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Theorem hsmexlem4 8310
Description: Lemma for hsmex 8313. The core induction, establishing bounds on the order types of iterated unions of the initial set. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hsmexlem4.x  |-  X  e. 
_V
hsmexlem4.h  |-  H  =  ( rec ( ( z  e.  _V  |->  (har
`  ~P ( X  X.  z ) ) ) ,  (har `  ~P X ) )  |`  om )
hsmexlem4.u  |-  U  =  ( x  e.  _V  |->  ( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y
) ,  x )  |`  om ) )
hsmexlem4.s  |-  S  =  { a  e.  U. ( R1 " On )  |  A. b  e.  ( TC `  {
a } ) b  ~<_  X }
hsmexlem4.o  |-  O  = OrdIso
(  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  c ) ) )
Assertion
Ref Expression
hsmexlem4  |-  ( ( c  e.  om  /\  d  e.  S )  ->  dom  O  e.  ( H `  c ) )
Distinct variable groups:    a, c,
d, H    S, c,
d    U, c, d    a,
b, z, X    x, a, y    b, c, d, x, y, z
Allowed substitution hints:    S( x, y, z, a, b)    U( x, y, z, a, b)    H( x, y, z, b)    O( x, y, z, a, b, c, d)    X( x, y, c, d)

Proof of Theorem hsmexlem4
Dummy variables  e 
f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hsmexlem4.o . . . . . . 7  |-  O  = OrdIso
(  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  c ) ) )
2 fveq2 5729 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  (/)  ->  ( ( U `  d ) `
 c )  =  ( ( U `  d ) `  (/) ) )
32imaeq2d 5204 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  (/)  ->  ( rank " ( ( U `
 d ) `  c ) )  =  ( rank " (
( U `  d
) `  (/) ) ) )
4 oieq2 7483 . . . . . . . 8  |-  ( (
rank " ( ( U `
 d ) `  c ) )  =  ( rank " (
( U `  d
) `  (/) ) )  -> OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  c ) ) )  = OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 (/) ) ) ) )
53, 4syl 16 . . . . . . 7  |-  ( c  =  (/)  -> OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  c )
) )  = OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  (/) ) ) ) )
61, 5syl5eq 2481 . . . . . 6  |-  ( c  =  (/)  ->  O  = OrdIso
(  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  (/) ) ) ) )
76dmeqd 5073 . . . . 5  |-  ( c  =  (/)  ->  dom  O  =  dom OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 (/) ) ) ) )
8 fveq2 5729 . . . . 5  |-  ( c  =  (/)  ->  ( H `
 c )  =  ( H `  (/) ) )
97, 8eleq12d 2505 . . . 4  |-  ( c  =  (/)  ->  ( dom 
O  e.  ( H `
 c )  <->  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  (/) ) ) )  e.  ( H `
 (/) ) ) )
109ralbidv 2726 . . 3  |-  ( c  =  (/)  ->  ( A. d  e.  S  dom  O  e.  ( H `  c )  <->  A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  (/) ) ) )  e.  ( H `
 (/) ) ) )
11 fveq2 5729 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  e  ->  (
( U `  d
) `  c )  =  ( ( U `
 d ) `  e ) )
1211imaeq2d 5204 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  e  ->  ( rank " ( ( U `
 d ) `  c ) )  =  ( rank " (
( U `  d
) `  e )
) )
13 oieq2 7483 . . . . . . . 8  |-  ( (
rank " ( ( U `
 d ) `  c ) )  =  ( rank " (
( U `  d
) `  e )
)  -> OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 c ) ) )  = OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  e )
) ) )
1412, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( c  =  e  -> OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  c )
) )  = OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  e )
) ) )
151, 14syl5eq 2481 . . . . . 6  |-  ( c  =  e  ->  O  = OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) ) )
1615dmeqd 5073 . . . . 5  |-  ( c  =  e  ->  dom  O  =  dom OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 e ) ) ) )
17 fveq2 5729 . . . . 5  |-  ( c  =  e  ->  ( H `  c )  =  ( H `  e ) )
1816, 17eleq12d 2505 . . . 4  |-  ( c  =  e  ->  ( dom  O  e.  ( H `
 c )  <->  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  e )
) )  e.  ( H `  e ) ) )
1918ralbidv 2726 . . 3  |-  ( c  =  e  ->  ( A. d  e.  S  dom  O  e.  ( H `
 c )  <->  A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  e )
) )  e.  ( H `  e ) ) )
20 fveq2 5729 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  suc  e  -> 
( ( U `  d ) `  c
)  =  ( ( U `  d ) `
 suc  e )
)
2120imaeq2d 5204 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  suc  e  -> 
( rank " ( ( U `  d ) `
 c ) )  =  ( rank " (
( U `  d
) `  suc  e ) ) )
22 oieq2 7483 . . . . . . . 8  |-  ( (
rank " ( ( U `
 d ) `  c ) )  =  ( rank " (
( U `  d
) `  suc  e ) )  -> OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 c ) ) )  = OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  suc  e ) ) ) )
2321, 22syl 16 . . . . . . 7  |-  ( c  =  suc  e  -> OrdIso (  _E  ,  ( rank " ( ( U `
 d ) `  c ) ) )  = OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 suc  e )
) ) )
241, 23syl5eq 2481 . . . . . 6  |-  ( c  =  suc  e  ->  O  = OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 suc  e )
) ) )
2524dmeqd 5073 . . . . 5  |-  ( c  =  suc  e  ->  dom  O  =  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  suc  e ) ) ) )
26 fveq2 5729 . . . . 5  |-  ( c  =  suc  e  -> 
( H `  c
)  =  ( H `
 suc  e )
)
2725, 26eleq12d 2505 . . . 4  |-  ( c  =  suc  e  -> 
( dom  O  e.  ( H `  c )  <->  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  suc  e ) ) )  e.  ( H `  suc  e ) ) )
2827ralbidv 2726 . . 3  |-  ( c  =  suc  e  -> 
( A. d  e.  S  dom  O  e.  ( H `  c
)  <->  A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  suc  e ) ) )  e.  ( H `  suc  e ) ) )
29 imassrn 5217 . . . . . . 7  |-  ( rank " ( ( U `
 d ) `  (/) ) )  C_  ran  rank
30 rankf 7721 . . . . . . . 8  |-  rank : U. ( R1 " On ) --> On
31 frn 5598 . . . . . . . 8  |-  ( rank
: U. ( R1
" On ) --> On 
->  ran  rank  C_  On )
3230, 31ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ran  rank  C_  On
3329, 32sstri 3358 . . . . . 6  |-  ( rank " ( ( U `
 d ) `  (/) ) )  C_  On
34 vex 2960 . . . . . . . . 9  |-  d  e. 
_V
35 hsmexlem4.u . . . . . . . . . 10  |-  U  =  ( x  e.  _V  |->  ( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y
) ,  x )  |`  om ) )
3635ituni0 8299 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  _V  ->  (
( U `  d
) `  (/) )  =  d )
3734, 36ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( U `  d ) `
 (/) )  =  d
3837imaeq2i 5202 . . . . . . 7  |-  ( rank " ( ( U `
 d ) `  (/) ) )  =  (
rank " d )
39 ffun 5594 . . . . . . . . . 10  |-  ( rank
: U. ( R1
" On ) --> On 
->  Fun  rank )
4030, 39ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  Fun  rank
41 wdomimag 7556 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  rank  /\  d  e.  _V )  ->  ( rank " d )  ~<_*  d
)
4240, 34, 41mp2an 655 . . . . . . . 8  |-  ( rank " d )  ~<_*  d
43 sneq 3826 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  d  ->  { a }  =  { d } )
4443fveq2d 5733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  d  ->  ( TC `  { a } )  =  ( TC
`  { d } ) )
4544raleqdv 2911 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  d  ->  ( A. b  e.  ( TC `  { a } ) b  ~<_  X  <->  A. b  e.  ( TC `  {
d } ) b  ~<_  X ) )
46 hsmexlem4.s . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  { a  e.  U. ( R1 " On )  |  A. b  e.  ( TC `  {
a } ) b  ~<_  X }
4745, 46elrab2 3095 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  S  <->  ( d  e.  U. ( R1 " On )  /\  A. b  e.  ( TC `  {
d } ) b  ~<_  X ) )
4847simprbi 452 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  S  ->  A. b  e.  ( TC `  {
d } ) b  ~<_  X )
49 snex 4406 . . . . . . . . . . . 12  |-  { d }  e.  _V
50 tcid 7679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { d }  e.  _V  ->  { d }  C_  ( TC `  { d } ) )
5149, 50ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  { d }  C_  ( TC `  { d } )
5234snid 3842 . . . . . . . . . . 11  |-  d  e. 
{ d }
5351, 52sselii 3346 . . . . . . . . . 10  |-  d  e.  ( TC `  {
d } )
54 breq1 4216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  d  ->  (
b  ~<_  X  <->  d  ~<_  X ) )
5554rspcv 3049 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  ( TC `  { d } )  ->  ( A. b  e.  ( TC `  {
d } ) b  ~<_  X  ->  d  ~<_  X ) )
5653, 55ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( A. b  e.  ( TC `  { d } ) b  ~<_  X  ->  d  ~<_  X )
57 domwdom 7543 . . . . . . . . 9  |-  ( d  ~<_  X  ->  d  ~<_*  X )
5848, 56, 573syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  S  ->  d  ~<_*  X )
59 wdomtr 7544 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( rank " d
)  ~<_*  d  /\  d  ~<_*  X
)  ->  ( rank " d )  ~<_*  X )
6042, 58, 59sylancr 646 . . . . . . 7  |-  ( d  e.  S  ->  ( rank " d )  ~<_*  X
)
6138, 60syl5eqbr 4246 . . . . . 6  |-  ( d  e.  S  ->  ( rank " ( ( U `
 d ) `  (/) ) )  ~<_*  X )
62 eqid 2437 . . . . . . 7  |- OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  (/) ) ) )  = OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  (/) ) ) )
6362hsmexlem1 8307 . . . . . 6  |-  ( ( ( rank " (
( U `  d
) `  (/) ) ) 
C_  On  /\  ( rank " ( ( U `
 d ) `  (/) ) )  ~<_*  X )  ->  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " ( ( U `
 d ) `  (/) ) ) )  e.  (har `  ~P X ) )
6433, 61, 63sylancr 646 . . . . 5  |-  ( d  e.  S  ->  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " ( ( U `
 d ) `  (/) ) ) )  e.  (har `  ~P X ) )
65 hsmexlem4.h . . . . . 6  |-  H  =  ( rec ( ( z  e.  _V  |->  (har
`  ~P ( X  X.  z ) ) ) ,  (har `  ~P X ) )  |`  om )
6665hsmexlem7 8304 . . . . 5  |-  ( H `
 (/) )  =  (har
`  ~P X )
6764, 66syl6eleqr 2528 . . . 4  |-  ( d  e.  S  ->  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " ( ( U `
 d ) `  (/) ) ) )  e.  ( H `  (/) ) )
6867rgen 2772 . . 3  |-  A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  (/) ) ) )  e.  ( H `
 (/) )
69 nfra1 2757 . . . . . 6  |-  F/ d A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )
70 nfv 1630 . . . . . 6  |-  F/ d  e  e.  om
7169, 70nfan 1847 . . . . 5  |-  F/ d ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 e ) ) )  e.  ( H `
 e )  /\  e  e.  om )
7235ituniiun 8303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  e.  _V  ->  (
( U `  d
) `  suc  e )  =  U_ f  e.  d  ( ( U `
 f ) `  e ) )
7334, 72ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U `  d ) `
 suc  e )  =  U_ f  e.  d  ( ( U `  f ) `  e
)
7473imaeq2i 5202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( rank " ( ( U `
 d ) `  suc  e ) )  =  ( rank " U_ f  e.  d  (
( U `  f
) `  e )
)
75 imaiun 5993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( rank " U_ f  e.  d  ( ( U `  f ) `  e
) )  =  U_ f  e.  d  ( rank " ( ( U `
 f ) `  e ) )
7674, 75eqtri 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( rank " ( ( U `
 d ) `  suc  e ) )  = 
U_ f  e.  d  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
)
77 oieq2 7483 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
rank " ( ( U `
 d ) `  suc  e ) )  = 
U_ f  e.  d  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
)  -> OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 suc  e )
) )  = OrdIso (  _E  ,  U_ f  e.  d  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
) ) )
7876, 77ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |- OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  suc  e ) ) )  = OrdIso (  _E  ,  U_ f  e.  d  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
) )
7978dmeqi 5072 . . . . . . . 8  |-  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  suc  e ) ) )  =  dom OrdIso (  _E  ,  U_ f  e.  d  ( rank " ( ( U `  f ) `  e
) ) )
8058ad2antll 711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )  /\  (
e  e.  om  /\  d  e.  S )
)  ->  d  ~<_*  X )
8165hsmexlem9 8306 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  e.  om  ->  ( H `  e )  e.  On )
8281ad2antrl 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )  /\  (
e  e.  om  /\  d  e.  S )
)  ->  ( H `  e )  e.  On )
83 ssrab2 3429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { a  e.  U. ( R1
" On )  | 
A. b  e.  ( TC `  { a } ) b  ~<_  X }  C_  U. ( R1 " On )
8446, 83eqsstri 3379 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  S  C_  U. ( R1 " On )
8584sseli 3345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  e.  S  ->  d  e.  U. ( R1 " On ) )
86 r1elssi 7732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  e.  U. ( R1
" On )  -> 
d  C_  U. ( R1 " On ) )
8785, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  e.  S  ->  d  C_ 
U. ( R1 " On ) )
8887sselda 3349 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( d  e.  S  /\  f  e.  d )  ->  f  e.  U. ( R1 " On ) )
89 snssi 3943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  e.  d  ->  { f }  C_  d )
9034tcss 7684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { f }  C_  d  ->  ( TC `  {
f } )  C_  ( TC `  d ) )
9189, 90syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  e.  d  ->  ( TC `  { f } )  C_  ( TC `  d ) )
9249tcel 7685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( d  e.  { d }  ->  ( TC `  d )  C_  ( TC `  { d } ) )
9352, 92mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  e.  d  ->  ( TC `  d )  C_  ( TC `  { d } ) )
9491, 93sstrd 3359 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  e.  d  ->  ( TC `  { f } )  C_  ( TC `  { d } ) )
95 ssralv 3408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( TC `  { f } )  C_  ( TC `  { d } )  ->  ( A. b  e.  ( TC `  { d } ) b  ~<_  X  ->  A. b  e.  ( TC `  {
f } ) b  ~<_  X ) )
9694, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  d  ->  ( A. b  e.  ( TC `  { d } ) b  ~<_  X  ->  A. b  e.  ( TC `  { f } ) b  ~<_  X ) )
9748, 96mpan9 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( d  e.  S  /\  f  e.  d )  ->  A. b  e.  ( TC `  { f } ) b  ~<_  X )
98 sneq 3826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  f  ->  { a }  =  { f } )
9998fveq2d 5733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  f  ->  ( TC `  { a } )  =  ( TC
`  { f } ) )
10099raleqdv 2911 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  f  ->  ( A. b  e.  ( TC `  { a } ) b  ~<_  X  <->  A. b  e.  ( TC `  {
f } ) b  ~<_  X ) )
101100, 46elrab2 3095 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  S  <->  ( f  e.  U. ( R1 " On )  /\  A. b  e.  ( TC `  {
f } ) b  ~<_  X ) )
10288, 97, 101sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( d  e.  S  /\  f  e.  d )  ->  f  e.  S )
103102adantll 696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( e  e.  om  /\  d  e.  S )  /\  f  e.  d )  ->  f  e.  S )
104103adantll 696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 e ) ) )  e.  ( H `
 e )  /\  ( e  e.  om  /\  d  e.  S ) )  /\  f  e.  d )  ->  f  e.  S )
105 simpll 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 e ) ) )  e.  ( H `
 e )  /\  ( e  e.  om  /\  d  e.  S ) )  /\  f  e.  d )  ->  A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  e )
) )  e.  ( H `  e ) )
106 fveq2 5729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( d  =  f  ->  ( U `  d )  =  ( U `  f ) )
107106fveq1d 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  =  f  ->  (
( U `  d
) `  e )  =  ( ( U `
 f ) `  e ) )
108107imaeq2d 5204 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  =  f  ->  ( rank " ( ( U `
 d ) `  e ) )  =  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
) )
109 oieq2 7483 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) )  =  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
)  -> OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 e ) ) )  = OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
) ) )
110108, 109syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  f  -> OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  e )
) )  = OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
) ) )
111110dmeqd 5073 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  f  ->  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  =  dom OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  f ) `
 e ) ) ) )
112111eleq1d 2503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  =  f  ->  ( dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )  <->  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
) )  e.  ( H `  e ) ) )
113112rspcv 3049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  S  ->  ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )  ->  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " ( ( U `
 f ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e ) ) )
114104, 105, 113sylc 59 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 e ) ) )  e.  ( H `
 e )  /\  ( e  e.  om  /\  d  e.  S ) )  /\  f  e.  d )  ->  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " ( ( U `
 f ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e ) )
115 imassrn 5217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( rank " ( ( U `
 f ) `  e ) )  C_  ran  rank
116115, 32sstri 3358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( rank " ( ( U `
 f ) `  e ) )  C_  On
117 fvex 5743 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U `  f ) `
 e )  e. 
_V
118117funimaex 5532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Fun 
rank  ->  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
)  e.  _V )
11940, 118ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( rank " ( ( U `
 f ) `  e ) )  e. 
_V
120119elpw 3806 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
rank " ( ( U `
 f ) `  e ) )  e. 
~P On  <->  ( rank " ( ( U `  f ) `  e
) )  C_  On )
121116, 120mpbir 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( rank " ( ( U `
 f ) `  e ) )  e. 
~P On
122114, 121jctil 525 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 e ) ) )  e.  ( H `
 e )  /\  ( e  e.  om  /\  d  e.  S ) )  /\  f  e.  d )  ->  (
( rank " ( ( U `  f ) `
 e ) )  e.  ~P On  /\  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 f ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e ) ) )
123122ralrimiva 2790 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )  /\  (
e  e.  om  /\  d  e.  S )
)  ->  A. f  e.  d  ( ( rank " ( ( U `
 f ) `  e ) )  e. 
~P On  /\  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " ( ( U `
 f ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e ) ) )
124 eqid 2437 . . . . . . . . . 10  |- OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
) )  = OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
) )
125 eqid 2437 . . . . . . . . . 10  |- OrdIso (  _E  ,  U_ f  e.  d  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
) )  = OrdIso (  _E  ,  U_ f  e.  d  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
) )
126124, 125hsmexlem3 8309 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  ~<_*  X  /\  ( H `
 e )  e.  On )  /\  A. f  e.  d  (
( rank " ( ( U `  f ) `
 e ) )  e.  ~P On  /\  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 f ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e ) ) )  ->  dom OrdIso (  _E  ,  U_ f  e.  d 
( rank " ( ( U `  f ) `
 e ) ) )  e.  (har `  ~P ( X  X.  ( H `  e )
) ) )
12780, 82, 123, 126syl21anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )  /\  (
e  e.  om  /\  d  e.  S )
)  ->  dom OrdIso (  _E  ,  U_ f  e.  d  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
) )  e.  (har
`  ~P ( X  X.  ( H `  e ) ) ) )
12879, 127syl5eqel 2521 . . . . . . 7  |-  ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )  /\  (
e  e.  om  /\  d  e.  S )
)  ->  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  suc  e ) ) )  e.  (har
`  ~P ( X  X.  ( H `  e ) ) ) )
12965hsmexlem8 8305 . . . . . . . 8  |-  ( e  e.  om  ->  ( H `  suc  e )  =  (har `  ~P ( X  X.  ( H `  e )
) ) )
130129ad2antrl 710 . . . . . . 7  |-  ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )  /\  (
e  e.  om  /\  d  e.  S )
)  ->  ( H `  suc  e )  =  (har `  ~P ( X  X.  ( H `  e ) ) ) )
131128, 130eleqtrrd 2514 . . . . . 6  |-  ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )  /\  (
e  e.  om  /\  d  e.  S )
)  ->  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  suc  e ) ) )  e.  ( H `  suc  e
) )
132131expr 600 . . . . 5  |-  ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )  /\  e  e.  om )  ->  (
d  e.  S  ->  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  suc  e ) ) )  e.  ( H `  suc  e ) ) )
13371, 132ralrimi 2788 . . . 4  |-  ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )  /\  e  e.  om )  ->  A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  suc  e ) ) )  e.  ( H `  suc  e
) )
134133expcom 426 . . 3  |-  ( e  e.  om  ->  ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )  ->  A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  suc  e ) ) )  e.  ( H `  suc  e
) ) )
13510, 19, 28, 68, 134finds1 4875 . 2  |-  ( c  e.  om  ->  A. d  e.  S  dom  O  e.  ( H `  c
) )
136135r19.21bi 2805 1  |-  ( ( c  e.  om  /\  d  e.  S )  ->  dom  O  e.  ( H `  c ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2706   {crab 2710   _Vcvv 2957    C_ wss 3321   (/)c0 3629   ~Pcpw 3800   {csn 3815   U.cuni 4016   U_ciun 4094   class class class wbr 4213    e. cmpt 4267    _E cep 4493   Oncon0 4582   suc csuc 4584   omcom 4846    X. cxp 4877   dom cdm 4879   ran crn 4880    |` cres 4881   "cima 4882   Fun wfun 5449   -->wf 5451   ` cfv 5455   reccrdg 6668    ~<_ cdom 7108  OrdIsocoi 7479  harchar 7525    ~<_* cwdom 7526   TCctc 7676   R1cr1 7689   rankcrnk 7690
This theorem is referenced by:  hsmexlem5  8311
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-smo 6609  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-oi 7480  df-har 7527  df-wdom 7528  df-tc 7677  df-r1 7691  df-rank 7692
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