HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubf Structured version   Unicode version

Theorem hvsubf 22518
Description: Mapping domain and codomain of vector subtraction. (Contributed by NM, 6-Sep-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvsubf  |-  -h  :
( ~H  X.  ~H )
--> ~H

Proof of Theorem hvsubf
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neg1cn 10067 . . . . 5  |-  -u 1  e.  CC
2 hvmulcl 22516 . . . . 5  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( -u 1  .h  y )  e.  ~H )
31, 2mpan 652 . . . 4  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( -u 1  .h  y )  e.  ~H )
4 hvaddcl 22515 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( -u 1  .h  y
)  e.  ~H )  ->  ( x  +h  ( -u 1  .h  y ) )  e.  ~H )
53, 4sylan2 461 . . 3  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  +h  ( -u 1  .h  y ) )  e.  ~H )
65rgen2a 2772 . 2  |-  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  +h  ( -u 1  .h  y
) )  e.  ~H
7 df-hvsub 22474 . . 3  |-  -h  =  ( x  e.  ~H ,  y  e.  ~H  |->  ( x  +h  ( -u 1  .h  y ) ) )
87fmpt2 6418 . 2  |-  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( x  +h  ( -u 1  .h  y
) )  e.  ~H  <->  -h  : ( ~H  X.  ~H ) --> ~H )
96, 8mpbi 200 1  |-  -h  :
( ~H  X.  ~H )
--> ~H
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1725   A.wral 2705    X. cxp 4876   -->wf 5450  (class class class)co 6081   CCcc 8988   1c1 8991   -ucneg 9292   ~Hchil 22422    +h cva 22423    .h csm 22424    -h cmv 22428
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-hfvadd 22503  ax-hfvmul 22508
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-ltxr 9125  df-sub 9293  df-neg 9294  df-hvsub 22474
  Copyright terms: Public domain W3C validator