Theorem hvsubvalt 8881

Description: Value of vector subtraction.

Assertion

Ref	Expression
hvsubvalt	|- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> (A -h B) = (A +h (-u1 .h B)))

Proof of Theorem hvsubvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprex 3989	. 2 |- (A +h (-u1 .h B)) e. V
2		opreq1 3974	. 2 |- (x = A -> (x +h (-u1 .h y)) = (A +h (-u1 .h y)))
3		opreq2 3975	. . 3 |- (y = B -> (-u1 .h y) = (-u1 .h B))
4	3	opreq2d 3982	. 2 |- (y = B -> (A +h (-u1 .h y)) = (A +h (-u1 .h B)))
5		df-hvsub 8835	. 2 |- -h = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. H~ /\ y e. H~) /\ z = (x +h (-u1 .h y)))}
6	1, 2, 4, 5	oprabval2 4034	1 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> (A -h B) = (A +h (-u1 .h B)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  (class class class)co 3969  1c1 5247  -ucneg 5305  H~chil 8783   +h cva 8784   .h csm 8785   -h cmv 8787

This theorem is referenced by:  hvsubclt 8882  hvsubval 8885  hvsubidt 8890  hvnegidt 8891  hv2negt 8892  hvaddsubvalt 8897  hvsub4t 8901  hvaddsub12t 8902  hvpncant 8903  hvaddsubasst 8905  hvsubdistr1t 8911  hvsubdistr2t 8912  hvsubcant 8936  hvsub0t 8938  his2subt 8953  hhph 9040  shsubclt 9084  shsubcltOLD 9085  shsel3t 9274  honegsub 9717  lnopsub 9893  lnfnsub 9970  superpos 10276  cdj1 10355

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-rex 1653  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fv 3204  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-hvsub 8835

Copyright terms: Public domain