MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1f1lem Unicode version

Theorem i1f1lem 19044
Description: Lemma for i1f1 19045 and itg11 19046. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
i1f1.1  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) )
Assertion
Ref Expression
i1f1lem  |-  ( F : RR --> { 0 ,  1 }  /\  ( A  e.  dom  vol 
->  ( `' F " { 1 } )  =  A ) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem i1f1lem
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1ex 8833 . . . . . 6  |-  1  e.  _V
21prid2 3735 . . . . 5  |-  1  e.  { 0 ,  1 }
3 c0ex 8832 . . . . . 6  |-  0  e.  _V
43prid1 3734 . . . . 5  |-  0  e.  { 0 ,  1 }
52, 4keepel 3622 . . . 4  |-  if ( x  e.  A , 
1 ,  0 )  e.  { 0 ,  1 }
65rgenw 2610 . . 3  |-  A. x  e.  RR  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 )  e. 
{ 0 ,  1 }
7 i1f1.1 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) )
87fmpt 5681 . . 3  |-  ( A. x  e.  RR  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 )  e.  { 0 ,  1 }  <->  F : RR
--> { 0 ,  1 } )
96, 8mpbi 199 . 2  |-  F : RR
--> { 0 ,  1 }
105a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 )  e. 
{ 0 ,  1 } )
1110, 7fmptd 5684 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  F : RR --> { 0 ,  1 } )
12 ffn 5389 . . . . . 6  |-  ( F : RR --> { 0 ,  1 }  ->  F  Fn  RR )
13 elpreima 5645 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  RR  ->  (
y  e.  ( `' F " { 1 } )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( F `
 y )  e. 
{ 1 } ) ) )
1411, 12, 133syl 18 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( y  e.  ( `' F " { 1 } )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( F `
 y )  e. 
{ 1 } ) ) )
15 fvex 5539 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 y )  e. 
_V
1615elsnc 3663 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  y )  e.  { 1 }  <-> 
( F `  y
)  =  1 )
17 eleq1 2343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
1817ifbid 3583 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 )  =  if ( y  e.  A , 
1 ,  0 ) )
191, 3ifex 3623 . . . . . . . . . 10  |-  if ( y  e.  A , 
1 ,  0 )  e.  _V
2018, 7, 19fvmpt 5602 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  ( F `  y )  =  if ( y  e.  A ,  1 ,  0 ) )
2120eqeq1d 2291 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( F `  y
)  =  1  <->  if ( y  e.  A ,  1 ,  0 )  =  1 ) )
22 ax-1ne0 8806 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  =/=  0
2322necomi 2528 . . . . . . . . . . 11  |-  0  =/=  1
24 iffalse 3572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  y  e.  A  ->  if ( y  e.  A ,  1 ,  0 )  =  0 )
2524eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  y  e.  A  -> 
( if ( y  e.  A ,  1 ,  0 )  =  1  <->  0  =  1 ) )
2625necon3bbid 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  y  e.  A  -> 
( -.  if ( y  e.  A , 
1 ,  0 )  =  1  <->  0  =/=  1 ) )
2723, 26mpbiri 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  y  e.  A  ->  -.  if ( y  e.  A ,  1 ,  0 )  =  1 )
2827con4i 122 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( y  e.  A ,  1 ,  0 )  =  1  -> 
y  e.  A )
29 iftrue 3571 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  A  ->  if ( y  e.  A ,  1 ,  0 )  =  1 )
3028, 29impbii 180 . . . . . . . 8  |-  ( if ( y  e.  A ,  1 ,  0 )  =  1  <->  y  e.  A )
3121, 30syl6bb 252 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( F `  y
)  =  1  <->  y  e.  A ) )
3216, 31syl5bb 248 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( F `  y
)  e.  { 1 }  <->  y  e.  A
) )
3332pm5.32i 618 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( F `  y )  e.  { 1 } )  <->  ( y  e.  RR  /\  y  e.  A ) )
3414, 33syl6bb 252 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( y  e.  ( `' F " { 1 } )  <->  ( y  e.  RR  /\  y  e.  A ) ) )
35 mblss 18890 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
3635sseld 3179 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( y  e.  A  -> 
y  e.  RR ) )
3736pm4.71rd 616 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( y  e.  A  <->  ( y  e.  RR  /\  y  e.  A ) ) )
3834, 37bitr4d 247 . . 3  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( y  e.  ( `' F " { 1 } )  <->  y  e.  A ) )
3938eqrdv 2281 . 2  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( `' F " { 1 } )  =  A )
409, 39pm3.2i 441 1  |-  ( F : RR --> { 0 ,  1 }  /\  ( A  e.  dom  vol 
->  ( `' F " { 1 } )  =  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   ifcif 3565   {csn 3640   {cpr 3641    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   "cima 4692    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738   volcvol 18823
This theorem is referenced by:  i1f1  19045  itg11  19046
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-ovol 18824  df-vol 18825
  Copyright terms: Public domain W3C validator