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Theorem hsmexlem4 8235
Description: Lemma for hsmex 8238. The core induction, establishing bounds on the order types of iterated unions of the initial set. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hsmexlem4.x  |-  X  e. 
_V
hsmexlem4.h  |-  H  =  ( rec ( ( z  e.  _V  |->  (har
`  ~P ( X  X.  z ) ) ) ,  (har `  ~P X ) )  |`  om )
hsmexlem4.u  |-  U  =  ( x  e.  _V  |->  ( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y
) ,  x )  |`  om ) )
hsmexlem4.s  |-  S  =  { a  e.  U. ( R1 " On )  |  A. b  e.  ( TC `  {
a } ) b  ~<_  X }
hsmexlem4.o  |-  O  = OrdIso
(  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  c ) ) )
Assertion
Ref Expression
hsmexlem4  |-  ( ( c  e.  om  /\  d  e.  S )  ->  dom  O  e.  ( H `  c ) )
Distinct variable groups:    a, c,
d, H    S, c,
d    U, c, d    a,
b, z, X    x, a, y    b, c, d, x, y, z
Allowed substitution hints:    S( x, y, z, a, b)    U( x, y, z, a, b)    H( x, y, z, b)    O( x, y, z, a, b, c, d)    X( x, y, c, d)

Proof of Theorem hsmexlem4
Dummy variables  e 
f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hsmexlem4.o . . . . . . 7  |-  O  = OrdIso
(  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  c ) ) )
2 fveq2 5661 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  (/)  ->  ( ( U `  d ) `
 c )  =  ( ( U `  d ) `  (/) ) )
32imaeq2d 5136 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  (/)  ->  ( rank " ( ( U `
 d ) `  c ) )  =  ( rank " (
( U `  d
) `  (/) ) ) )
4 oieq2 7408 . . . . . . . 8  |-  ( (
rank " ( ( U `
 d ) `  c ) )  =  ( rank " (
( U `  d
) `  (/) ) )  -> OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  c ) ) )  = OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 (/) ) ) ) )
53, 4syl 16 . . . . . . 7  |-  ( c  =  (/)  -> OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  c )
) )  = OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  (/) ) ) ) )
61, 5syl5eq 2424 . . . . . 6  |-  ( c  =  (/)  ->  O  = OrdIso
(  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  (/) ) ) ) )
76dmeqd 5005 . . . . 5  |-  ( c  =  (/)  ->  dom  O  =  dom OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 (/) ) ) ) )
8 fveq2 5661 . . . . 5  |-  ( c  =  (/)  ->  ( H `
 c )  =  ( H `  (/) ) )
97, 8eleq12d 2448 . . . 4  |-  ( c  =  (/)  ->  ( dom 
O  e.  ( H `
 c )  <->  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  (/) ) ) )  e.  ( H `
 (/) ) ) )
109ralbidv 2662 . . 3  |-  ( c  =  (/)  ->  ( A. d  e.  S  dom  O  e.  ( H `  c )  <->  A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  (/) ) ) )  e.  ( H `
 (/) ) ) )
11 fveq2 5661 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  e  ->  (
( U `  d
) `  c )  =  ( ( U `
 d ) `  e ) )
1211imaeq2d 5136 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  e  ->  ( rank " ( ( U `
 d ) `  c ) )  =  ( rank " (
( U `  d
) `  e )
) )
13 oieq2 7408 . . . . . . . 8  |-  ( (
rank " ( ( U `
 d ) `  c ) )  =  ( rank " (
( U `  d
) `  e )
)  -> OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 c ) ) )  = OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  e )
) ) )
1412, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( c  =  e  -> OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  c )
) )  = OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  e )
) ) )
151, 14syl5eq 2424 . . . . . 6  |-  ( c  =  e  ->  O  = OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) ) )
1615dmeqd 5005 . . . . 5  |-  ( c  =  e  ->  dom  O  =  dom OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 e ) ) ) )
17 fveq2 5661 . . . . 5  |-  ( c  =  e  ->  ( H `  c )  =  ( H `  e ) )
1816, 17eleq12d 2448 . . . 4  |-  ( c  =  e  ->  ( dom  O  e.  ( H `
 c )  <->  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  e )
) )  e.  ( H `  e ) ) )
1918ralbidv 2662 . . 3  |-  ( c  =  e  ->  ( A. d  e.  S  dom  O  e.  ( H `
 c )  <->  A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  e )
) )  e.  ( H `  e ) ) )
20 fveq2 5661 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  suc  e  -> 
( ( U `  d ) `  c
)  =  ( ( U `  d ) `
 suc  e )
)
2120imaeq2d 5136 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  suc  e  -> 
( rank " ( ( U `  d ) `
 c ) )  =  ( rank " (
( U `  d
) `  suc  e ) ) )
22 oieq2 7408 . . . . . . . 8  |-  ( (
rank " ( ( U `
 d ) `  c ) )  =  ( rank " (
( U `  d
) `  suc  e ) )  -> OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 c ) ) )  = OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  suc  e ) ) ) )
2321, 22syl 16 . . . . . . 7  |-  ( c  =  suc  e  -> OrdIso (  _E  ,  ( rank " ( ( U `
 d ) `  c ) ) )  = OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 suc  e )
) ) )
241, 23syl5eq 2424 . . . . . 6  |-  ( c  =  suc  e  ->  O  = OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 suc  e )
) ) )
2524dmeqd 5005 . . . . 5  |-  ( c  =  suc  e  ->  dom  O  =  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  suc  e ) ) ) )
26 fveq2 5661 . . . . 5  |-  ( c  =  suc  e  -> 
( H `  c
)  =  ( H `
 suc  e )
)
2725, 26eleq12d 2448 . . . 4  |-  ( c  =  suc  e  -> 
( dom  O  e.  ( H `  c )  <->  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  suc  e ) ) )  e.  ( H `  suc  e ) ) )
2827ralbidv 2662 . . 3  |-  ( c  =  suc  e  -> 
( A. d  e.  S  dom  O  e.  ( H `  c
)  <->  A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  suc  e ) ) )  e.  ( H `  suc  e ) ) )
29 imassrn 5149 . . . . . . 7  |-  ( rank " ( ( U `
 d ) `  (/) ) )  C_  ran  rank
30 rankf 7646 . . . . . . . 8  |-  rank : U. ( R1 " On ) --> On
31 frn 5530 . . . . . . . 8  |-  ( rank
: U. ( R1
" On ) --> On 
->  ran  rank  C_  On )
3230, 31ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ran  rank  C_  On
3329, 32sstri 3293 . . . . . 6  |-  ( rank " ( ( U `
 d ) `  (/) ) )  C_  On
34 vex 2895 . . . . . . . . 9  |-  d  e. 
_V
35 hsmexlem4.u . . . . . . . . . 10  |-  U  =  ( x  e.  _V  |->  ( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y
) ,  x )  |`  om ) )
3635ituni0 8224 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  _V  ->  (
( U `  d
) `  (/) )  =  d )
3734, 36ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( U `  d ) `
 (/) )  =  d
3837imaeq2i 5134 . . . . . . 7  |-  ( rank " ( ( U `
 d ) `  (/) ) )  =  (
rank " d )
39 ffun 5526 . . . . . . . . . 10  |-  ( rank
: U. ( R1
" On ) --> On 
->  Fun  rank )
4030, 39ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  Fun  rank
41 wdomimag 7481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  rank  /\  d  e.  _V )  ->  ( rank " d )  ~<_*  d
)
4240, 34, 41mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( rank " d )  ~<_*  d
43 sneq 3761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  d  ->  { a }  =  { d } )
4443fveq2d 5665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  d  ->  ( TC `  { a } )  =  ( TC
`  { d } ) )
4544raleqdv 2846 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  d  ->  ( A. b  e.  ( TC `  { a } ) b  ~<_  X  <->  A. b  e.  ( TC `  {
d } ) b  ~<_  X ) )
46 hsmexlem4.s . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  { a  e.  U. ( R1 " On )  |  A. b  e.  ( TC `  {
a } ) b  ~<_  X }
4745, 46elrab2 3030 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  S  <->  ( d  e.  U. ( R1 " On )  /\  A. b  e.  ( TC `  {
d } ) b  ~<_  X ) )
4847simprbi 451 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  S  ->  A. b  e.  ( TC `  {
d } ) b  ~<_  X )
49 snex 4339 . . . . . . . . . . . 12  |-  { d }  e.  _V
50 tcid 7604 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { d }  e.  _V  ->  { d }  C_  ( TC `  { d } ) )
5149, 50ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  { d }  C_  ( TC `  { d } )
5234snid 3777 . . . . . . . . . . 11  |-  d  e. 
{ d }
5351, 52sselii 3281 . . . . . . . . . 10  |-  d  e.  ( TC `  {
d } )
54 breq1 4149 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  d  ->  (
b  ~<_  X  <->  d  ~<_  X ) )
5554rspcv 2984 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  ( TC `  { d } )  ->  ( A. b  e.  ( TC `  {
d } ) b  ~<_  X  ->  d  ~<_  X ) )
5653, 55ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( A. b  e.  ( TC `  { d } ) b  ~<_  X  ->  d  ~<_  X )
57 domwdom 7468 . . . . . . . . 9  |-  ( d  ~<_  X  ->  d  ~<_*  X )
5848, 56, 573syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  S  ->  d  ~<_*  X )
59 wdomtr 7469 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( rank " d
)  ~<_*  d  /\  d  ~<_*  X
)  ->  ( rank " d )  ~<_*  X )
6042, 58, 59sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( d  e.  S  ->  ( rank " d )  ~<_*  X
)
6138, 60syl5eqbr 4179 . . . . . 6  |-  ( d  e.  S  ->  ( rank " ( ( U `
 d ) `  (/) ) )  ~<_*  X )
62 eqid 2380 . . . . . . 7  |- OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  (/) ) ) )  = OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  (/) ) ) )
6362hsmexlem1 8232 . . . . . 6  |-  ( ( ( rank " (
( U `  d
) `  (/) ) ) 
C_  On  /\  ( rank " ( ( U `
 d ) `  (/) ) )  ~<_*  X )  ->  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " ( ( U `
 d ) `  (/) ) ) )  e.  (har `  ~P X ) )
6433, 61, 63sylancr 645 . . . . 5  |-  ( d  e.  S  ->  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " ( ( U `
 d ) `  (/) ) ) )  e.  (har `  ~P X ) )
65 hsmexlem4.h . . . . . 6  |-  H  =  ( rec ( ( z  e.  _V  |->  (har
`  ~P ( X  X.  z ) ) ) ,  (har `  ~P X ) )  |`  om )
6665hsmexlem7 8229 . . . . 5  |-  ( H `
 (/) )  =  (har
`  ~P X )
6764, 66syl6eleqr 2471 . . . 4  |-  ( d  e.  S  ->  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " ( ( U `
 d ) `  (/) ) ) )  e.  ( H `  (/) ) )
6867rgen 2707 . . 3  |-  A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  (/) ) ) )  e.  ( H `
 (/) )
69 nfra1 2692 . . . . . 6  |-  F/ d A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )
70 nfv 1626 . . . . . 6  |-  F/ d  e  e.  om
7169, 70nfan 1836 . . . . 5  |-  F/ d ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 e ) ) )  e.  ( H `
 e )  /\  e  e.  om )
7235ituniiun 8228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  e.  _V  ->  (
( U `  d
) `  suc  e )  =  U_ f  e.  d  ( ( U `
 f ) `  e ) )
7334, 72ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U `  d ) `
 suc  e )  =  U_ f  e.  d  ( ( U `  f ) `  e
)
7473imaeq2i 5134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( rank " ( ( U `
 d ) `  suc  e ) )  =  ( rank " U_ f  e.  d  (
( U `  f
) `  e )
)
75 imaiun 5924 . . . . . . . . . . 11  |-  ( rank " U_ f  e.  d  ( ( U `  f ) `  e
) )  =  U_ f  e.  d  ( rank " ( ( U `
 f ) `  e ) )
7674, 75eqtri 2400 . . . . . . . . . 10  |-  ( rank " ( ( U `
 d ) `  suc  e ) )  = 
U_ f  e.  d  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
)
77 oieq2 7408 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
rank " ( ( U `
 d ) `  suc  e ) )  = 
U_ f  e.  d  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
)  -> OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 suc  e )
) )  = OrdIso (  _E  ,  U_ f  e.  d  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
) ) )
7876, 77ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |- OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  suc  e ) ) )  = OrdIso (  _E  ,  U_ f  e.  d  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
) )
7978dmeqi 5004 . . . . . . . 8  |-  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  suc  e ) ) )  =  dom OrdIso (  _E  ,  U_ f  e.  d  ( rank " ( ( U `  f ) `  e
) ) )
8058ad2antll 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )  /\  (
e  e.  om  /\  d  e.  S )
)  ->  d  ~<_*  X )
8165hsmexlem9 8231 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  e.  om  ->  ( H `  e )  e.  On )
8281ad2antrl 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )  /\  (
e  e.  om  /\  d  e.  S )
)  ->  ( H `  e )  e.  On )
83 ssrab2 3364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { a  e.  U. ( R1
" On )  | 
A. b  e.  ( TC `  { a } ) b  ~<_  X }  C_  U. ( R1 " On )
8446, 83eqsstri 3314 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  S  C_  U. ( R1 " On )
8584sseli 3280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  e.  S  ->  d  e.  U. ( R1 " On ) )
86 r1elssi 7657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  e.  U. ( R1
" On )  -> 
d  C_  U. ( R1 " On ) )
8785, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  e.  S  ->  d  C_ 
U. ( R1 " On ) )
8887sselda 3284 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( d  e.  S  /\  f  e.  d )  ->  f  e.  U. ( R1 " On ) )
89 snssi 3878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  e.  d  ->  { f }  C_  d )
9034tcss 7609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { f }  C_  d  ->  ( TC `  {
f } )  C_  ( TC `  d ) )
9189, 90syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  e.  d  ->  ( TC `  { f } )  C_  ( TC `  d ) )
9249tcel 7610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( d  e.  { d }  ->  ( TC `  d )  C_  ( TC `  { d } ) )
9352, 92mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  e.  d  ->  ( TC `  d )  C_  ( TC `  { d } ) )
9491, 93sstrd 3294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  e.  d  ->  ( TC `  { f } )  C_  ( TC `  { d } ) )
95 ssralv 3343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( TC `  { f } )  C_  ( TC `  { d } )  ->  ( A. b  e.  ( TC `  { d } ) b  ~<_  X  ->  A. b  e.  ( TC `  {
f } ) b  ~<_  X ) )
9694, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  d  ->  ( A. b  e.  ( TC `  { d } ) b  ~<_  X  ->  A. b  e.  ( TC `  { f } ) b  ~<_  X ) )
9748, 96mpan9 456 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( d  e.  S  /\  f  e.  d )  ->  A. b  e.  ( TC `  { f } ) b  ~<_  X )
98 sneq 3761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  f  ->  { a }  =  { f } )
9998fveq2d 5665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  f  ->  ( TC `  { a } )  =  ( TC
`  { f } ) )
10099raleqdv 2846 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  f  ->  ( A. b  e.  ( TC `  { a } ) b  ~<_  X  <->  A. b  e.  ( TC `  {
f } ) b  ~<_  X ) )
101100, 46elrab2 3030 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  S  <->  ( f  e.  U. ( R1 " On )  /\  A. b  e.  ( TC `  {
f } ) b  ~<_  X ) )
10288, 97, 101sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( d  e.  S  /\  f  e.  d )  ->  f  e.  S )
103102adantll 695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( e  e.  om  /\  d  e.  S )  /\  f  e.  d )  ->  f  e.  S )
104103adantll 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 e ) ) )  e.  ( H `
 e )  /\  ( e  e.  om  /\  d  e.  S ) )  /\  f  e.  d )  ->  f  e.  S )
105 simpll 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 e ) ) )  e.  ( H `
 e )  /\  ( e  e.  om  /\  d  e.  S ) )  /\  f  e.  d )  ->  A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  e )
) )  e.  ( H `  e ) )
106 fveq2 5661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( d  =  f  ->  ( U `  d )  =  ( U `  f ) )
107106fveq1d 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  =  f  ->  (
( U `  d
) `  e )  =  ( ( U `
 f ) `  e ) )
108107imaeq2d 5136 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  =  f  ->  ( rank " ( ( U `
 d ) `  e ) )  =  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
) )
109 oieq2 7408 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) )  =  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
)  -> OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 e ) ) )  = OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
) ) )
110108, 109syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  f  -> OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  e )
) )  = OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
) ) )
111110dmeqd 5005 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  f  ->  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  =  dom OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  f ) `
 e ) ) ) )
112111eleq1d 2446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  =  f  ->  ( dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )  <->  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
) )  e.  ( H `  e ) ) )
113112rspcv 2984 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  S  ->  ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )  ->  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " ( ( U `
 f ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e ) ) )
114104, 105, 113sylc 58 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 e ) ) )  e.  ( H `
 e )  /\  ( e  e.  om  /\  d  e.  S ) )  /\  f  e.  d )  ->  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " ( ( U `
 f ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e ) )
115 imassrn 5149 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( rank " ( ( U `
 f ) `  e ) )  C_  ran  rank
116115, 32sstri 3293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( rank " ( ( U `
 f ) `  e ) )  C_  On
117 fvex 5675 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U `  f ) `
 e )  e. 
_V
118117funimaex 5464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Fun 
rank  ->  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
)  e.  _V )
11940, 118ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( rank " ( ( U `
 f ) `  e ) )  e. 
_V
120119elpw 3741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
rank " ( ( U `
 f ) `  e ) )  e. 
~P On  <->  ( rank " ( ( U `  f ) `  e
) )  C_  On )
121116, 120mpbir 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( rank " ( ( U `
 f ) `  e ) )  e. 
~P On
122114, 121jctil 524 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  , 
( rank " ( ( U `  d ) `
 e ) ) )  e.  ( H `
 e )  /\  ( e  e.  om  /\  d  e.  S ) )  /\  f  e.  d )  ->  (
( rank " ( ( U `  f ) `
 e ) )  e.  ~P On  /\  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 f ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e ) ) )
123122ralrimiva 2725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )  /\  (
e  e.  om  /\  d  e.  S )
)  ->  A. f  e.  d  ( ( rank " ( ( U `
 f ) `  e ) )  e. 
~P On  /\  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " ( ( U `
 f ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e ) ) )
124 eqid 2380 . . . . . . . . . 10  |- OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
) )  = OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
) )
125 eqid 2380 . . . . . . . . . 10  |- OrdIso (  _E  ,  U_ f  e.  d  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
) )  = OrdIso (  _E  ,  U_ f  e.  d  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
) )
126124, 125hsmexlem3 8234 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  ~<_*  X  /\  ( H `
 e )  e.  On )  /\  A. f  e.  d  (
( rank " ( ( U `  f ) `
 e ) )  e.  ~P On  /\  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 f ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e ) ) )  ->  dom OrdIso (  _E  ,  U_ f  e.  d 
( rank " ( ( U `  f ) `
 e ) ) )  e.  (har `  ~P ( X  X.  ( H `  e )
) ) )
12780, 82, 123, 126syl21anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )  /\  (
e  e.  om  /\  d  e.  S )
)  ->  dom OrdIso (  _E  ,  U_ f  e.  d  ( rank " (
( U `  f
) `  e )
) )  e.  (har
`  ~P ( X  X.  ( H `  e ) ) ) )
12879, 127syl5eqel 2464 . . . . . . 7  |-  ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )  /\  (
e  e.  om  /\  d  e.  S )
)  ->  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  suc  e ) ) )  e.  (har
`  ~P ( X  X.  ( H `  e ) ) ) )
12965hsmexlem8 8230 . . . . . . . 8  |-  ( e  e.  om  ->  ( H `  suc  e )  =  (har `  ~P ( X  X.  ( H `  e )
) ) )
130129ad2antrl 709 . . . . . . 7  |-  ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )  /\  (
e  e.  om  /\  d  e.  S )
)  ->  ( H `  suc  e )  =  (har `  ~P ( X  X.  ( H `  e ) ) ) )
131128, 130eleqtrrd 2457 . . . . . 6  |-  ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )  /\  (
e  e.  om  /\  d  e.  S )
)  ->  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  suc  e ) ) )  e.  ( H `  suc  e
) )
132131expr 599 . . . . 5  |-  ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )  /\  e  e.  om )  ->  (
d  e.  S  ->  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  suc  e ) ) )  e.  ( H `  suc  e ) ) )
13371, 132ralrimi 2723 . . . 4  |-  ( ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )  /\  e  e.  om )  ->  A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  suc  e ) ) )  e.  ( H `  suc  e
) )
134133expcom 425 . . 3  |-  ( e  e.  om  ->  ( A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  (
rank " ( ( U `
 d ) `  e ) ) )  e.  ( H `  e )  ->  A. d  e.  S  dom OrdIso (  _E  ,  ( rank " (
( U `  d
) `  suc  e ) ) )  e.  ( H `  suc  e
) ) )
13510, 19, 28, 68, 134finds1 4807 . 2  |-  ( c  e.  om  ->  A. d  e.  S  dom  O  e.  ( H `  c
) )
136135r19.21bi 2740 1  |-  ( ( c  e.  om  /\  d  e.  S )  ->  dom  O  e.  ( H `  c ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2642   {crab 2646   _Vcvv 2892    C_ wss 3256   (/)c0 3564   ~Pcpw 3735   {csn 3750   U.cuni 3950   U_ciun 4028   class class class wbr 4146    e. cmpt 4200    _E cep 4426   Oncon0 4515   suc csuc 4517   omcom 4778    X. cxp 4809   dom cdm 4811   ran crn 4812    |` cres 4813   "cima 4814   Fun wfun 5381   -->wf 5383   ` cfv 5387   reccrdg 6596    ~<_ cdom 7036  OrdIsocoi 7404  harchar 7450    ~<_* cwdom 7451   TCctc 7601   R1cr1 7614   rankcrnk 7615
This theorem is referenced by:  hsmexlem5  8236
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-smo 6537  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-oi 7405  df-har 7452  df-wdom 7453  df-tc 7602  df-r1 7616  df-rank 7617
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