MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  htpycom Unicode version

Theorem htpycom 18490
Description: Given a homotopy from  F to  G, produce a homotopy from  G to  F. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ishtpy.1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
ishtpy.3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
ishtpy.4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( J  Cn  K ) )
htpycom.6  |-  M  =  ( x  e.  X ,  y  e.  (
0 [,] 1 ) 
|->  ( x H ( 1  -  y ) ) )
htpycom.7  |-  ( ph  ->  H  e.  ( F ( J Htpy  K ) G ) )
Assertion
Ref Expression
htpycom  |-  ( ph  ->  M  e.  ( G ( J Htpy  K ) F ) )
Distinct variable groups:    x, y, H    x, J, y    ph, x, y    x, K, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)    G( x, y)    M( x, y)

Proof of Theorem htpycom
Dummy variables  t 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ishtpy.1 . 2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 ishtpy.4 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  ( J  Cn  K ) )
3 ishtpy.3 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
4 htpycom.6 . . 3  |-  M  =  ( x  e.  X ,  y  e.  (
0 [,] 1 ) 
|->  ( x H ( 1  -  y ) ) )
5 iitopon 18399 . . . . 5  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
65a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) ) )
71, 6cnmpt1st 17378 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  (
0 [,] 1 ) 
|->  x )  e.  ( ( J  tX  II )  Cn  J ) )
81, 6cnmpt2nd 17379 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  (
0 [,] 1 ) 
|->  y )  e.  ( ( J  tX  II )  Cn  II ) )
9 iirevcn 18444 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( 1  -  z ) )  e.  ( II  Cn  II )
109a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( 1  -  z
) )  e.  ( II  Cn  II ) )
11 oveq2 5882 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  (
1  -  z )  =  ( 1  -  y ) )
121, 6, 8, 6, 10, 11cnmpt21 17381 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  (
0 [,] 1 ) 
|->  ( 1  -  y
) )  e.  ( ( J  tX  II )  Cn  II ) )
131, 3, 2htpycn 18487 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F ( J Htpy 
K ) G ) 
C_  ( ( J 
tX  II )  Cn  K ) )
14 htpycom.7 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H  e.  ( F ( J Htpy  K ) G ) )
1513, 14sseldd 3194 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  ( ( J  tX  II )  Cn  K ) )
161, 6, 7, 12, 15cnmpt22f 17385 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  (
0 [,] 1 ) 
|->  ( x H ( 1  -  y ) ) )  e.  ( ( J  tX  II )  Cn  K ) )
174, 16syl5eqel 2380 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ( J  tX  II )  Cn  K ) )
18 simpr 447 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  X )  ->  t  e.  X )
19 0elunit 10770 . . . 4  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
20 oveq1 5881 . . . . 5  |-  ( x  =  t  ->  (
x H ( 1  -  y ) )  =  ( t H ( 1  -  y
) ) )
21 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( y  =  0  ->  (
1  -  y )  =  ( 1  -  0 ) )
22 ax-1cn 8811 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
2322subid1i 9134 . . . . . . 7  |-  ( 1  -  0 )  =  1
2421, 23syl6eq 2344 . . . . . 6  |-  ( y  =  0  ->  (
1  -  y )  =  1 )
2524oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( y  =  0  ->  (
t H ( 1  -  y ) )  =  ( t H 1 ) )
26 ovex 5899 . . . . 5  |-  ( t H 1 )  e. 
_V
2720, 25, 4, 26ovmpt2 5999 . . . 4  |-  ( ( t  e.  X  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( t M 0 )  =  ( t H 1 ) )
2818, 19, 27sylancl 643 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  X )  ->  (
t M 0 )  =  ( t H 1 ) )
291, 3, 2, 14htpyi 18488 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  X )  ->  (
( t H 0 )  =  ( F `
 t )  /\  ( t H 1 )  =  ( G `
 t ) ) )
3029simprd 449 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  X )  ->  (
t H 1 )  =  ( G `  t ) )
3128, 30eqtrd 2328 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  X )  ->  (
t M 0 )  =  ( G `  t ) )
32 1elunit 10771 . . . 4  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
33 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( y  =  1  ->  (
1  -  y )  =  ( 1  -  1 ) )
34 1m1e0 9830 . . . . . . 7  |-  ( 1  -  1 )  =  0
3533, 34syl6eq 2344 . . . . . 6  |-  ( y  =  1  ->  (
1  -  y )  =  0 )
3635oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( y  =  1  ->  (
t H ( 1  -  y ) )  =  ( t H 0 ) )
37 ovex 5899 . . . . 5  |-  ( t H 0 )  e. 
_V
3820, 36, 4, 37ovmpt2 5999 . . . 4  |-  ( ( t  e.  X  /\  1  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( t M 1 )  =  ( t H 0 ) )
3918, 32, 38sylancl 643 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  X )  ->  (
t M 1 )  =  ( t H 0 ) )
4029simpld 445 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  X )  ->  (
t H 0 )  =  ( F `  t ) )
4139, 40eqtrd 2328 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  X )  ->  (
t M 1 )  =  ( F `  t ) )
421, 2, 3, 17, 31, 41ishtpyd 18489 1  |-  ( ph  ->  M  e.  ( G ( J Htpy  K ) F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   0cc0 8753   1c1 8754    - cmin 9053   [,]cicc 10675  TopOnctopon 16648    Cn ccn 16970    tX ctx 17271   IIcii 18395   Htpy chtpy 18481
This theorem is referenced by:  phtpycom  18502
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-ii 18397  df-htpy 18484
  Copyright terms: Public domain W3C validator