Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hvmapffval Structured version   Unicode version

Theorem hvmapffval 32558
Description: Map from nonzero vectors to nonzero functionals in the closed kernel dual space. (Contributed by NM, 23-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hvmapval.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
hvmapffval  |-  ( K  e.  X  ->  (HVMap `  K )  =  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ( (
Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) } )  |->  ( v  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  ( iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ( j ( .s `  ( (
DVecH `  K ) `  w ) ) x ) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    w, H    t, j, v, x, w, K
Allowed substitution hints:    H( x, v, t, j)    X( x, w, v, t, j)

Proof of Theorem hvmapffval
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2966 . 2  |-  ( K  e.  X  ->  K  e.  _V )
2 fveq2 5730 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  ( LHyp `  k )  =  ( LHyp `  K
) )
3 hvmapval.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
42, 3syl6eqr 2488 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  ( LHyp `  k )  =  H )
5 fveq2 5730 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  ( DVecH `  k )  =  ( DVecH `  K )
)
65fveq1d 5732 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  (
( DVecH `  k ) `  w )  =  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )
76fveq2d 5734 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( Base `  ( ( DVecH `  k ) `  w
) )  =  (
Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) )
86fveq2d 5734 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( 0g `  ( ( DVecH `  k ) `  w
) )  =  ( 0g `  ( (
DVecH `  K ) `  w ) ) )
98sneqd 3829 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  { ( 0g `  ( (
DVecH `  k ) `  w ) ) }  =  { ( 0g
`  ( ( DVecH `  K ) `  w
) ) } )
107, 9difeq12d 3468 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  (
( Base `  ( ( DVecH `  k ) `  w ) )  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) } )  =  ( ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) } ) )
116fveq2d 5734 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  (Scalar `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)  =  (Scalar `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) )
1211fveq2d 5734 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( Base `  (Scalar `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) )  =  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ) )
13 fveq2 5730 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  K  ->  ( ocH `  k )  =  ( ocH `  K
) )
1413fveq1d 5732 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  (
( ocH `  k
) `  w )  =  ( ( ocH `  K ) `  w
) )
1514fveq1d 5732 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  (
( ( ocH `  k
) `  w ) `  { x } )  =  ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  { x } ) )
166fveq2d 5734 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  K  ->  ( +g  `  ( ( DVecH `  k ) `  w
) )  =  ( +g  `  ( (
DVecH `  K ) `  w ) ) )
17 eqidd 2439 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  K  ->  t  =  t )
186fveq2d 5734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  K  ->  ( .s `  ( ( DVecH `  k ) `  w
) )  =  ( .s `  ( (
DVecH `  K ) `  w ) ) )
1918oveqd 6100 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  K  ->  (
j ( .s `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) x )  =  ( j ( .s
`  ( ( DVecH `  K ) `  w
) ) x ) )
2016, 17, 19oveq123d 6104 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  (
t ( +g  `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) x ) )  =  ( t ( +g  `  ( (
DVecH `  K ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) x ) ) )
2120eqeq2d 2449 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  (
v  =  ( t ( +g  `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) x ) )  <-> 
v  =  ( t ( +g  `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) x ) ) ) )
2215, 21rexeqbidv 2919 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( E. t  e.  (
( ( ocH `  k
) `  w ) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) x ) )  <->  E. t  e.  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) x ) ) ) )
2312, 22riotaeqbidv 6554 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  k ) `  w ) ) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  k
) `  w ) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) x ) ) )  =  ( iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ( j ( .s `  ( (
DVecH `  K ) `  w ) ) x ) ) ) )
247, 23mpteq12dv 4289 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  (
v  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)  |->  ( iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  k ) `  w
) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) ( j ( .s `  ( (
DVecH `  k ) `  w ) ) x ) ) ) )  =  ( v  e.  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |->  (
iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) x ) ) ) ) )
2510, 24mpteq12dv 4289 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  (
x  e.  ( (
Base `  ( ( DVecH `  k ) `  w ) )  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) } )  |->  ( v  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)  |->  ( iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  k ) `  w
) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) ( j ( .s `  ( (
DVecH `  k ) `  w ) ) x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) ) } ) 
|->  ( v  e.  (
Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )  |->  (
iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) x ) ) ) ) ) )
264, 25mpteq12dv 4289 . . 3  |-  ( k  =  K  ->  (
w  e.  ( LHyp `  k )  |->  ( x  e.  ( ( Base `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  k ) `  w
) ) } ) 
|->  ( v  e.  (
Base `  ( ( DVecH `  k ) `  w ) )  |->  (
iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  k
) `  w ) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) x ) ) ) ) ) )  =  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ( ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) } )  |->  ( v  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  ( iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ( j ( .s `  ( (
DVecH `  K ) `  w ) ) x ) ) ) ) ) ) )
27 df-hvmap 32557 . . 3  |- HVMap  =  ( k  e.  _V  |->  ( w  e.  ( LHyp `  k )  |->  ( x  e.  ( ( Base `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  k ) `  w
) ) } ) 
|->  ( v  e.  (
Base `  ( ( DVecH `  k ) `  w ) )  |->  (
iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  k
) `  w ) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) x ) ) ) ) ) ) )
28 fvex 5744 . . . . 5  |-  ( LHyp `  K )  e.  _V
293, 28eqeltri 2508 . . . 4  |-  H  e. 
_V
3029mptex 5968 . . 3  |-  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ( ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) ) } ) 
|->  ( v  e.  (
Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )  |->  (
iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) x ) ) ) ) ) )  e.  _V
3126, 27, 30fvmpt 5808 . 2  |-  ( K  e.  _V  ->  (HVMap `  K )  =  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ( (
Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) } )  |->  ( v  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  ( iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ( j ( .s `  ( (
DVecH `  K ) `  w ) ) x ) ) ) ) ) ) )
321, 31syl 16 1  |-  ( K  e.  X  ->  (HVMap `  K )  =  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ( (
Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) } )  |->  ( v  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  ( iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ( j ( .s `  ( (
DVecH `  K ) `  w ) ) x ) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    \ cdif 3319   {csn 3816    e. cmpt 4268   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   iota_crio 6544   Basecbs 13471   +g cplusg 13531  Scalarcsca 13534   .scvsca 13535   0gc0g 13725   LHypclh 30783   DVecHcdvh 31878   ocHcoch 32147  HVMapchvm 32556
This theorem is referenced by:  hvmapfval  32559
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pr 4405
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-riota 6551  df-hvmap 32557
  Copyright terms: Public domain W3C validator