MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  htpyid Unicode version

Theorem htpyid 18475
Description: A homotopy from a function to itself. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
htpyid.1  |-  G  =  ( x  e.  X ,  y  e.  (
0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  x
) )
htpyid.2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
htpyid.4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
Assertion
Ref Expression
htpyid  |-  ( ph  ->  G  e.  ( F ( J Htpy  K ) F ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, J, y    x, K, y    ph, x, y   
x, X, y
Allowed substitution hints:    G( x, y)

Proof of Theorem htpyid
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 htpyid.2 . 2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 htpyid.4 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
3 htpyid.1 . . 3  |-  G  =  ( x  e.  X ,  y  e.  (
0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  x
) )
4 iitopon 18383 . . . . 5  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
54a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) ) )
61, 5cnmpt1st 17362 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  (
0 [,] 1 ) 
|->  x )  e.  ( ( J  tX  II )  Cn  J ) )
71, 5, 6, 2cnmpt21f 17366 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  (
0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  x
) )  e.  ( ( J  tX  II )  Cn  K ) )
83, 7syl5eqel 2367 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( J  tX  II )  Cn  K ) )
9 simpr 447 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  X )  ->  s  e.  X )
10 0elunit 10754 . . 3  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
11 fveq2 5525 . . . 4  |-  ( x  =  s  ->  ( F `  x )  =  ( F `  s ) )
12 eqidd 2284 . . . 4  |-  ( y  =  0  ->  ( F `  s )  =  ( F `  s ) )
13 fvex 5539 . . . 4  |-  ( F `
 s )  e. 
_V
1411, 12, 3, 13ovmpt2 5983 . . 3  |-  ( ( s  e.  X  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( s G 0 )  =  ( F `  s ) )
159, 10, 14sylancl 643 . 2  |-  ( (
ph  /\  s  e.  X )  ->  (
s G 0 )  =  ( F `  s ) )
16 1elunit 10755 . . 3  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
17 eqidd 2284 . . . 4  |-  ( y  =  1  ->  ( F `  s )  =  ( F `  s ) )
1811, 17, 3, 13ovmpt2 5983 . . 3  |-  ( ( s  e.  X  /\  1  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( s G 1 )  =  ( F `  s ) )
199, 16, 18sylancl 643 . 2  |-  ( (
ph  /\  s  e.  X )  ->  (
s G 1 )  =  ( F `  s ) )
201, 2, 2, 8, 15, 19ishtpyd 18473 1  |-  ( ph  ->  G  e.  ( F ( J Htpy  K ) F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   0cc0 8737   1c1 8738   [,]cicc 10659  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954    tX ctx 17255   IIcii 18379   Htpy chtpy 18465
This theorem is referenced by:  phtpyid  18487
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-icc 10663  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cn 16957  df-tx 17257  df-ii 18381  df-htpy 18468
  Copyright terms: Public domain W3C validator