HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hsn0elch Unicode version

Theorem hsn0elch 21941
Description: The zero subspace belongs to the set of closed subspaces of Hilbert space. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hsn0elch  |-  { 0h }  e.  CH

Proof of Theorem hsn0elch
Dummy variables  x  y  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 21697 . . . . 5  |-  0h  e.  ~H
2 snssi 3838 . . . . 5  |-  ( 0h  e.  ~H  ->  { 0h }  C_  ~H )
31, 2ax-mp 8 . . . 4  |-  { 0h }  C_  ~H
41elexi 2873 . . . . 5  |-  0h  e.  _V
54snid 3743 . . . 4  |-  0h  e.  { 0h }
63, 5pm3.2i 441 . . 3  |-  ( { 0h }  C_  ~H  /\ 
0h  e.  { 0h } )
7 elsn 3731 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { 0h }  <->  x  =  0h )
8 elsn 3731 . . . . . 6  |-  ( y  e.  { 0h }  <->  y  =  0h )
9 oveq12 5954 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  0h  /\  y  =  0h )  ->  ( x  +h  y
)  =  ( 0h 
+h  0h ) )
101hvaddid2i 21722 . . . . . . . 8  |-  ( 0h 
+h  0h )  =  0h
119, 10syl6eq 2406 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  0h  /\  y  =  0h )  ->  ( x  +h  y
)  =  0h )
12 ovex 5970 . . . . . . . 8  |-  ( x  +h  y )  e. 
_V
1312elsnc 3739 . . . . . . 7  |-  ( ( x  +h  y )  e.  { 0h }  <->  ( x  +h  y )  =  0h )
1411, 13sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  0h  /\  y  =  0h )  ->  ( x  +h  y
)  e.  { 0h } )
157, 8, 14syl2anb 465 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { 0h }  /\  y  e.  { 0h } )  ->  (
x  +h  y )  e.  { 0h }
)
1615rgen2a 2685 . . . 4  |-  A. x  e.  { 0h } A. y  e.  { 0h }  ( x  +h  y )  e.  { 0h }
17 oveq2 5953 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  0h  ->  (
x  .h  y )  =  ( x  .h 
0h ) )
18 hvmul0 21717 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  .h  0h )  =  0h )
1917, 18sylan9eqr 2412 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  =  0h )  ->  ( x  .h  y
)  =  0h )
20 ovex 5970 . . . . . . . 8  |-  ( x  .h  y )  e. 
_V
2120elsnc 3739 . . . . . . 7  |-  ( ( x  .h  y )  e.  { 0h }  <->  ( x  .h  y )  =  0h )
2219, 21sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  =  0h )  ->  ( x  .h  y
)  e.  { 0h } )
238, 22sylan2b 461 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  { 0h } )  ->  (
x  .h  y )  e.  { 0h }
)
2423rgen2 2715 . . . 4  |-  A. x  e.  CC  A. y  e. 
{ 0h }  (
x  .h  y )  e.  { 0h }
2516, 24pm3.2i 441 . . 3  |-  ( A. x  e.  { 0h } A. y  e.  { 0h }  ( x  +h  y )  e.  { 0h }  /\  A. x  e.  CC  A. y  e. 
{ 0h }  (
x  .h  y )  e.  { 0h }
)
26 issh2 21902 . . 3  |-  ( { 0h }  e.  SH  <->  ( ( { 0h }  C_ 
~H  /\  0h  e.  { 0h } )  /\  ( A. x  e.  { 0h } A. y  e. 
{ 0h }  (
x  +h  y )  e.  { 0h }  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  { 0h }  ( x  .h  y )  e.  { 0h } ) ) )
276, 25, 26mpbir2an 886 . 2  |-  { 0h }  e.  SH
284fconst2 5814 . . . . . 6  |-  ( f : NN --> { 0h } 
<->  f  =  ( NN 
X.  { 0h }
) )
29 hlim0 21929 . . . . . . 7  |-  ( NN 
X.  { 0h }
)  ~~>v  0h
30 breq1 4107 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( NN  X.  { 0h } )  -> 
( f  ~~>v  0h  <->  ( NN  X.  { 0h } ) 
~~>v  0h ) )
3129, 30mpbiri 224 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( NN  X.  { 0h } )  -> 
f  ~~>v  0h )
3228, 31sylbi 187 . . . . 5  |-  ( f : NN --> { 0h }  ->  f  ~~>v  0h )
33 hlimuni 21932 . . . . . 6  |-  ( ( f  ~~>v  0h  /\  f  ~~>v  x )  ->  0h  =  x )
3433eleq1d 2424 . . . . 5  |-  ( ( f  ~~>v  0h  /\  f  ~~>v  x )  ->  ( 0h  e.  { 0h }  <->  x  e.  { 0h }
) )
3532, 34sylan 457 . . . 4  |-  ( ( f : NN --> { 0h }  /\  f  ~~>v  x )  ->  ( 0h  e.  { 0h }  <->  x  e.  { 0h } ) )
365, 35mpbii 202 . . 3  |-  ( ( f : NN --> { 0h }  /\  f  ~~>v  x )  ->  x  e.  { 0h } )
3736gen2 1547 . 2  |-  A. f A. x ( ( f : NN --> { 0h }  /\  f  ~~>v  x )  ->  x  e.  { 0h } )
38 isch2 21917 . 2  |-  ( { 0h }  e.  CH  <->  ( { 0h }  e.  SH  /\  A. f A. x ( ( f : NN --> { 0h }  /\  f  ~~>v  x )  ->  x  e.  { 0h } ) ) )
3927, 37, 38mpbir2an 886 1  |-  { 0h }  e.  CH
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1540    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619    C_ wss 3228   {csn 3716   class class class wbr 4104    X. cxp 4769   -->wf 5333  (class class class)co 5945   CCcc 8825   NNcn 9836   ~Hchil 21613    +h cva 21614    .h csm 21615   0hc0v 21618    ~~>v chli 21621   SHcsh 21622   CHcch 21623
This theorem is referenced by:  h0elch  21948  h1de2ctlem  22248
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905  ax-addf 8906  ax-mulf 8907  ax-hilex 21693  ax-hfvadd 21694  ax-hvcom 21695  ax-hvass 21696  ax-hv0cl 21697  ax-hvaddid 21698  ax-hfvmul 21699  ax-hvmulid 21700  ax-hvmulass 21701  ax-hvdistr1 21702  ax-hvdistr2 21703  ax-hvmul0 21704  ax-hfi 21772  ax-his1 21775  ax-his2 21776  ax-his3 21777  ax-his4 21778
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-map 6862  df-pm 6863  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-sup 7284  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-q 10409  df-rp 10447  df-xneg 10544  df-xadd 10545  df-xmul 10546  df-icc 10755  df-seq 11139  df-exp 11198  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817  df-topgen 13443  df-xmet 16475  df-met 16476  df-bl 16477  df-mopn 16478  df-top 16742  df-bases 16744  df-topon 16745  df-lm 17065  df-haus 17149  df-grpo 20970  df-gid 20971  df-ginv 20972  df-gdiv 20973  df-ablo 21061  df-vc 21216  df-nv 21262  df-va 21265  df-ba 21266  df-sm 21267  df-0v 21268  df-vs 21269  df-nmcv 21270  df-ims 21271  df-hnorm 21662  df-hvsub 21665  df-hlim 21666  df-sh 21900  df-ch 21915
  Copyright terms: Public domain W3C validator