HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hstrlem3a Unicode version

Theorem hstrlem3a 23611
Description: Lemma for strong set of CH states theorem: the function  S, that maps a closed subspace to the square of the norm of its projection onto a unit vector, is a state. (Contributed by NM, 30-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hstrlem3a.1  |-  S  =  ( x  e.  CH  |->  ( ( proj  h `  x ) `  u
) )
Assertion
Ref Expression
hstrlem3a  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  ->  S  e.  CHStates )
Distinct variable group:    x, u
Allowed substitution hints:    S( x, u)

Proof of Theorem hstrlem3a
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjhcl 22751 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  ->  ( ( proj  h `  x ) `  u
)  e.  ~H )
21ancoms 440 . . . 4  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( proj  h `  x ) `  u
)  e.  ~H )
32adantlr 696 . . 3  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( proj  h `  x ) `  u
)  e.  ~H )
4 hstrlem3a.1 . . 3  |-  S  =  ( x  e.  CH  |->  ( ( proj  h `  x ) `  u
) )
53, 4fmptd 5832 . 2  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  ->  S : CH --> ~H )
6 helch 22594 . . . . 5  |-  ~H  e.  CH
74hstrlem2 23610 . . . . 5  |-  ( ~H  e.  CH  ->  ( S `  ~H )  =  ( ( proj 
h `  ~H ) `  u ) )
86, 7ax-mp 8 . . . 4  |-  ( S `
 ~H )  =  ( ( proj  h `  ~H ) `  u )
98fveq2i 5671 . . 3  |-  ( normh `  ( S `  ~H ) )  =  (
normh `  ( ( proj 
h `  ~H ) `  u ) )
10 pjch1 23020 . . . . 5  |-  ( u  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  ~H ) `  u )  =  u )
1110fveq2d 5672 . . . 4  |-  ( u  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  ~H ) `  u ) )  =  ( normh `  u )
)
12 id 20 . . . 4  |-  ( (
normh `  u )  =  1  ->  ( normh `  u )  =  1 )
1311, 12sylan9eq 2439 . . 3  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  -> 
( normh `  ( ( proj  h `  ~H ) `  u ) )  =  1 )
149, 13syl5eq 2431 . 2  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  -> 
( normh `  ( S `  ~H ) )  =  1 )
154hstrlem2 23610 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  CH  ->  ( S `  z )  =  ( ( proj 
h `  z ) `  u ) )
164hstrlem2 23610 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  CH  ->  ( S `  w )  =  ( ( proj 
h `  w ) `  u ) )
1715, 16oveqan12d 6039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH )  ->  ( ( S `  z )  .ih  ( S `  w )
)  =  ( ( ( proj  h `  z
) `  u )  .ih  ( ( proj  h `  w ) `  u
) ) )
18173adant3 977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  ->  (
( S `  z
)  .ih  ( S `  w ) )  =  ( ( ( proj 
h `  z ) `  u )  .ih  (
( proj  h `  w
) `  u )
) )
1918adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  /\  z  C_  ( _|_ `  w ) )  -> 
( ( S `  z )  .ih  ( S `  w )
)  =  ( ( ( proj  h `  z
) `  u )  .ih  ( ( proj  h `  w ) `  u
) ) )
20 pjoi0 23067 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  /\  z  C_  ( _|_ `  w ) )  -> 
( ( ( proj 
h `  z ) `  u )  .ih  (
( proj  h `  w
) `  u )
)  =  0 )
2119, 20eqtrd 2419 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  /\  z  C_  ( _|_ `  w ) )  -> 
( ( S `  z )  .ih  ( S `  w )
)  =  0 )
22 pjcjt2 23042 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  ->  (
z  C_  ( _|_ `  w )  ->  (
( proj  h `  (
z  vH  w )
) `  u )  =  ( ( (
proj  h `  z ) `
 u )  +h  ( ( proj  h `  w ) `  u
) ) ) )
2322imp 419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  /\  z  C_  ( _|_ `  w ) )  -> 
( ( proj  h `  ( z  vH  w
) ) `  u
)  =  ( ( ( proj  h `  z
) `  u )  +h  ( ( proj  h `  w ) `  u
) ) )
24 chjcl 22707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH )  ->  ( z  vH  w
)  e.  CH )
254hstrlem2 23610 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  vH  w )  e.  CH  ->  ( S `  ( z  vH  w ) )  =  ( ( proj  h `  ( z  vH  w
) ) `  u
) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH )  ->  ( S `  (
z  vH  w )
)  =  ( (
proj  h `  ( z  vH  w ) ) `
 u ) )
27263adant3 977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  ->  ( S `  ( z  vH  w ) )  =  ( ( proj  h `  ( z  vH  w
) ) `  u
) )
2827adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  /\  z  C_  ( _|_ `  w ) )  -> 
( S `  (
z  vH  w )
)  =  ( (
proj  h `  ( z  vH  w ) ) `
 u ) )
2915, 16oveqan12d 6039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH )  ->  ( ( S `  z )  +h  ( S `  w )
)  =  ( ( ( proj  h `  z
) `  u )  +h  ( ( proj  h `  w ) `  u
) ) )
30293adant3 977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  ->  (
( S `  z
)  +h  ( S `
 w ) )  =  ( ( (
proj  h `  z ) `
 u )  +h  ( ( proj  h `  w ) `  u
) ) )
3130adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  /\  z  C_  ( _|_ `  w ) )  -> 
( ( S `  z )  +h  ( S `  w )
)  =  ( ( ( proj  h `  z
) `  u )  +h  ( ( proj  h `  w ) `  u
) ) )
3223, 28, 313eqtr4d 2429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  /\  z  C_  ( _|_ `  w ) )  -> 
( S `  (
z  vH  w )
)  =  ( ( S `  z )  +h  ( S `  w ) ) )
3321, 32jca 519 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  /\  z  C_  ( _|_ `  w ) )  -> 
( ( ( S `
 z )  .ih  ( S `  w ) )  =  0  /\  ( S `  (
z  vH  w )
)  =  ( ( S `  z )  +h  ( S `  w ) ) ) )
34333exp1 1169 . . . . . 6  |-  ( z  e.  CH  ->  (
w  e.  CH  ->  ( u  e.  ~H  ->  ( z  C_  ( _|_ `  w )  ->  (
( ( S `  z )  .ih  ( S `  w )
)  =  0  /\  ( S `  (
z  vH  w )
)  =  ( ( S `  z )  +h  ( S `  w ) ) ) ) ) ) )
3534com3r 75 . . . . 5  |-  ( u  e.  ~H  ->  (
z  e.  CH  ->  ( w  e.  CH  ->  ( z  C_  ( _|_ `  w )  ->  (
( ( S `  z )  .ih  ( S `  w )
)  =  0  /\  ( S `  (
z  vH  w )
)  =  ( ( S `  z )  +h  ( S `  w ) ) ) ) ) ) )
3635adantr 452 . . . 4  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  -> 
( z  e.  CH  ->  ( w  e.  CH  ->  ( z  C_  ( _|_ `  w )  -> 
( ( ( S `
 z )  .ih  ( S `  w ) )  =  0  /\  ( S `  (
z  vH  w )
)  =  ( ( S `  z )  +h  ( S `  w ) ) ) ) ) ) )
3736ralrimdv 2738 . . 3  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  -> 
( z  e.  CH  ->  A. w  e.  CH  ( z  C_  ( _|_ `  w )  -> 
( ( ( S `
 z )  .ih  ( S `  w ) )  =  0  /\  ( S `  (
z  vH  w )
)  =  ( ( S `  z )  +h  ( S `  w ) ) ) ) ) )
3837ralrimiv 2731 . 2  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  ->  A. z  e.  CH  A. w  e.  CH  ( z 
C_  ( _|_ `  w
)  ->  ( (
( S `  z
)  .ih  ( S `  w ) )  =  0  /\  ( S `
 ( z  vH  w ) )  =  ( ( S `  z )  +h  ( S `  w )
) ) ) )
39 ishst 23565 . 2  |-  ( S  e.  CHStates 
<->  ( S : CH --> ~H  /\  ( normh `  ( S `  ~H )
)  =  1  /\ 
A. z  e.  CH  A. w  e.  CH  (
z  C_  ( _|_ `  w )  ->  (
( ( S `  z )  .ih  ( S `  w )
)  =  0  /\  ( S `  (
z  vH  w )
)  =  ( ( S `  z )  +h  ( S `  w ) ) ) ) ) )
405, 14, 38, 39syl3anbrc 1138 1  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  ->  S  e.  CHStates )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649    C_ wss 3263    e. cmpt 4207   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   0cc0 8923   1c1 8924   ~Hchil 22270    +h cva 22271    .ih csp 22273   normhcno 22274   CHcch 22280   _|_cort 22281    vH chj 22284   proj  hcpjh 22288   CHStateschst 22314
This theorem is referenced by:  hstrlem3  23612
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cc 8248  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001  ax-addf 9002  ax-mulf 9003  ax-hilex 22350  ax-hfvadd 22351  ax-hvcom 22352  ax-hvass 22353  ax-hv0cl 22354  ax-hvaddid 22355  ax-hfvmul 22356  ax-hvmulid 22357  ax-hvmulass 22358  ax-hvdistr1 22359  ax-hvdistr2 22360  ax-hvmul0 22361  ax-hfi 22429  ax-his1 22432  ax-his2 22433  ax-his3 22434  ax-his4 22435  ax-hcompl 22552
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-omul 6665  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-ixp 7000  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-fi 7351  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-acn 7762  df-cda 7981  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-dec 10315  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-ioo 10852  df-ico 10854  df-icc 10855  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-fl 11129  df-seq 11251  df-exp 11310  df-hash 11546  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-clim 12209  df-rlim 12210  df-sum 12407  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-starv 13471  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-tset 13475  df-ple 13476  df-ds 13478  df-unif 13479  df-hom 13480  df-cco 13481  df-rest 13577  df-topn 13578  df-topgen 13594  df-pt 13595  df-prds 13598  df-xrs 13653  df-0g 13654  df-gsum 13655  df-qtop 13660  df-imas 13661  df-xps 13663  df-mre 13738  df-mrc 13739  df-acs 13741  df-mnd 14617  df-submnd 14666  df-mulg 14742  df-cntz 15043  df-cmn 15341  df-xmet 16619  df-met 16620  df-bl 16621  df-mopn 16622  df-fbas 16623  df-fg 16624  df-cnfld 16627  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-topsp 16890  df-cld 17006  df-ntr 17007  df-cls 17008  df-nei 17085  df-cn 17213  df-cnp 17214  df-lm 17215  df-haus 17301  df-tx 17515  df-hmeo 17708  df-fil 17799  df-fm 17891  df-flim 17892  df-flf 17893  df-xms 18259  df-ms 18260  df-tms 18261  df-cfil 19079  df-cau 19080  df-cmet 19081  df-grpo 21627  df-gid 21628  df-ginv 21629  df-gdiv 21630  df-ablo 21718  df-subgo 21738  df-vc 21873  df-nv 21919  df-va 21922  df-ba 21923  df-sm 21924  df-0v 21925  df-vs 21926  df-nmcv 21927  df-ims 21928  df-dip 22045  df-ssp 22069  df-ph 22162  df-cbn 22213  df-hnorm 22319  df-hba 22320  df-hvsub 22322  df-hlim 22323  df-hcau 22324  df-sh 22557  df-ch 22572  df-oc 22602  df-ch0 22603  df-shs 22658  df-chj 22660  df-pjh 22745  df-hst 23563
  Copyright terms: Public domain W3C validator