HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hsn0elch Unicode version

Theorem hsn0elch 22711
Description: The zero subspace belongs to the set of closed subspaces of Hilbert space. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hsn0elch  |-  { 0h }  e.  CH

Proof of Theorem hsn0elch
Dummy variables  x  y  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 22467 . . . . 5  |-  0h  e.  ~H
2 snssi 3910 . . . . 5  |-  ( 0h  e.  ~H  ->  { 0h }  C_  ~H )
31, 2ax-mp 8 . . . 4  |-  { 0h }  C_  ~H
41elexi 2933 . . . . 5  |-  0h  e.  _V
54snid 3809 . . . 4  |-  0h  e.  { 0h }
63, 5pm3.2i 442 . . 3  |-  ( { 0h }  C_  ~H  /\ 
0h  e.  { 0h } )
7 elsn 3797 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { 0h }  <->  x  =  0h )
8 elsn 3797 . . . . . 6  |-  ( y  e.  { 0h }  <->  y  =  0h )
9 oveq12 6057 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  0h  /\  y  =  0h )  ->  ( x  +h  y
)  =  ( 0h 
+h  0h ) )
101hvaddid2i 22492 . . . . . . . 8  |-  ( 0h 
+h  0h )  =  0h
119, 10syl6eq 2460 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  0h  /\  y  =  0h )  ->  ( x  +h  y
)  =  0h )
12 ovex 6073 . . . . . . . 8  |-  ( x  +h  y )  e. 
_V
1312elsnc 3805 . . . . . . 7  |-  ( ( x  +h  y )  e.  { 0h }  <->  ( x  +h  y )  =  0h )
1411, 13sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  0h  /\  y  =  0h )  ->  ( x  +h  y
)  e.  { 0h } )
157, 8, 14syl2anb 466 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { 0h }  /\  y  e.  { 0h } )  ->  (
x  +h  y )  e.  { 0h }
)
1615rgen2a 2740 . . . 4  |-  A. x  e.  { 0h } A. y  e.  { 0h }  ( x  +h  y )  e.  { 0h }
17 oveq2 6056 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  0h  ->  (
x  .h  y )  =  ( x  .h 
0h ) )
18 hvmul0 22487 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  .h  0h )  =  0h )
1917, 18sylan9eqr 2466 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  =  0h )  ->  ( x  .h  y
)  =  0h )
20 ovex 6073 . . . . . . . 8  |-  ( x  .h  y )  e. 
_V
2120elsnc 3805 . . . . . . 7  |-  ( ( x  .h  y )  e.  { 0h }  <->  ( x  .h  y )  =  0h )
2219, 21sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  =  0h )  ->  ( x  .h  y
)  e.  { 0h } )
238, 22sylan2b 462 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  { 0h } )  ->  (
x  .h  y )  e.  { 0h }
)
2423rgen2 2770 . . . 4  |-  A. x  e.  CC  A. y  e. 
{ 0h }  (
x  .h  y )  e.  { 0h }
2516, 24pm3.2i 442 . . 3  |-  ( A. x  e.  { 0h } A. y  e.  { 0h }  ( x  +h  y )  e.  { 0h }  /\  A. x  e.  CC  A. y  e. 
{ 0h }  (
x  .h  y )  e.  { 0h }
)
26 issh2 22672 . . 3  |-  ( { 0h }  e.  SH  <->  ( ( { 0h }  C_ 
~H  /\  0h  e.  { 0h } )  /\  ( A. x  e.  { 0h } A. y  e. 
{ 0h }  (
x  +h  y )  e.  { 0h }  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  { 0h }  ( x  .h  y )  e.  { 0h } ) ) )
276, 25, 26mpbir2an 887 . 2  |-  { 0h }  e.  SH
284fconst2 5915 . . . . . 6  |-  ( f : NN --> { 0h } 
<->  f  =  ( NN 
X.  { 0h }
) )
29 hlim0 22699 . . . . . . 7  |-  ( NN 
X.  { 0h }
)  ~~>v  0h
30 breq1 4183 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( NN  X.  { 0h } )  -> 
( f  ~~>v  0h  <->  ( NN  X.  { 0h } ) 
~~>v  0h ) )
3129, 30mpbiri 225 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( NN  X.  { 0h } )  -> 
f  ~~>v  0h )
3228, 31sylbi 188 . . . . 5  |-  ( f : NN --> { 0h }  ->  f  ~~>v  0h )
33 hlimuni 22702 . . . . . 6  |-  ( ( f  ~~>v  0h  /\  f  ~~>v  x )  ->  0h  =  x )
3433eleq1d 2478 . . . . 5  |-  ( ( f  ~~>v  0h  /\  f  ~~>v  x )  ->  ( 0h  e.  { 0h }  <->  x  e.  { 0h }
) )
3532, 34sylan 458 . . . 4  |-  ( ( f : NN --> { 0h }  /\  f  ~~>v  x )  ->  ( 0h  e.  { 0h }  <->  x  e.  { 0h } ) )
365, 35mpbii 203 . . 3  |-  ( ( f : NN --> { 0h }  /\  f  ~~>v  x )  ->  x  e.  { 0h } )
3736gen2 1553 . 2  |-  A. f A. x ( ( f : NN --> { 0h }  /\  f  ~~>v  x )  ->  x  e.  { 0h } )
38 isch2 22687 . 2  |-  ( { 0h }  e.  CH  <->  ( { 0h }  e.  SH  /\  A. f A. x ( ( f : NN --> { 0h }  /\  f  ~~>v  x )  ->  x  e.  { 0h } ) ) )
3927, 37, 38mpbir2an 887 1  |-  { 0h }  e.  CH
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674    C_ wss 3288   {csn 3782   class class class wbr 4180    X. cxp 4843   -->wf 5417  (class class class)co 6048   CCcc 8952   NNcn 9964   ~Hchil 22383    +h cva 22384    .h csm 22385   0hc0v 22388    ~~>v chli 22391   SHcsh 22392   CHcch 22393
This theorem is referenced by:  h0elch  22718  h1de2ctlem  23018
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032  ax-addf 9033  ax-mulf 9034  ax-hilex 22463  ax-hfvadd 22464  ax-hvcom 22465  ax-hvass 22466  ax-hv0cl 22467  ax-hvaddid 22468  ax-hfvmul 22469  ax-hvmulid 22470  ax-hvmulass 22471  ax-hvdistr1 22472  ax-hvdistr2 22473  ax-hvmul0 22474  ax-hfi 22542  ax-his1 22545  ax-his2 22546  ax-his3 22547  ax-his4 22548
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-sup 7412  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xneg 10674  df-xadd 10675  df-xmul 10676  df-icc 10887  df-seq 11287  df-exp 11346  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-topgen 13630  df-psmet 16657  df-xmet 16658  df-met 16659  df-bl 16660  df-mopn 16661  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-lm 17255  df-haus 17341  df-grpo 21740  df-gid 21741  df-ginv 21742  df-gdiv 21743  df-ablo 21831  df-vc 21986  df-nv 22032  df-va 22035  df-ba 22036  df-sm 22037  df-0v 22038  df-vs 22039  df-nmcv 22040  df-ims 22041  df-hnorm 22432  df-hvsub 22435  df-hlim 22436  df-sh 22670  df-ch 22685
  Copyright terms: Public domain W3C validator