MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1f1 Structured version   Unicode version

Theorem i1f1 19574
Description: Base case simple functions are indicator functions of measurable sets. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
i1f1.1  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) )
Assertion
Ref Expression
i1f1  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  F  e.  dom  S.1 )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem i1f1
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1f1.1 . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) )
21i1f1lem 19573 . . . . 5  |-  ( F : RR --> { 0 ,  1 }  /\  ( A  e.  dom  vol 
->  ( `' F " { 1 } )  =  A ) )
32simpli 445 . . . 4  |-  F : RR
--> { 0 ,  1 }
4 0re 9083 . . . . 5  |-  0  e.  RR
5 1re 9082 . . . . 5  |-  1  e.  RR
6 prssi 3946 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  { 0 ,  1 }  C_  RR )
74, 5, 6mp2an 654 . . . 4  |-  { 0 ,  1 }  C_  RR
8 fss 5591 . . . 4  |-  ( ( F : RR --> { 0 ,  1 }  /\  { 0 ,  1 } 
C_  RR )  ->  F : RR --> RR )
93, 7, 8mp2an 654 . . 3  |-  F : RR
--> RR
109a1i 11 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  F : RR --> RR )
11 prfi 7373 . . 3  |-  { 0 ,  1 }  e.  Fin
12 1ex 9078 . . . . . . . 8  |-  1  e.  _V
1312prid2 3905 . . . . . . 7  |-  1  e.  { 0 ,  1 }
14 c0ex 9077 . . . . . . . 8  |-  0  e.  _V
1514prid1 3904 . . . . . . 7  |-  0  e.  { 0 ,  1 }
1613, 15keepel 3788 . . . . . 6  |-  if ( x  e.  A , 
1 ,  0 )  e.  { 0 ,  1 }
1716a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 )  e. 
{ 0 ,  1 } )
1817, 1fmptd 5885 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  F : RR --> { 0 ,  1 } )
19 frn 5589 . . . 4  |-  ( F : RR --> { 0 ,  1 }  ->  ran 
F  C_  { 0 ,  1 } )
2018, 19syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  ran  F  C_  { 0 ,  1 } )
21 ssfi 7321 . . 3  |-  ( ( { 0 ,  1 }  e.  Fin  /\  ran  F  C_  { 0 ,  1 } )  ->  ran  F  e.  Fin )
2211, 20, 21sylancr 645 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  ran  F  e.  Fin )
233, 19ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  F  C_ 
{ 0 ,  1 }
24 df-pr 3813 . . . . . . . . . . . 12  |-  { 0 ,  1 }  =  ( { 0 }  u.  { 1 } )
2524equncomi 3485 . . . . . . . . . . 11  |-  { 0 ,  1 }  =  ( { 1 }  u.  { 0 } )
2623, 25sseqtri 3372 . . . . . . . . . 10  |-  ran  F  C_  ( { 1 }  u.  { 0 } )
27 ssdif 3474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran 
F  C_  ( {
1 }  u.  {
0 } )  -> 
( ran  F  \  {
0 } )  C_  ( ( { 1 }  u.  { 0 } )  \  {
0 } ) )
2826, 27ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( ran 
F  \  { 0 } )  C_  (
( { 1 }  u.  { 0 } )  \  { 0 } )
29 difun2 3699 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { 1 }  u.  { 0 } )  \  { 0 } )  =  ( { 1 }  \  { 0 } )
30 difss 3466 . . . . . . . . . 10  |-  ( { 1 }  \  {
0 } )  C_  { 1 }
3129, 30eqsstri 3370 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { 1 }  u.  { 0 } )  \  { 0 } ) 
C_  { 1 }
3228, 31sstri 3349 . . . . . . . 8  |-  ( ran 
F  \  { 0 } )  C_  { 1 }
3332sseli 3336 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ran  F  \  { 0 } )  ->  y  e.  {
1 } )
34 elsni 3830 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { 1 }  ->  y  =  1 )
3533, 34syl 16 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ran  F  \  { 0 } )  ->  y  =  1 )
3635sneqd 3819 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( ran  F  \  { 0 } )  ->  { y }  =  { 1 } )
3736imaeq2d 5195 . . . 4  |-  ( y  e.  ( ran  F  \  { 0 } )  ->  ( `' F " { y } )  =  ( `' F " { 1 } ) )
382simpri 449 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( `' F " { 1 } )  =  A )
3938adantr 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  ( `' F " { 1 } )  =  A )
4037, 39sylan9eqr 2489 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\  y  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( `' F " { y } )  =  A )
41 simpll 731 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\  y  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  A  e.  dom  vol )
4240, 41eqeltrd 2509 . 2  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\  y  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( `' F " { y } )  e.  dom  vol )
4340fveq2d 5724 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\  y  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( vol `  ( `' F " { y } ) )  =  ( vol `  A
) )
44 simplr 732 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\  y  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( vol `  A
)  e.  RR )
4543, 44eqeltrd 2509 . 2  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\  y  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( vol `  ( `' F " { y } ) )  e.  RR )
4610, 22, 42, 45i1fd 19565 1  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  F  e.  dom  S.1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    \ cdif 3309    u. cun 3310    C_ wss 3312   ifcif 3731   {csn 3806   {cpr 3807    e. cmpt 4258   `'ccnv 4869   dom cdm 4870   ran crn 4871   "cima 4873   -->wf 5442   ` cfv 5446   Fincfn 7101   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983   volcvol 19352   S.1citg1 19499
This theorem is referenced by:  itg11  19575  itg2const  19624  itg2addnclem  26246
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xadd 10703  df-ioo 10912  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472  df-xmet 16687  df-met 16688  df-ovol 19353  df-vol 19354  df-mbf 19504  df-itg1 19505
  Copyright terms: Public domain W3C validator