MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1f1lem Unicode version

Theorem i1f1lem 19534
Description: Lemma for i1f1 19535 and itg11 19536. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
i1f1.1  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) )
Assertion
Ref Expression
i1f1lem  |-  ( F : RR --> { 0 ,  1 }  /\  ( A  e.  dom  vol 
->  ( `' F " { 1 } )  =  A ) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem i1f1lem
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1ex 9042 . . . . . 6  |-  1  e.  _V
21prid2 3873 . . . . 5  |-  1  e.  { 0 ,  1 }
3 c0ex 9041 . . . . . 6  |-  0  e.  _V
43prid1 3872 . . . . 5  |-  0  e.  { 0 ,  1 }
52, 4keepel 3756 . . . 4  |-  if ( x  e.  A , 
1 ,  0 )  e.  { 0 ,  1 }
65rgenw 2733 . . 3  |-  A. x  e.  RR  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 )  e. 
{ 0 ,  1 }
7 i1f1.1 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) )
87fmpt 5849 . . 3  |-  ( A. x  e.  RR  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 )  e.  { 0 ,  1 }  <->  F : RR
--> { 0 ,  1 } )
96, 8mpbi 200 . 2  |-  F : RR
--> { 0 ,  1 }
105a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 )  e. 
{ 0 ,  1 } )
1110, 7fmptd 5852 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  F : RR --> { 0 ,  1 } )
12 ffn 5550 . . . . . 6  |-  ( F : RR --> { 0 ,  1 }  ->  F  Fn  RR )
13 elpreima 5809 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  RR  ->  (
y  e.  ( `' F " { 1 } )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( F `
 y )  e. 
{ 1 } ) ) )
1411, 12, 133syl 19 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( y  e.  ( `' F " { 1 } )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( F `
 y )  e. 
{ 1 } ) ) )
15 fvex 5701 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 y )  e. 
_V
1615elsnc 3797 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  y )  e.  { 1 }  <-> 
( F `  y
)  =  1 )
17 eleq1 2464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
1817ifbid 3717 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 )  =  if ( y  e.  A , 
1 ,  0 ) )
191, 3ifex 3757 . . . . . . . . . 10  |-  if ( y  e.  A , 
1 ,  0 )  e.  _V
2018, 7, 19fvmpt 5765 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  ( F `  y )  =  if ( y  e.  A ,  1 ,  0 ) )
2120eqeq1d 2412 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( F `  y
)  =  1  <->  if ( y  e.  A ,  1 ,  0 )  =  1 ) )
22 ax-1ne0 9015 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  =/=  0
2322necomi 2649 . . . . . . . . . . 11  |-  0  =/=  1
24 iffalse 3706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  y  e.  A  ->  if ( y  e.  A ,  1 ,  0 )  =  0 )
2524eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  y  e.  A  -> 
( if ( y  e.  A ,  1 ,  0 )  =  1  <->  0  =  1 ) )
2625necon3bbid 2601 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  y  e.  A  -> 
( -.  if ( y  e.  A , 
1 ,  0 )  =  1  <->  0  =/=  1 ) )
2723, 26mpbiri 225 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  y  e.  A  ->  -.  if ( y  e.  A ,  1 ,  0 )  =  1 )
2827con4i 124 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( y  e.  A ,  1 ,  0 )  =  1  -> 
y  e.  A )
29 iftrue 3705 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  A  ->  if ( y  e.  A ,  1 ,  0 )  =  1 )
3028, 29impbii 181 . . . . . . . 8  |-  ( if ( y  e.  A ,  1 ,  0 )  =  1  <->  y  e.  A )
3121, 30syl6bb 253 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( F `  y
)  =  1  <->  y  e.  A ) )
3216, 31syl5bb 249 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( F `  y
)  e.  { 1 }  <->  y  e.  A
) )
3332pm5.32i 619 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( F `  y )  e.  { 1 } )  <->  ( y  e.  RR  /\  y  e.  A ) )
3414, 33syl6bb 253 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( y  e.  ( `' F " { 1 } )  <->  ( y  e.  RR  /\  y  e.  A ) ) )
35 mblss 19380 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
3635sseld 3307 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( y  e.  A  -> 
y  e.  RR ) )
3736pm4.71rd 617 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( y  e.  A  <->  ( y  e.  RR  /\  y  e.  A ) ) )
3834, 37bitr4d 248 . . 3  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( y  e.  ( `' F " { 1 } )  <->  y  e.  A ) )
3938eqrdv 2402 . 2  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( `' F " { 1 } )  =  A )
409, 39pm3.2i 442 1  |-  ( F : RR --> { 0 ,  1 }  /\  ( A  e.  dom  vol 
->  ( `' F " { 1 } )  =  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   ifcif 3699   {csn 3774   {cpr 3775    e. cmpt 4226   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   "cima 4840    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   volcvol 19313
This theorem is referenced by:  i1f1  19535  itg11  19536
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-ovol 19314  df-vol 19315
  Copyright terms: Public domain W3C validator