Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hsmexlem2 Structured version   Unicode version

Theorem hsmexlem2 8309
 Description: Lemma for hsmex 8314. Bound the order type of a union of sets of ordinals, each of limited order type. Vaguely reminiscent of unictb 8452 but use of order types allows to canonically choose the sub-bijections, removing the choice requirement. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hsmexlem.f OrdIso
hsmexlem.g OrdIso
Assertion
Ref Expression
hsmexlem2 har
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem hsmexlem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 3809 . . . . . 6
21adantr 453 . . . . 5
32ralimi 2783 . . . 4
4 iunss 4134 . . . 4
53, 4sylibr 205 . . 3
7 xpexg 4991 . . . 4
9 nfv 1630 . . . . . . . . 9
10 nfra1 2758 . . . . . . . . 9
119, 10nfan 1847 . . . . . . . 8
12 rsp 2768 . . . . . . . . 9
13 onelss 4625 . . . . . . . . . . . . . 14
1413imp 420 . . . . . . . . . . . . 13
1514adantrl 698 . . . . . . . . . . . 12
16153adant3 978 . . . . . . . . . . 11
17 hsmexlem.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 OrdIso
1817oismo 7511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
191, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2019ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2120simprd 451 . . . . . . . . . . . . . . 15
2217oif 7501 . . . . . . . . . . . . . . 15
2321, 22jctil 525 . . . . . . . . . . . . . 14
24 dffo2 5659 . . . . . . . . . . . . . 14
2523, 24sylibr 205 . . . . . . . . . . . . 13
26 dffo3 5886 . . . . . . . . . . . . . 14
2726simprbi 452 . . . . . . . . . . . . 13
28 rsp 2768 . . . . . . . . . . . . 13
2925, 27, 283syl 19 . . . . . . . . . . . 12
30293impia 1151 . . . . . . . . . . 11
31 ssrexv 3410 . . . . . . . . . . 11
3216, 30, 31sylc 59 . . . . . . . . . 10
33323exp 1153 . . . . . . . . 9
3412, 33sylan9r 641 . . . . . . . 8
3511, 34reximdai 2816 . . . . . . 7
36353adant1 976 . . . . . 6
37 nfv 1630 . . . . . . 7
38 nfcv 2574 . . . . . . . 8
39 nfcv 2574 . . . . . . . . . . 11
40 nfcsb1v 3285 . . . . . . . . . . 11
4139, 40nfoi 7485 . . . . . . . . . 10 OrdIso
42 nfcv 2574 . . . . . . . . . 10
4341, 42nffv 5737 . . . . . . . . 9 OrdIso
4443nfeq2 2585 . . . . . . . 8 OrdIso
4538, 44nfrex 2763 . . . . . . 7 OrdIso
46 csbeq1a 3261 . . . . . . . . . . . 12
47 oieq2 7484 . . . . . . . . . . . 12 OrdIso OrdIso
4846, 47syl 16 . . . . . . . . . . 11 OrdIso OrdIso
4917, 48syl5eq 2482 . . . . . . . . . 10 OrdIso
5049fveq1d 5732 . . . . . . . . 9 OrdIso
5150eqeq2d 2449 . . . . . . . 8 OrdIso
5251rexbidv 2728 . . . . . . 7 OrdIso
5337, 45, 52cbvrex 2931 . . . . . 6 OrdIso
5436, 53syl6ib 219 . . . . 5 OrdIso
55 eliun 4099 . . . . 5
56 vex 2961 . . . . . . . . . . 11
57 vex 2961 . . . . . . . . . . 11
5856, 57op1std 6359 . . . . . . . . . 10
5958csbeq1d 3259 . . . . . . . . 9
60 oieq2 7484 . . . . . . . . 9 OrdIso OrdIso
6159, 60syl 16 . . . . . . . 8 OrdIso OrdIso
6256, 57op2ndd 6360 . . . . . . . 8
6361, 62fveq12d 5736 . . . . . . 7 OrdIso OrdIso
6463eqeq2d 2449 . . . . . 6 OrdIso OrdIso
6564rexxp 5019 . . . . 5 OrdIso OrdIso
6654, 55, 653imtr4g 263 . . . 4 OrdIso
6766imp 420 . . 3 OrdIso
688, 67wdomd 7551 . 2 *
69 hsmexlem.g . . 3 OrdIso
7069hsmexlem1 8308 . 2 * har
716, 68, 70syl2anc 644 1 har
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  wrex 2708  cvv 2958  csb 3253   wss 3322  cpw 3801  cop 3819  ciun 4095   class class class wbr 4214   cep 4494  con0 4583   cxp 4878   cdm 4880   crn 4881  wf 5452  wfo 5454  cfv 5456  c1st 6349  c2nd 6350   wsmo 6609  OrdIsocoi 7480  harchar 7526   * cwdom 7527 This theorem is referenced by:  hsmexlem3  8310 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-smo 6610  df-recs 6635  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-oi 7481  df-har 7528  df-wdom 7529
 Copyright terms: Public domain W3C validator