HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hsn0elch Structured version   Unicode version

Theorem hsn0elch 22755
Description: The zero subspace belongs to the set of closed subspaces of Hilbert space. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hsn0elch  |-  { 0h }  e.  CH

Proof of Theorem hsn0elch
Dummy variables  x  y  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 22511 . . . . 5  |-  0h  e.  ~H
2 snssi 3944 . . . . 5  |-  ( 0h  e.  ~H  ->  { 0h }  C_  ~H )
31, 2ax-mp 5 . . . 4  |-  { 0h }  C_  ~H
41elexi 2967 . . . . 5  |-  0h  e.  _V
54snid 3843 . . . 4  |-  0h  e.  { 0h }
63, 5pm3.2i 443 . . 3  |-  ( { 0h }  C_  ~H  /\ 
0h  e.  { 0h } )
7 elsn 3831 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { 0h }  <->  x  =  0h )
8 elsn 3831 . . . . . 6  |-  ( y  e.  { 0h }  <->  y  =  0h )
9 oveq12 6093 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  0h  /\  y  =  0h )  ->  ( x  +h  y
)  =  ( 0h 
+h  0h ) )
101hvaddid2i 22536 . . . . . . . 8  |-  ( 0h 
+h  0h )  =  0h
119, 10syl6eq 2486 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  0h  /\  y  =  0h )  ->  ( x  +h  y
)  =  0h )
12 ovex 6109 . . . . . . . 8  |-  ( x  +h  y )  e. 
_V
1312elsnc 3839 . . . . . . 7  |-  ( ( x  +h  y )  e.  { 0h }  <->  ( x  +h  y )  =  0h )
1411, 13sylibr 205 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  0h  /\  y  =  0h )  ->  ( x  +h  y
)  e.  { 0h } )
157, 8, 14syl2anb 467 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { 0h }  /\  y  e.  { 0h } )  ->  (
x  +h  y )  e.  { 0h }
)
1615rgen2a 2774 . . . 4  |-  A. x  e.  { 0h } A. y  e.  { 0h }  ( x  +h  y )  e.  { 0h }
17 oveq2 6092 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  0h  ->  (
x  .h  y )  =  ( x  .h 
0h ) )
18 hvmul0 22531 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  .h  0h )  =  0h )
1917, 18sylan9eqr 2492 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  =  0h )  ->  ( x  .h  y
)  =  0h )
20 ovex 6109 . . . . . . . 8  |-  ( x  .h  y )  e. 
_V
2120elsnc 3839 . . . . . . 7  |-  ( ( x  .h  y )  e.  { 0h }  <->  ( x  .h  y )  =  0h )
2219, 21sylibr 205 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  =  0h )  ->  ( x  .h  y
)  e.  { 0h } )
238, 22sylan2b 463 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  { 0h } )  ->  (
x  .h  y )  e.  { 0h }
)
2423rgen2 2804 . . . 4  |-  A. x  e.  CC  A. y  e. 
{ 0h }  (
x  .h  y )  e.  { 0h }
2516, 24pm3.2i 443 . . 3  |-  ( A. x  e.  { 0h } A. y  e.  { 0h }  ( x  +h  y )  e.  { 0h }  /\  A. x  e.  CC  A. y  e. 
{ 0h }  (
x  .h  y )  e.  { 0h }
)
26 issh2 22716 . . 3  |-  ( { 0h }  e.  SH  <->  ( ( { 0h }  C_ 
~H  /\  0h  e.  { 0h } )  /\  ( A. x  e.  { 0h } A. y  e. 
{ 0h }  (
x  +h  y )  e.  { 0h }  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  { 0h }  ( x  .h  y )  e.  { 0h } ) ) )
276, 25, 26mpbir2an 888 . 2  |-  { 0h }  e.  SH
284fconst2 5951 . . . . . 6  |-  ( f : NN --> { 0h } 
<->  f  =  ( NN 
X.  { 0h }
) )
29 hlim0 22743 . . . . . . 7  |-  ( NN 
X.  { 0h }
)  ~~>v  0h
30 breq1 4218 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( NN  X.  { 0h } )  -> 
( f  ~~>v  0h  <->  ( NN  X.  { 0h } ) 
~~>v  0h ) )
3129, 30mpbiri 226 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( NN  X.  { 0h } )  -> 
f  ~~>v  0h )
3228, 31sylbi 189 . . . . 5  |-  ( f : NN --> { 0h }  ->  f  ~~>v  0h )
33 hlimuni 22746 . . . . . 6  |-  ( ( f  ~~>v  0h  /\  f  ~~>v  x )  ->  0h  =  x )
3433eleq1d 2504 . . . . 5  |-  ( ( f  ~~>v  0h  /\  f  ~~>v  x )  ->  ( 0h  e.  { 0h }  <->  x  e.  { 0h }
) )
3532, 34sylan 459 . . . 4  |-  ( ( f : NN --> { 0h }  /\  f  ~~>v  x )  ->  ( 0h  e.  { 0h }  <->  x  e.  { 0h } ) )
365, 35mpbii 204 . . 3  |-  ( ( f : NN --> { 0h }  /\  f  ~~>v  x )  ->  x  e.  { 0h } )
3736gen2 1557 . 2  |-  A. f A. x ( ( f : NN --> { 0h }  /\  f  ~~>v  x )  ->  x  e.  { 0h } )
38 isch2 22731 . 2  |-  ( { 0h }  e.  CH  <->  ( { 0h }  e.  SH  /\  A. f A. x ( ( f : NN --> { 0h }  /\  f  ~~>v  x )  ->  x  e.  { 0h } ) ) )
3927, 37, 38mpbir2an 888 1  |-  { 0h }  e.  CH
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1550    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707    C_ wss 3322   {csn 3816   class class class wbr 4215    X. cxp 4879   -->wf 5453  (class class class)co 6084   CCcc 8993   NNcn 10005   ~Hchil 22427    +h cva 22428    .h csm 22429   0hc0v 22432    ~~>v chli 22435   SHcsh 22436   CHcch 22437
This theorem is referenced by:  h0elch  22762  h1de2ctlem  23062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075  ax-hilex 22507  ax-hfvadd 22508  ax-hvcom 22509  ax-hvass 22510  ax-hv0cl 22511  ax-hvaddid 22512  ax-hfvmul 22513  ax-hvmulid 22514  ax-hvmulass 22515  ax-hvdistr1 22516  ax-hvdistr2 22517  ax-hvmul0 22518  ax-hfi 22586  ax-his1 22589  ax-his2 22590  ax-his3 22591  ax-his4 22592
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-icc 10928  df-seq 11329  df-exp 11388  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-topgen 13672  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-lm 17298  df-haus 17384  df-grpo 21784  df-gid 21785  df-ginv 21786  df-gdiv 21787  df-ablo 21875  df-vc 22030  df-nv 22076  df-va 22079  df-ba 22080  df-sm 22081  df-0v 22082  df-vs 22083  df-nmcv 22084  df-ims 22085  df-hnorm 22476  df-hvsub 22479  df-hlim 22480  df-sh 22714  df-ch 22729
  Copyright terms: Public domain W3C validator