Theorem hvsubclt 8887

Description: Closure of vector subtraction.

Assertion

Ref	Expression
hvsubclt	|- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> (A -h B) e. H~)

Proof of Theorem hvsubclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvsubvalt 8886	. 2 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> (A -h B) = (A +h (-u1 .h B)))
2		hvaddclt 8882	. . 3 |- ((A e. H~ /\ (-u1 .h B) e. H~) -> (A +h (-u1 .h B)) e. H~)
3		ax1cn 5269	. . . . 5 |- 1 e. CC
4	3	negcl 5369	. . . 4 |- -u1 e. CC
5		hvmulclt 8883	. . . 4 |- ((-u1 e. CC /\ B e. H~) -> (-u1 .h B) e. H~)
6	4, 5	mpan 695	. . 3 |- (B e. H~ -> (-u1 .h B) e. H~)
7	2, 6	sylan2 451	. 2 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> (A +h (-u1 .h B)) e. H~)
8	1, 7	eqeltrd 1548	1 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> (A -h B) e. H~)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 958  (class class class)co 3963  CCcc 5232  1c1 5235  -ucneg 5293  H~chil 8788   +h cva 8789   .h csm 8790   -h cmv 8792

This theorem is referenced by:  hvsubcl 8891  hvmulcant 8939  hvsubcan2t 8942  hvaddsub4t 8945  his2sub2t 8959  hi2eqt 8971  hial2eqt 8972  hhph 9045  hcau2 9055  chocuni 9172  occllem6 9178  projlem8 9193  projlem10 9195  projlem12 9197  projlem13 9198  projlem15 9200  projlem24 9209  projlem25 9210  projlem26 9211  projlem28 9213  hodclt 9525  osumlem2 9579  osumlem3 9580  osumlem4 9581  5oalem2 9600  5oalem3 9601  5oalem5 9603  3oalem2 9608  hosubcl 9695  unopf1ot 9840  lnopeq0 9932  lnopcon 9963  lnfncon 9990  riesz3 9995  riesz4 9996  hmopidmch 10079  hmopidmpj 10080  pjclem4 10127  pj3s 10135  cdj1 10360

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625  ax-hfvadd 8870  ax-hfvmul 8875

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-sub 5356  df-neg 5358  df-hvsub 8840

Copyright terms: Public domain