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Theorem hvmapffval 31948
Description: Map from nonzero vectors to nonzero functionals in the closed kernel dual space. (Contributed by NM, 23-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hvmapval.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
hvmapffval  |-  ( K  e.  X  ->  (HVMap `  K )  =  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ( (
Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) } )  |->  ( v  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  ( iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ( j ( .s `  ( (
DVecH `  K ) `  w ) ) x ) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    w, H    t, j, v, x, w, K
Allowed substitution hints:    H( x, v, t, j)    X( x, w, v, t, j)

Proof of Theorem hvmapffval
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2796 . 2  |-  ( K  e.  X  ->  K  e.  _V )
2 fveq2 5525 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  ( LHyp `  k )  =  ( LHyp `  K
) )
3 hvmapval.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
42, 3syl6eqr 2333 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  ( LHyp `  k )  =  H )
5 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  ( DVecH `  k )  =  ( DVecH `  K )
)
65fveq1d 5527 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  (
( DVecH `  k ) `  w )  =  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )
76fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( Base `  ( ( DVecH `  k ) `  w
) )  =  (
Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) )
86fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( 0g `  ( ( DVecH `  k ) `  w
) )  =  ( 0g `  ( (
DVecH `  K ) `  w ) ) )
98sneqd 3653 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  { ( 0g `  ( (
DVecH `  k ) `  w ) ) }  =  { ( 0g
`  ( ( DVecH `  K ) `  w
) ) } )
107, 9difeq12d 3295 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  (
( Base `  ( ( DVecH `  k ) `  w ) )  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) } )  =  ( ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) } ) )
116fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  (Scalar `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)  =  (Scalar `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) )
1211fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( Base `  (Scalar `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) )  =  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ) )
13 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  K  ->  ( ocH `  k )  =  ( ocH `  K
) )
1413fveq1d 5527 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  (
( ocH `  k
) `  w )  =  ( ( ocH `  K ) `  w
) )
1514fveq1d 5527 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  (
( ( ocH `  k
) `  w ) `  { x } )  =  ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  { x } ) )
166fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  K  ->  ( +g  `  ( ( DVecH `  k ) `  w
) )  =  ( +g  `  ( (
DVecH `  K ) `  w ) ) )
17 eqidd 2284 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  K  ->  t  =  t )
186fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  K  ->  ( .s `  ( ( DVecH `  k ) `  w
) )  =  ( .s `  ( (
DVecH `  K ) `  w ) ) )
1918oveqd 5875 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  K  ->  (
j ( .s `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) x )  =  ( j ( .s
`  ( ( DVecH `  K ) `  w
) ) x ) )
2016, 17, 19oveq123d 5879 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  (
t ( +g  `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) x ) )  =  ( t ( +g  `  ( (
DVecH `  K ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) x ) ) )
2120eqeq2d 2294 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  (
v  =  ( t ( +g  `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) x ) )  <-> 
v  =  ( t ( +g  `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) x ) ) ) )
2215, 21rexeqbidv 2749 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( E. t  e.  (
( ( ocH `  k
) `  w ) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) x ) )  <->  E. t  e.  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) x ) ) ) )
2312, 22riotaeqbidv 6307 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  k ) `  w ) ) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  k
) `  w ) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) x ) ) )  =  ( iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ( j ( .s `  ( (
DVecH `  K ) `  w ) ) x ) ) ) )
247, 23mpteq12dv 4098 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  (
v  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)  |->  ( iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  k ) `  w
) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) ( j ( .s `  ( (
DVecH `  k ) `  w ) ) x ) ) ) )  =  ( v  e.  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |->  (
iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) x ) ) ) ) )
2510, 24mpteq12dv 4098 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  (
x  e.  ( (
Base `  ( ( DVecH `  k ) `  w ) )  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) } )  |->  ( v  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)  |->  ( iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  k ) `  w
) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) ( j ( .s `  ( (
DVecH `  k ) `  w ) ) x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) ) } ) 
|->  ( v  e.  (
Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )  |->  (
iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) x ) ) ) ) ) )
264, 25mpteq12dv 4098 . . 3  |-  ( k  =  K  ->  (
w  e.  ( LHyp `  k )  |->  ( x  e.  ( ( Base `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  k ) `  w
) ) } ) 
|->  ( v  e.  (
Base `  ( ( DVecH `  k ) `  w ) )  |->  (
iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  k
) `  w ) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) x ) ) ) ) ) )  =  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ( ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) } )  |->  ( v  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  ( iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ( j ( .s `  ( (
DVecH `  K ) `  w ) ) x ) ) ) ) ) ) )
27 df-hvmap 31947 . . 3  |- HVMap  =  ( k  e.  _V  |->  ( w  e.  ( LHyp `  k )  |->  ( x  e.  ( ( Base `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  k ) `  w
) ) } ) 
|->  ( v  e.  (
Base `  ( ( DVecH `  k ) `  w ) )  |->  (
iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  k
) `  w ) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) x ) ) ) ) ) ) )
28 fvex 5539 . . . . 5  |-  ( LHyp `  K )  e.  _V
293, 28eqeltri 2353 . . . 4  |-  H  e. 
_V
3029mptex 5746 . . 3  |-  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ( ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) ) } ) 
|->  ( v  e.  (
Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )  |->  (
iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) ( j ( .s `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) x ) ) ) ) ) )  e.  _V
3126, 27, 30fvmpt 5602 . 2  |-  ( K  e.  _V  ->  (HVMap `  K )  =  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ( (
Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) } )  |->  ( v  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  ( iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ( j ( .s `  ( (
DVecH `  K ) `  w ) ) x ) ) ) ) ) ) )
321, 31syl 15 1  |-  ( K  e.  X  ->  (HVMap `  K )  =  ( w  e.  H  |->  ( x  e.  ( (
Base `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )  \  { ( 0g `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) } )  |->  ( v  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  ( iota_ j  e.  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ) E. t  e.  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  { x } ) v  =  ( t ( +g  `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) ( j ( .s `  ( (
DVecH `  K ) `  w ) ) x ) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    \ cdif 3149   {csn 3640    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   iota_crio 6297   Basecbs 13148   +g cplusg 13208  Scalarcsca 13211   .scvsca 13212   0gc0g 13400   LHypclh 30173   DVecHcdvh 31268   ocHcoch 31537  HVMapchvm 31946
This theorem is referenced by:  hvmapfval  31949
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-riota 6304  df-hvmap 31947
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