HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvmulcl Structured version   Unicode version

Theorem hvmulcl 22516
Description: Closure of scalar multiplication. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvmulcl  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  ~H )  ->  ( A  .h  B
)  e.  ~H )

Proof of Theorem hvmulcl
StepHypRef Expression
1 ax-hfvmul 22508 . 2  |-  .h  :
( CC  X.  ~H )
--> ~H
21fovcl 6175 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  ~H )  ->  ( A  .h  B
)  e.  ~H )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1725  (class class class)co 6081   CCcc 8988   ~Hchil 22422    .h csm 22424
This theorem is referenced by:  hvmulcli  22517  hvsubf  22518  hvsubcl  22520  hv2neg  22530  hvaddsubval  22535  hvsub4  22539  hvaddsub12  22540  hvpncan  22541  hvaddsubass  22543  hvsubass  22546  hvsubdistr1  22551  hvsubdistr2  22552  hvaddeq0  22571  hvmulcan  22574  hvmulcan2  22575  hvsubcan  22576  his5  22588  his35  22590  hiassdi  22593  his2sub  22594  hilablo  22662  helch  22746  ocsh  22785  h1de2ci  23058  spansncol  23070  spanunsni  23081  mayete3i  23230  mayete3iOLD  23231  homcl  23249  homulcl  23262  unoplin  23423  hmoplin  23445  bramul  23449  bralnfn  23451  brafnmul  23454  kbop  23456  kbmul  23458  lnopmul  23470  lnopaddmuli  23476  lnopsubmuli  23478  lnopmulsubi  23479  0lnfn  23488  nmlnop0iALT  23498  lnopmi  23503  lnophsi  23504  lnopcoi  23506  lnopeq0i  23510  nmbdoplbi  23527  nmcexi  23529  nmcoplbi  23531  lnfnmuli  23547  lnfnaddmuli  23548  nmbdfnlbi  23552  nmcfnlbi  23555  nlelshi  23563  riesz3i  23565  cnlnadjlem2  23571  cnlnadjlem6  23575  adjlnop  23589  nmopcoi  23598  branmfn  23608  cnvbramul  23618  kbass2  23620  kbass5  23623  superpos  23857  cdj1i  23936
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403  ax-hfvmul 22508
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-fv 5462  df-ov 6084
  Copyright terms: Public domain W3C validator