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Theorem hstel2 23570
Description: Properties of a Hilbert-space-valued state. (Contributed by NM, 25-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hstel2  |-  ( ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  /\  ( B  e.  CH  /\  A  C_  ( _|_ `  B ) ) )  ->  ( ( ( S `  A ) 
.ih  ( S `  B ) )  =  0  /\  ( S `
 ( A  vH  B ) )  =  ( ( S `  A )  +h  ( S `  B )
) ) )

Proof of Theorem hstel2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ishst 23565 . . . 4  |-  ( S  e.  CHStates 
<->  ( S : CH --> ~H  /\  ( normh `  ( S `  ~H )
)  =  1  /\ 
A. x  e.  CH  A. y  e.  CH  (
x  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( S `  x )  .ih  ( S `  y )
)  =  0  /\  ( S `  (
x  vH  y )
)  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y ) ) ) ) ) )
21simp3bi 974 . . 3  |-  ( S  e.  CHStates  ->  A. x  e.  CH  A. y  e.  CH  (
x  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( S `  x )  .ih  ( S `  y )
)  =  0  /\  ( S `  (
x  vH  y )
)  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y ) ) ) ) )
32ad2antrr 707 . 2  |-  ( ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  /\  ( B  e.  CH  /\  A  C_  ( _|_ `  B ) ) )  ->  A. x  e.  CH  A. y  e.  CH  (
x  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( S `  x )  .ih  ( S `  y )
)  =  0  /\  ( S `  (
x  vH  y )
)  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y ) ) ) ) )
4 sseq1 3312 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
x  C_  ( _|_ `  y )  <->  A  C_  ( _|_ `  y ) ) )
5 fveq2 5668 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  A  ->  ( S `  x )  =  ( S `  A ) )
65oveq1d 6035 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  (
( S `  x
)  .ih  ( S `  y ) )  =  ( ( S `  A )  .ih  ( S `  y )
) )
76eqeq1d 2395 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( S `  x )  .ih  ( S `  y )
)  =  0  <->  (
( S `  A
)  .ih  ( S `  y ) )  =  0 ) )
8 oveq1 6027 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  A  ->  (
x  vH  y )  =  ( A  vH  y ) )
98fveq2d 5672 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  ( S `  ( x  vH  y ) )  =  ( S `  ( A  vH  y ) ) )
105oveq1d 6035 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  (
( S `  x
)  +h  ( S `
 y ) )  =  ( ( S `
 A )  +h  ( S `  y
) ) )
119, 10eqeq12d 2401 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  (
( S `  (
x  vH  y )
)  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y ) )  <->  ( S `  ( A  vH  y
) )  =  ( ( S `  A
)  +h  ( S `
 y ) ) ) )
127, 11anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( ( S `
 x )  .ih  ( S `  y ) )  =  0  /\  ( S `  (
x  vH  y )
)  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y ) ) )  <-> 
( ( ( S `
 A )  .ih  ( S `  y ) )  =  0  /\  ( S `  ( A  vH  y ) )  =  ( ( S `
 A )  +h  ( S `  y
) ) ) ) )
134, 12imbi12d 312 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  C_  ( _|_ `  y )  -> 
( ( ( S `
 x )  .ih  ( S `  y ) )  =  0  /\  ( S `  (
x  vH  y )
)  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y ) ) ) )  <->  ( A  C_  ( _|_ `  y )  ->  ( ( ( S `  A ) 
.ih  ( S `  y ) )  =  0  /\  ( S `
 ( A  vH  y ) )  =  ( ( S `  A )  +h  ( S `  y )
) ) ) ) )
14 fveq2 5668 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  B  ->  ( _|_ `  y )  =  ( _|_ `  B
) )
1514sseq2d 3319 . . . . . . 7  |-  ( y  =  B  ->  ( A  C_  ( _|_ `  y
)  <->  A  C_  ( _|_ `  B ) ) )
16 fveq2 5668 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  B  ->  ( S `  y )  =  ( S `  B ) )
1716oveq2d 6036 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  (
( S `  A
)  .ih  ( S `  y ) )  =  ( ( S `  A )  .ih  ( S `  B )
) )
1817eqeq1d 2395 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( S `  A )  .ih  ( S `  y )
)  =  0  <->  (
( S `  A
)  .ih  ( S `  B ) )  =  0 ) )
19 oveq2 6028 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  B  ->  ( A  vH  y )  =  ( A  vH  B
) )
2019fveq2d 5672 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  ( S `  ( A  vH  y ) )  =  ( S `  ( A  vH  B ) ) )
2116oveq2d 6036 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  (
( S `  A
)  +h  ( S `
 y ) )  =  ( ( S `
 A )  +h  ( S `  B
) ) )
2220, 21eqeq12d 2401 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  B  ->  (
( S `  ( A  vH  y ) )  =  ( ( S `
 A )  +h  ( S `  y
) )  <->  ( S `  ( A  vH  B
) )  =  ( ( S `  A
)  +h  ( S `
 B ) ) ) )
2318, 22anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( ( S `
 A )  .ih  ( S `  y ) )  =  0  /\  ( S `  ( A  vH  y ) )  =  ( ( S `
 A )  +h  ( S `  y
) ) )  <->  ( (
( S `  A
)  .ih  ( S `  B ) )  =  0  /\  ( S `
 ( A  vH  B ) )  =  ( ( S `  A )  +h  ( S `  B )
) ) ) )
2415, 23imbi12d 312 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  (
( A  C_  ( _|_ `  y )  -> 
( ( ( S `
 A )  .ih  ( S `  y ) )  =  0  /\  ( S `  ( A  vH  y ) )  =  ( ( S `
 A )  +h  ( S `  y
) ) ) )  <-> 
( A  C_  ( _|_ `  B )  -> 
( ( ( S `
 A )  .ih  ( S `  B ) )  =  0  /\  ( S `  ( A  vH  B ) )  =  ( ( S `
 A )  +h  ( S `  B
) ) ) ) ) )
2513, 24rspc2v 3001 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A. x  e. 
CH  A. y  e.  CH  ( x  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( S `  x )  .ih  ( S `  y )
)  =  0  /\  ( S `  (
x  vH  y )
)  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y ) ) ) )  ->  ( A  C_  ( _|_ `  B
)  ->  ( (
( S `  A
)  .ih  ( S `  B ) )  =  0  /\  ( S `
 ( A  vH  B ) )  =  ( ( S `  A )  +h  ( S `  B )
) ) ) ) )
2625com23 74 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  C_  ( _|_ `  B )  -> 
( A. x  e. 
CH  A. y  e.  CH  ( x  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( S `  x )  .ih  ( S `  y )
)  =  0  /\  ( S `  (
x  vH  y )
)  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y ) ) ) )  ->  ( (
( S `  A
)  .ih  ( S `  B ) )  =  0  /\  ( S `
 ( A  vH  B ) )  =  ( ( S `  A )  +h  ( S `  B )
) ) ) ) )
2726impr 603 . . 3  |-  ( ( A  e.  CH  /\  ( B  e.  CH  /\  A  C_  ( _|_ `  B
) ) )  -> 
( A. x  e. 
CH  A. y  e.  CH  ( x  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( S `  x )  .ih  ( S `  y )
)  =  0  /\  ( S `  (
x  vH  y )
)  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y ) ) ) )  ->  ( (
( S `  A
)  .ih  ( S `  B ) )  =  0  /\  ( S `
 ( A  vH  B ) )  =  ( ( S `  A )  +h  ( S `  B )
) ) ) )
2827adantll 695 . 2  |-  ( ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  /\  ( B  e.  CH  /\  A  C_  ( _|_ `  B ) ) )  ->  ( A. x  e.  CH  A. y  e. 
CH  ( x  C_  ( _|_ `  y )  ->  ( ( ( S `  x ) 
.ih  ( S `  y ) )  =  0  /\  ( S `
 ( x  vH  y ) )  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y )
) ) )  -> 
( ( ( S `
 A )  .ih  ( S `  B ) )  =  0  /\  ( S `  ( A  vH  B ) )  =  ( ( S `
 A )  +h  ( S `  B
) ) ) ) )
293, 28mpd 15 1  |-  ( ( ( S  e.  CHStates  /\  A  e.  CH )  /\  ( B  e.  CH  /\  A  C_  ( _|_ `  B ) ) )  ->  ( ( ( S `  A ) 
.ih  ( S `  B ) )  =  0  /\  ( S `
 ( A  vH  B ) )  =  ( ( S `  A )  +h  ( S `  B )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649    C_ wss 3263   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   0cc0 8923   1c1 8924   ~Hchil 22270    +h cva 22271    .ih csp 22273   normhcno 22274   CHcch 22280   _|_cort 22281    vH chj 22284   CHStateschst 22314
This theorem is referenced by:  hstorth  23571  hstosum  23572
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-hilex 22350
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-map 6956  df-sh 22557  df-ch 22572  df-hst 23563
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