Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hvmapfval Structured version   Unicode version

Theorem hvmapfval 32557
 Description: Map from nonzero vectors to nonzero functionals in the closed kernel dual space. (Contributed by NM, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hvmapval.h
hvmapval.u
hvmapval.o
hvmapval.v
hvmapval.p
hvmapval.t
hvmapval.z
hvmapval.s Scalar
hvmapval.r
hvmapval.m HVMap
hvmapval.k
Assertion
Ref Expression
hvmapfval
Distinct variable groups:   ,,,,   ,   ,   ,   ,   ,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,,,)   (,,,)   (,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,)   (,,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem hvmapfval
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hvmapval.k . 2
2 hvmapval.m . . . 4 HVMap
3 hvmapval.h . . . . . 6
43hvmapffval 32556 . . . . 5 HVMap Scalar
54fveq1d 5730 . . . 4 HVMap Scalar
62, 5syl5eq 2480 . . 3 Scalar
7 fveq2 5728 . . . . . . . . 9
8 hvmapval.u . . . . . . . . 9
97, 8syl6eqr 2486 . . . . . . . 8
109fveq2d 5732 . . . . . . 7
11 hvmapval.v . . . . . . 7
1210, 11syl6eqr 2486 . . . . . 6
139fveq2d 5732 . . . . . . . 8
14 hvmapval.z . . . . . . . 8
1513, 14syl6eqr 2486 . . . . . . 7
1615sneqd 3827 . . . . . 6
1712, 16difeq12d 3466 . . . . 5
189fveq2d 5732 . . . . . . . . . 10 Scalar Scalar
19 hvmapval.s . . . . . . . . . 10 Scalar
2018, 19syl6eqr 2486 . . . . . . . . 9 Scalar
2120fveq2d 5732 . . . . . . . 8 Scalar
22 hvmapval.r . . . . . . . 8
2321, 22syl6eqr 2486 . . . . . . 7 Scalar
24 fveq2 5728 . . . . . . . . . 10
25 hvmapval.o . . . . . . . . . 10
2624, 25syl6eqr 2486 . . . . . . . . 9
2726fveq1d 5730 . . . . . . . 8
289fveq2d 5732 . . . . . . . . . . 11
29 hvmapval.p . . . . . . . . . . 11
3028, 29syl6eqr 2486 . . . . . . . . . 10
31 eqidd 2437 . . . . . . . . . 10
329fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . 12
33 hvmapval.t . . . . . . . . . . . 12
3432, 33syl6eqr 2486 . . . . . . . . . . 11
3534oveqd 6098 . . . . . . . . . 10
3630, 31, 35oveq123d 6102 . . . . . . . . 9
3736eqeq2d 2447 . . . . . . . 8
3827, 37rexeqbidv 2917 . . . . . . 7
3923, 38riotaeqbidv 6552 . . . . . 6 Scalar
4012, 39mpteq12dv 4287 . . . . 5 Scalar
4117, 40mpteq12dv 4287 . . . 4 Scalar
42 eqid 2436 . . . 4 Scalar Scalar
43 fvex 5742 . . . . . . 7
4411, 43eqeltri 2506 . . . . . 6
45 difexg 4351 . . . . . 6
4644, 45ax-mp 8 . . . . 5
4746mptex 5966 . . . 4
4841, 42, 47fvmpt 5806 . . 3 Scalar
496, 48sylan9eq 2488 . 2
501, 49syl 16 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wrex 2706  cvv 2956   cdif 3317  csn 3814   cmpt 4266  cfv 5454  (class class class)co 6081  crio 6542  cbs 13469   cplusg 13529  Scalarcsca 13532  cvsca 13533  c0g 13723  clh 30781  cdvh 31876  coch 32145  HVMapchvm 32554 This theorem is referenced by:  hvmapval  32558  hvmap1o  32561  hvmaplkr  32566 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-riota 6549  df-hvmap 32555
 Copyright terms: Public domain W3C validator