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Theorem hvmapffval 32570
Description: Map from nonzero vectors to nonzero functionals in the closed kernel dual space. (Contributed by NM, 23-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hvmapval.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
hvmapffval  |-  ( K  e.  X  ->  (HVMap `  K )  =  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ( (
Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) } )  |->  ( v  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  ( iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ( j ( .s `  ( (
DVecH `  K ) `  w ) ) x ) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    w, H    t, j, v, x, w, K
Allowed substitution hints:    H( x, v, t, j)    X( x, w, v, t, j)

Proof of Theorem hvmapffval
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2809 . 2  |-  ( K  e.  X  ->  K  e.  _V )
2 fveq2 5541 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  ( LHyp `  k )  =  ( LHyp `  K
) )
3 hvmapval.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
42, 3syl6eqr 2346 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  ( LHyp `  k )  =  H )
5 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  ( DVecH `  k )  =  ( DVecH `  K )
)
65fveq1d 5543 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  (
( DVecH `  k ) `  w )  =  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )
76fveq2d 5545 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( Base `  ( ( DVecH `  k ) `  w
) )  =  (
Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) )
86fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( 0g `  ( ( DVecH `  k ) `  w
) )  =  ( 0g `  ( (
DVecH `  K ) `  w ) ) )
98sneqd 3666 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  { ( 0g `  ( (
DVecH `  k ) `  w ) ) }  =  { ( 0g
`  ( ( DVecH `  K ) `  w
) ) } )
107, 9difeq12d 3308 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  (
( Base `  ( ( DVecH `  k ) `  w ) )  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) } )  =  ( ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) } ) )
116fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  (Scalar `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)  =  (Scalar `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) )
1211fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( Base `  (Scalar `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) )  =  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ) )
13 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  K  ->  ( ocH `  k )  =  ( ocH `  K
) )
1413fveq1d 5543 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  (
( ocH `  k
) `  w )  =  ( ( ocH `  K ) `  w
) )
1514fveq1d 5543 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  (
( ( ocH `  k
) `  w ) `  { x } )  =  ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  { x } ) )
166fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  K  ->  ( +g  `  ( ( DVecH `  k ) `  w
) )  =  ( +g  `  ( (
DVecH `  K ) `  w ) ) )
17 eqidd 2297 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  K  ->  t  =  t )
186fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  K  ->  ( .s `  ( ( DVecH `  k ) `  w
) )  =  ( .s `  ( (
DVecH `  K ) `  w ) ) )
1918oveqd 5891 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  K  ->  (
j ( .s `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) x )  =  ( j ( .s
`  ( ( DVecH `  K ) `  w
) ) x ) )
2016, 17, 19oveq123d 5895 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  (
t ( +g  `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) x ) )  =  ( t ( +g  `  ( (
DVecH `  K ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) x ) ) )
2120eqeq2d 2307 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  (
v  =  ( t ( +g  `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) x ) )  <-> 
v  =  ( t ( +g  `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) x ) ) ) )
2215, 21rexeqbidv 2762 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( E. t  e.  (
( ( ocH `  k
) `  w ) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) x ) )  <->  E. t  e.  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) x ) ) ) )
2312, 22riotaeqbidv 6323 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  k ) `  w ) ) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  k
) `  w ) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) x ) ) )  =  ( iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ( j ( .s `  ( (
DVecH `  K ) `  w ) ) x ) ) ) )
247, 23mpteq12dv 4114 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  (
v  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)  |->  ( iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  k ) `  w
) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) ( j ( .s `  ( (
DVecH `  k ) `  w ) ) x ) ) ) )  =  ( v  e.  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |->  (
iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) x ) ) ) ) )
2510, 24mpteq12dv 4114 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  (
x  e.  ( (
Base `  ( ( DVecH `  k ) `  w ) )  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) } )  |->  ( v  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)  |->  ( iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  k ) `  w
) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) ( j ( .s `  ( (
DVecH `  k ) `  w ) ) x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) ) } ) 
|->  ( v  e.  (
Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )  |->  (
iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) x ) ) ) ) ) )
264, 25mpteq12dv 4114 . . 3  |-  ( k  =  K  ->  (
w  e.  ( LHyp `  k )  |->  ( x  e.  ( ( Base `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  k ) `  w
) ) } ) 
|->  ( v  e.  (
Base `  ( ( DVecH `  k ) `  w ) )  |->  (
iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  k
) `  w ) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) x ) ) ) ) ) )  =  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ( ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) } )  |->  ( v  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  ( iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ( j ( .s `  ( (
DVecH `  K ) `  w ) ) x ) ) ) ) ) ) )
27 df-hvmap 32569 . . 3  |- HVMap  =  ( k  e.  _V  |->  ( w  e.  ( LHyp `  k )  |->  ( x  e.  ( ( Base `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  k ) `  w
) ) } ) 
|->  ( v  e.  (
Base `  ( ( DVecH `  k ) `  w ) )  |->  (
iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  k
) `  w ) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) x ) ) ) ) ) ) )
28 fvex 5555 . . . . 5  |-  ( LHyp `  K )  e.  _V
293, 28eqeltri 2366 . . . 4  |-  H  e. 
_V
3029mptex 5762 . . 3  |-  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ( ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) ) } ) 
|->  ( v  e.  (
Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )  |->  (
iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) x ) ) ) ) ) )  e.  _V
3126, 27, 30fvmpt 5618 . 2  |-  ( K  e.  _V  ->  (HVMap `  K )  =  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ( (
Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) } )  |->  ( v  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  ( iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ( j ( .s `  ( (
DVecH `  K ) `  w ) ) x ) ) ) ) ) ) )
321, 31syl 15 1  |-  ( K  e.  X  ->  (HVMap `  K )  =  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ( (
Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) } )  |->  ( v  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  ( iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ( j ( .s `  ( (
DVecH `  K ) `  w ) ) x ) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    \ cdif 3162   {csn 3653    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   iota_crio 6313   Basecbs 13164   +g cplusg 13224  Scalarcsca 13227   .scvsca 13228   0gc0g 13416   LHypclh 30795   DVecHcdvh 31890   ocHcoch 32159  HVMapchvm 32568
This theorem is referenced by:  hvmapfval  32571
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-riota 6320  df-hvmap 32569
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