MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1f1lem Structured version   Unicode version

Theorem i1f1lem 19584
Description: Lemma for i1f1 19585 and itg11 19586. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
i1f1.1  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) )
Assertion
Ref Expression
i1f1lem  |-  ( F : RR --> { 0 ,  1 }  /\  ( A  e.  dom  vol 
->  ( `' F " { 1 } )  =  A ) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem i1f1lem
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1ex 9091 . . . . . 6  |-  1  e.  _V
21prid2 3915 . . . . 5  |-  1  e.  { 0 ,  1 }
3 c0ex 9090 . . . . . 6  |-  0  e.  _V
43prid1 3914 . . . . 5  |-  0  e.  { 0 ,  1 }
52, 4keepel 3798 . . . 4  |-  if ( x  e.  A , 
1 ,  0 )  e.  { 0 ,  1 }
65rgenw 2775 . . 3  |-  A. x  e.  RR  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 )  e. 
{ 0 ,  1 }
7 i1f1.1 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) )
87fmpt 5893 . . 3  |-  ( A. x  e.  RR  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 )  e.  { 0 ,  1 }  <->  F : RR
--> { 0 ,  1 } )
96, 8mpbi 201 . 2  |-  F : RR
--> { 0 ,  1 }
105a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 )  e. 
{ 0 ,  1 } )
1110, 7fmptd 5896 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  F : RR --> { 0 ,  1 } )
12 ffn 5594 . . . . . 6  |-  ( F : RR --> { 0 ,  1 }  ->  F  Fn  RR )
13 elpreima 5853 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  RR  ->  (
y  e.  ( `' F " { 1 } )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( F `
 y )  e. 
{ 1 } ) ) )
1411, 12, 133syl 19 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( y  e.  ( `' F " { 1 } )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( F `
 y )  e. 
{ 1 } ) ) )
15 fvex 5745 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 y )  e. 
_V
1615elsnc 3839 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  y )  e.  { 1 }  <-> 
( F `  y
)  =  1 )
17 eleq1 2498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
1817ifbid 3759 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 )  =  if ( y  e.  A , 
1 ,  0 ) )
191, 3ifex 3799 . . . . . . . . . 10  |-  if ( y  e.  A , 
1 ,  0 )  e.  _V
2018, 7, 19fvmpt 5809 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  ( F `  y )  =  if ( y  e.  A ,  1 ,  0 ) )
2120eqeq1d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( F `  y
)  =  1  <->  if ( y  e.  A ,  1 ,  0 )  =  1 ) )
22 ax-1ne0 9064 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  =/=  0
2322necomi 2688 . . . . . . . . . . 11  |-  0  =/=  1
24 iffalse 3748 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  y  e.  A  ->  if ( y  e.  A ,  1 ,  0 )  =  0 )
2524eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  y  e.  A  -> 
( if ( y  e.  A ,  1 ,  0 )  =  1  <->  0  =  1 ) )
2625necon3bbid 2637 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  y  e.  A  -> 
( -.  if ( y  e.  A , 
1 ,  0 )  =  1  <->  0  =/=  1 ) )
2723, 26mpbiri 226 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  y  e.  A  ->  -.  if ( y  e.  A ,  1 ,  0 )  =  1 )
2827con4i 125 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( y  e.  A ,  1 ,  0 )  =  1  -> 
y  e.  A )
29 iftrue 3747 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  A  ->  if ( y  e.  A ,  1 ,  0 )  =  1 )
3028, 29impbii 182 . . . . . . . 8  |-  ( if ( y  e.  A ,  1 ,  0 )  =  1  <->  y  e.  A )
3121, 30syl6bb 254 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( F `  y
)  =  1  <->  y  e.  A ) )
3216, 31syl5bb 250 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( F `  y
)  e.  { 1 }  <->  y  e.  A
) )
3332pm5.32i 620 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( F `  y )  e.  { 1 } )  <->  ( y  e.  RR  /\  y  e.  A ) )
3414, 33syl6bb 254 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( y  e.  ( `' F " { 1 } )  <->  ( y  e.  RR  /\  y  e.  A ) ) )
35 mblss 19432 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
3635sseld 3349 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( y  e.  A  -> 
y  e.  RR ) )
3736pm4.71rd 618 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( y  e.  A  <->  ( y  e.  RR  /\  y  e.  A ) ) )
3834, 37bitr4d 249 . . 3  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( y  e.  ( `' F " { 1 } )  <->  y  e.  A ) )
3938eqrdv 2436 . 2  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( `' F " { 1 } )  =  A )
409, 39pm3.2i 443 1  |-  ( F : RR --> { 0 ,  1 }  /\  ( A  e.  dom  vol 
->  ( `' F " { 1 } )  =  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   ifcif 3741   {csn 3816   {cpr 3817    e. cmpt 4269   `'ccnv 4880   dom cdm 4881   "cima 4884    Fn wfn 5452   -->wf 5453   ` cfv 5457   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996   volcvol 19365
This theorem is referenced by:  i1f1  19585  itg11  19586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-ico 10927  df-icc 10928  df-fz 11049  df-seq 11329  df-exp 11388  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-ovol 19366  df-vol 19367
  Copyright terms: Public domain W3C validator