `  {
s } ) x  ~<_  X }  e.  _V )  ->  { s  | 
A. x  e.  ( TC `  { s } ) x  ~<  X }  e.  _V )
63, 4, 5sylancr 644 1  |-  ( X  e.  V  ->  { s  |  A. x  e.  ( TC `  {
s } ) x 
~<  X }  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   {csn 3640   class class class wbr 4023   ` cfv 5255    ~<_ cdom 6861    ~< csdm 6862   TCctc 7421
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-reg 7306  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-smo 6363  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-oi 7225  df-har 7272  df-wdom 7273  df-tc 7422  df-r1 7436  df-rank 7437
  Copyright terms: Public domain W3C validator