MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  htpycom Unicode version

Theorem htpycom 18874
Description: Given a homotopy from  F to  G, produce a homotopy from  G to  F. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ishtpy.1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
ishtpy.3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
ishtpy.4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( J  Cn  K ) )
htpycom.6  |-  M  =  ( x  e.  X ,  y  e.  (
0 [,] 1 ) 
|->  ( x H ( 1  -  y ) ) )
htpycom.7  |-  ( ph  ->  H  e.  ( F ( J Htpy  K ) G ) )
Assertion
Ref Expression
htpycom  |-  ( ph  ->  M  e.  ( G ( J Htpy  K ) F ) )
Distinct variable groups:    x, y, H    x, J, y    ph, x, y    x, K, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)    G( x, y)    M( x, y)

Proof of Theorem htpycom
Dummy variables  t 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ishtpy.1 . 2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 ishtpy.4 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  ( J  Cn  K ) )
3 ishtpy.3 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
4 htpycom.6 . . 3  |-  M  =  ( x  e.  X ,  y  e.  (
0 [,] 1 ) 
|->  ( x H ( 1  -  y ) ) )
5 iitopon 18782 . . . . 5  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
65a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) ) )
71, 6cnmpt1st 17623 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  (
0 [,] 1 ) 
|->  x )  e.  ( ( J  tX  II )  Cn  J ) )
81, 6cnmpt2nd 17624 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  (
0 [,] 1 ) 
|->  y )  e.  ( ( J  tX  II )  Cn  II ) )
9 iirevcn 18828 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( 1  -  z ) )  e.  ( II  Cn  II )
109a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( 1  -  z
) )  e.  ( II  Cn  II ) )
11 oveq2 6030 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  (
1  -  z )  =  ( 1  -  y ) )
121, 6, 8, 6, 10, 11cnmpt21 17626 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  (
0 [,] 1 ) 
|->  ( 1  -  y
) )  e.  ( ( J  tX  II )  Cn  II ) )
131, 3, 2htpycn 18871 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F ( J Htpy 
K ) G ) 
C_  ( ( J 
tX  II )  Cn  K ) )
14 htpycom.7 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H  e.  ( F ( J Htpy  K ) G ) )
1513, 14sseldd 3294 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  ( ( J  tX  II )  Cn  K ) )
161, 6, 7, 12, 15cnmpt22f 17630 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  (
0 [,] 1 ) 
|->  ( x H ( 1  -  y ) ) )  e.  ( ( J  tX  II )  Cn  K ) )
174, 16syl5eqel 2473 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ( J  tX  II )  Cn  K ) )
18 simpr 448 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  X )  ->  t  e.  X )
19 0elunit 10949 . . . 4  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
20 oveq1 6029 . . . . 5  |-  ( x  =  t  ->  (
x H ( 1  -  y ) )  =  ( t H ( 1  -  y
) ) )
21 oveq2 6030 . . . . . . 7  |-  ( y  =  0  ->  (
1  -  y )  =  ( 1  -  0 ) )
22 ax-1cn 8983 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
2322subid1i 9306 . . . . . . 7  |-  ( 1  -  0 )  =  1
2421, 23syl6eq 2437 . . . . . 6  |-  ( y  =  0  ->  (
1  -  y )  =  1 )
2524oveq2d 6038 . . . . 5  |-  ( y  =  0  ->  (
t H ( 1  -  y ) )  =  ( t H 1 ) )
26 ovex 6047 . . . . 5  |-  ( t H 1 )  e. 
_V
2720, 25, 4, 26ovmpt2 6150 . . . 4  |-  ( ( t  e.  X  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( t M 0 )  =  ( t H 1 ) )
2818, 19, 27sylancl 644 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  X )  ->  (
t M 0 )  =  ( t H 1 ) )
291, 3, 2, 14htpyi 18872 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  X )  ->  (
( t H 0 )  =  ( F `
 t )  /\  ( t H 1 )  =  ( G `
 t ) ) )
3029simprd 450 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  X )  ->  (
t H 1 )  =  ( G `  t ) )
3128, 30eqtrd 2421 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  X )  ->  (
t M 0 )  =  ( G `  t ) )
32 1elunit 10950 . . . 4  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
33 oveq2 6030 . . . . . . 7  |-  ( y  =  1  ->  (
1  -  y )  =  ( 1  -  1 ) )
34 1m1e0 10002 . . . . . . 7  |-  ( 1  -  1 )  =  0
3533, 34syl6eq 2437 . . . . . 6  |-  ( y  =  1  ->  (
1  -  y )  =  0 )
3635oveq2d 6038 . . . . 5  |-  ( y  =  1  ->  (
t H ( 1  -  y ) )  =  ( t H 0 ) )
37 ovex 6047 . . . . 5  |-  ( t H 0 )  e. 
_V
3820, 36, 4, 37ovmpt2 6150 . . . 4  |-  ( ( t  e.  X  /\  1  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( t M 1 )  =  ( t H 0 ) )
3918, 32, 38sylancl 644 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  X )  ->  (
t M 1 )  =  ( t H 0 ) )
4029simpld 446 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  X )  ->  (
t H 0 )  =  ( F `  t ) )
4139, 40eqtrd 2421 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  X )  ->  (
t M 1 )  =  ( F `  t ) )
421, 2, 3, 17, 31, 41ishtpyd 18873 1  |-  ( ph  ->  M  e.  ( G ( J Htpy  K ) F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    e. cmpt 4209   ` cfv 5396  (class class class)co 6022    e. cmpt2 6024   0cc0 8925   1c1 8926    - cmin 9225   [,]cicc 10853  TopOnctopon 16884    Cn ccn 17212    tX ctx 17515   IIcii 18778   Htpy chtpy 18865
This theorem is referenced by:  phtpycom  18886
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-of 6246  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-2o 6663  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-ixp 7002  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-fi 7353  df-sup 7383  df-oi 7414  df-card 7761  df-cda 7983  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-7 9997  df-8 9998  df-9 9999  df-10 10000  df-n0 10156  df-z 10217  df-dec 10317  df-uz 10423  df-q 10509  df-rp 10547  df-xneg 10644  df-xadd 10645  df-xmul 10646  df-ioo 10854  df-icc 10857  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-seq 11253  df-exp 11312  df-hash 11548  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-struct 13400  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ress 13405  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-starv 13473  df-sca 13474  df-vsca 13475  df-tset 13477  df-ple 13478  df-ds 13480  df-unif 13481  df-hom 13482  df-cco 13483  df-rest 13579  df-topn 13580  df-topgen 13596  df-pt 13597  df-prds 13600  df-xrs 13655  df-0g 13656  df-gsum 13657  df-qtop 13662  df-imas 13663  df-xps 13665  df-mre 13740  df-mrc 13741  df-acs 13743  df-mnd 14619  df-submnd 14668  df-mulg 14744  df-cntz 15045  df-cmn 15343  df-xmet 16621  df-met 16622  df-bl 16623  df-mopn 16624  df-cnfld 16629  df-top 16888  df-bases 16890  df-topon 16891  df-topsp 16892  df-cn 17215  df-cnp 17216  df-tx 17517  df-hmeo 17710  df-xms 18261  df-ms 18262  df-tms 18263  df-ii 18780  df-htpy 18868
  Copyright terms: Public domain W3C validator