MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1f1 Unicode version

Theorem i1f1 19061
Description: Base case simple functions are indicator functions of measurable sets. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
i1f1.1  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) )
Assertion
Ref Expression
i1f1  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  F  e.  dom  S.1 )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem i1f1
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1f1.1 . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) )
21i1f1lem 19060 . . . . 5  |-  ( F : RR --> { 0 ,  1 }  /\  ( A  e.  dom  vol 
->  ( `' F " { 1 } )  =  A ) )
32simpli 444 . . . 4  |-  F : RR
--> { 0 ,  1 }
4 0re 8854 . . . . 5  |-  0  e.  RR
5 1re 8853 . . . . 5  |-  1  e.  RR
6 prssi 3787 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  { 0 ,  1 }  C_  RR )
74, 5, 6mp2an 653 . . . 4  |-  { 0 ,  1 }  C_  RR
8 fss 5413 . . . 4  |-  ( ( F : RR --> { 0 ,  1 }  /\  { 0 ,  1 } 
C_  RR )  ->  F : RR --> RR )
93, 7, 8mp2an 653 . . 3  |-  F : RR
--> RR
109a1i 10 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  F : RR --> RR )
11 prfi 7147 . . 3  |-  { 0 ,  1 }  e.  Fin
12 1ex 8849 . . . . . . . 8  |-  1  e.  _V
1312prid2 3748 . . . . . . 7  |-  1  e.  { 0 ,  1 }
14 c0ex 8848 . . . . . . . 8  |-  0  e.  _V
1514prid1 3747 . . . . . . 7  |-  0  e.  { 0 ,  1 }
1613, 15keepel 3635 . . . . . 6  |-  if ( x  e.  A , 
1 ,  0 )  e.  { 0 ,  1 }
1716a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 )  e. 
{ 0 ,  1 } )
1817, 1fmptd 5700 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  F : RR --> { 0 ,  1 } )
19 frn 5411 . . . 4  |-  ( F : RR --> { 0 ,  1 }  ->  ran 
F  C_  { 0 ,  1 } )
2018, 19syl 15 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  ran  F  C_  { 0 ,  1 } )
21 ssfi 7099 . . 3  |-  ( ( { 0 ,  1 }  e.  Fin  /\  ran  F  C_  { 0 ,  1 } )  ->  ran  F  e.  Fin )
2211, 20, 21sylancr 644 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  ran  F  e.  Fin )
233, 19ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  F  C_ 
{ 0 ,  1 }
24 df-pr 3660 . . . . . . . . . . . 12  |-  { 0 ,  1 }  =  ( { 0 }  u.  { 1 } )
25 uncom 3332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { 0 }  u.  {
1 } )  =  ( { 1 }  u.  { 0 } )
2624, 25eqtri 2316 . . . . . . . . . . 11  |-  { 0 ,  1 }  =  ( { 1 }  u.  { 0 } )
2723, 26sseqtri 3223 . . . . . . . . . 10  |-  ran  F  C_  ( { 1 }  u.  { 0 } )
28 ssdif 3324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran 
F  C_  ( {
1 }  u.  {
0 } )  -> 
( ran  F  \  {
0 } )  C_  ( ( { 1 }  u.  { 0 } )  \  {
0 } ) )
2927, 28ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( ran 
F  \  { 0 } )  C_  (
( { 1 }  u.  { 0 } )  \  { 0 } )
30 difun2 3546 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { 1 }  u.  { 0 } )  \  { 0 } )  =  ( { 1 }  \  { 0 } )
31 difss 3316 . . . . . . . . . 10  |-  ( { 1 }  \  {
0 } )  C_  { 1 }
3230, 31eqsstri 3221 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { 1 }  u.  { 0 } )  \  { 0 } ) 
C_  { 1 }
3329, 32sstri 3201 . . . . . . . 8  |-  ( ran 
F  \  { 0 } )  C_  { 1 }
3433sseli 3189 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ran  F  \  { 0 } )  ->  y  e.  {
1 } )
35 elsni 3677 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { 1 }  ->  y  =  1 )
3634, 35syl 15 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ran  F  \  { 0 } )  ->  y  =  1 )
3736sneqd 3666 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( ran  F  \  { 0 } )  ->  { y }  =  { 1 } )
3837imaeq2d 5028 . . . 4  |-  ( y  e.  ( ran  F  \  { 0 } )  ->  ( `' F " { y } )  =  ( `' F " { 1 } ) )
392simpri 448 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( `' F " { 1 } )  =  A )
4039adantr 451 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  ( `' F " { 1 } )  =  A )
4138, 40sylan9eqr 2350 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\  y  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( `' F " { y } )  =  A )
42 simpll 730 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\  y  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  A  e.  dom  vol )
4341, 42eqeltrd 2370 . 2  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\  y  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( `' F " { y } )  e.  dom  vol )
4441fveq2d 5545 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\  y  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( vol `  ( `' F " { y } ) )  =  ( vol `  A
) )
45 simplr 731 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\  y  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( vol `  A
)  e.  RR )
4644, 45eqeltrd 2370 . 2  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\  y  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( vol `  ( `' F " { y } ) )  e.  RR )
4710, 22, 43, 46i1fd 19052 1  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  F  e.  dom  S.1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    \ cdif 3162    u. cun 3163    C_ wss 3165   ifcif 3578   {csn 3653   {cpr 3654    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   ran crn 4706   "cima 4708   -->wf 5267   ` cfv 5271   Fincfn 6879   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754   volcvol 18839   S.1citg1 18986
This theorem is referenced by:  itg11  19062  itg2const  19111  itg2addnclem  25003
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xadd 10469  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-xmet 16389  df-met 16390  df-ovol 18840  df-vol 18841  df-mbf 18991  df-itg1 18992
  Copyright terms: Public domain W3C validator