MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1f0rn Structured version   Unicode version

Theorem i1f0rn 19564
Description: Any simple function takes the value zero on a set of unbounded measure, so in particular this set is not empty. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
i1f0rn  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  0  e.  ran  F )

Proof of Theorem i1f0rn
StepHypRef Expression
1 pnfnre 9117 . . 3  |-  +oo  e/  RR
2 df-nel 2601 . . 3  |-  (  +oo  e/  RR  <->  -.  +oo  e.  RR )
31, 2mpbi 200 . 2  |-  -.  +oo  e.  RR
4 rembl 19425 . . . . . 6  |-  RR  e.  dom  vol
5 mblvol 19416 . . . . . 6  |-  ( RR  e.  dom  vol  ->  ( vol `  RR )  =  ( vol * `  RR ) )
64, 5ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( vol `  RR )  =  ( vol * `  RR )
7 ovolre 19411 . . . . 5  |-  ( vol
* `  RR )  =  +oo
86, 7eqtri 2455 . . . 4  |-  ( vol `  RR )  =  +oo
9 cnvimarndm 5217 . . . . . . 7  |-  ( `' F " ran  F
)  =  dom  F
10 i1ff 19558 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F : RR --> RR )
11 fdm 5587 . . . . . . . . 9  |-  ( F : RR --> RR  ->  dom 
F  =  RR )
1210, 11syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  dom 
F  =  RR )
1312adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\ 
-.  0  e.  ran  F )  ->  dom  F  =  RR )
149, 13syl5eq 2479 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\ 
-.  0  e.  ran  F )  ->  ( `' F " ran  F )  =  RR )
1514fveq2d 5724 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\ 
-.  0  e.  ran  F )  ->  ( vol `  ( `' F " ran  F ) )  =  ( vol `  RR ) )
16 i1fima2 19561 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\ 
-.  0  e.  ran  F )  ->  ( vol `  ( `' F " ran  F ) )  e.  RR )
1715, 16eqeltrrd 2510 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\ 
-.  0  e.  ran  F )  ->  ( vol `  RR )  e.  RR )
188, 17syl5eqelr 2520 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\ 
-.  0  e.  ran  F )  ->  +oo  e.  RR )
1918ex 424 . 2  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( -.  0  e.  ran  F  ->  +oo  e.  RR ) )
203, 19mt3i 120 1  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  0  e.  ran  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    e/ wnel 2599   `'ccnv 4869   dom cdm 4870   ran crn 4871   "cima 4873   -->wf 5442   ` cfv 5446   RRcr 8979   0cc0 8980    +oocpnf 9107   vol
*covol 19349   volcvol 19350   S.1citg1 19497
This theorem is referenced by:  i1fres  19587  itg1climres  19596  itg2addnclem2  26220
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7469  df-card 7816  df-cda 8038  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-q 10565  df-rp 10603  df-xneg 10700  df-xadd 10701  df-xmul 10702  df-ioo 10910  df-ico 10912  df-icc 10913  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-fl 11192  df-seq 11314  df-exp 11373  df-hash 11609  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-abs 12031  df-clim 12272  df-sum 12470  df-rest 13640  df-topgen 13657  df-psmet 16684  df-xmet 16685  df-met 16686  df-bl 16687  df-mopn 16688  df-top 16953  df-bases 16955  df-topon 16956  df-cmp 17440  df-ovol 19351  df-vol 19352  df-mbf 19502  df-itg1 19503
  Copyright terms: Public domain W3C validator