Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  htpycc Unicode version

Theorem htpycc 18494
 Description: Concatenate two homotopies. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
htpycc.1
htpycc.2 TopOn
htpycc.4
htpycc.5
htpycc.6
htpycc.7 Htpy
htpycc.8 Htpy
Assertion
Ref Expression
htpycc Htpy
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem htpycc
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 htpycc.2 . 2 TopOn
2 htpycc.4 . 2
3 htpycc.6 . 2
4 htpycc.1 . . 3
5 iitopon 18399 . . . . 5 TopOn
65a1i 10 . . . 4 TopOn
7 eqid 2296 . . . . 5
8 eqid 2296 . . . . 5 t t
9 eqid 2296 . . . . 5 t t
10 dfii2 18402 . . . . 5 t
11 0re 8854 . . . . . 6
1211a1i 10 . . . . 5
13 1re 8853 . . . . . 6
1413a1i 10 . . . . 5
15 rehalfcl 9954 . . . . . . . 8
1613, 15ax-mp 8 . . . . . . 7
17 halfgt0 9948 . . . . . . . 8
1811, 16, 17ltleii 8957 . . . . . . 7
19 halflt1 9949 . . . . . . . 8
2016, 13, 19ltleii 8957 . . . . . . 7
2111, 13elicc2i 10732 . . . . . . 7
2216, 18, 20, 21mpbir3an 1134 . . . . . 6
2322a1i 10 . . . . 5
24 htpycc.5 . . . . . . . . . . . 12
25 htpycc.7 . . . . . . . . . . . 12 Htpy
261, 2, 24, 25htpyi 18488 . . . . . . . . . . 11
2726simprd 449 . . . . . . . . . 10
28 htpycc.8 . . . . . . . . . . . 12 Htpy
291, 24, 3, 28htpyi 18488 . . . . . . . . . . 11
3029simpld 445 . . . . . . . . . 10
3127, 30eqtr4d 2331 . . . . . . . . 9
3231ralrimiva 2639 . . . . . . . 8
33 oveq1 5881 . . . . . . . . . 10
34 oveq1 5881 . . . . . . . . . 10
3533, 34eqeq12d 2310 . . . . . . . . 9
3635rspccva 2896 . . . . . . . 8
3732, 36sylan 457 . . . . . . 7
3837adantrl 696 . . . . . 6
39 simprl 732 . . . . . . . . 9
4039oveq2d 5890 . . . . . . . 8
41 2cn 9832 . . . . . . . . 9
42 2ne0 9845 . . . . . . . . 9
4341, 42recidi 9507 . . . . . . . 8
4440, 43syl6eq 2344 . . . . . . 7
4544oveq2d 5890 . . . . . 6
4644oveq1d 5889 . . . . . . . 8
47 1m1e0 9830 . . . . . . . 8
4846, 47syl6eq 2344 . . . . . . 7
4948oveq2d 5890 . . . . . 6
5038, 45, 493eqtr4d 2338 . . . . 5
51 retopon 18288 . . . . . . . 8 TopOn
52 iccssre 10747 . . . . . . . . 9
5311, 16, 52mp2an 653 . . . . . . . 8
54 resttopon 16908 . . . . . . . 8 TopOn t TopOn
5551, 53, 54mp2an 653 . . . . . . 7 t TopOn
5655a1i 10 . . . . . 6 t TopOn
5756, 1cnmpt2nd 17379 . . . . . 6 t
5856, 1cnmpt1st 17378 . . . . . . 7 t t
598iihalf1cn 18446 . . . . . . . 8 t
6059a1i 10 . . . . . . 7 t
61 oveq2 5882 . . . . . . 7
6256, 1, 58, 56, 60, 61cnmpt21 17381 . . . . . 6 t
631, 2, 24htpycn 18487 . . . . . . 7 Htpy
6463, 25sseldd 3194 . . . . . 6
6556, 1, 57, 62, 64cnmpt22f 17385 . . . . 5 t
66 iccssre 10747 . . . . . . . . 9
6716, 13, 66mp2an 653 . . . . . . . 8
68 resttopon 16908 . . . . . . . 8 TopOn t TopOn
6951, 67, 68mp2an 653 . . . . . . 7 t TopOn
7069a1i 10 . . . . . 6 t TopOn
7170, 1cnmpt2nd 17379 . . . . . 6 t
7270, 1cnmpt1st 17378 . . . . . . 7 t t
739iihalf2cn 18448 . . . . . . . 8 t
7473a1i 10 . . . . . . 7 t
7561oveq1d 5889 . . . . . . 7
7670, 1, 72, 70, 74, 75cnmpt21 17381 . . . . . 6 t
771, 24, 3htpycn 18487 . . . . . . 7 Htpy
7877, 28sseldd 3194 . . . . . 6
7970, 1, 71, 76, 78cnmpt22f 17385 . . . . 5 t
807, 8, 9, 10, 12, 14, 23, 1, 50, 65, 79cnmpt2pc 18442 . . . 4
816, 1, 80cnmptcom 17388 . . 3
824, 81syl5eqel 2380 . 2
83 simpr 447 . . . 4
84 0elunit 10770 . . . 4
85 simpr 447 . . . . . . . 8
8685, 18syl6eqbr 4076 . . . . . . 7
87 iftrue 3584 . . . . . . 7
8886, 87syl 15 . . . . . 6
89 simpl 443 . . . . . . 7
9085oveq2d 5890 . . . . . . . 8
9141mul01i 9018 . . . . . . . 8
9290, 91syl6eq 2344 . . . . . . 7
9389, 92oveq12d 5892 . . . . . 6
9488, 93eqtrd 2328 . . . . 5
95 ovex 5899 . . . . 5
9694, 4, 95ovmpt2a 5994 . . . 4
9783, 84, 96sylancl 643 . . 3
9826simpld 445 . . 3
9997, 98eqtrd 2328 . 2
100 1elunit 10771 . . . 4
10116, 13ltnlei 8955 . . . . . . . . 9
10219, 101mpbi 199 . . . . . . . 8
103 simpr 447 . . . . . . . . 9
104103breq1d 4049 . . . . . . . 8
105102, 104mtbiri 294 . . . . . . 7
106 iffalse 3585 . . . . . . 7
107105, 106syl 15 . . . . . 6
108 simpl 443 . . . . . . 7
109103oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10
11041mulid1i 8855 . . . . . . . . . 10
111109, 110syl6eq 2344 . . . . . . . . 9
112111oveq1d 5889 . . . . . . . 8
113 ax-1cn 8811 . . . . . . . . 9
114 1p1e2 9856 . . . . . . . . 9
11541, 113, 113, 114subaddrii 9151 . . . . . . . 8
116112, 115syl6eq 2344 . . . . . . 7
117108, 116oveq12d 5892 . . . . . 6
118107, 117eqtrd 2328 . . . . 5
119 ovex 5899 . . . . 5
120118, 4, 119ovmpt2a 5994 . . . 4
12183, 100, 120sylancl 643 . . 3
12229simprd 449 . . 3
123121, 122eqtrd 2328 . 2
1241, 2, 3, 82, 99, 123ishtpyd 18489 1 Htpy
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 358   wceq 1632   wcel 1696  wral 2556   wss 3165  cif 3578   class class class wbr 4039   cmpt 4093   crn 4706  cfv 5271  (class class class)co 5874   cmpt2 5876  cr 8752  cc0 8753  c1 8754   cmul 8758   clt 8883   cle 8884   cmin 9053   cdiv 9439  c2 9811  cioo 10672  cicc 10675   ↾t crest 13341  ctg 13358  TopOnctopon 16648   ccn 16970   ctx 17271  cii 18395   Htpy chtpy 18481 This theorem is referenced by:  phtpycc  18505 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-mulf 8833 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-ii 18397  df-htpy 18484
 Copyright terms: Public domain W3C validator