MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1ff Structured version   Unicode version

Theorem i1ff 19568
Description: A simple function is a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
i1ff  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F : RR --> RR )

Proof of Theorem i1ff
StepHypRef Expression
1 isi1f 19566 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  <->  ( F  e. MblFn  /\  ( F : RR
--> RR  /\  ran  F  e.  Fin  /\  ( vol `  ( `' F "
( RR  \  {
0 } ) ) )  e.  RR ) ) )
21simprbi 451 . 2  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( F : RR --> RR  /\  ran  F  e.  Fin  /\  ( vol `  ( `' F " ( RR 
\  { 0 } ) ) )  e.  RR ) )
32simp1d 969 1  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F : RR --> RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    e. wcel 1725    \ cdif 3317   {csn 3814   `'ccnv 4877   dom cdm 4878   ran crn 4879   "cima 4881   -->wf 5450   ` cfv 5454   Fincfn 7109   RRcr 8989   0cc0 8990   volcvol 19360  MblFncmbf 19506   S.1citg1 19507
This theorem is referenced by:  i1fima  19570  i1fima2  19571  i1f0rn  19574  itg1val2  19576  itg1cl  19577  itg1ge0  19578  i1faddlem  19585  i1fmullem  19586  i1fadd  19587  i1fmul  19588  itg1addlem4  19591  itg1addlem5  19592  i1fmulclem  19594  i1fmulc  19595  itg1mulc  19596  i1fres  19597  i1fpos  19598  i1fposd  19599  i1fsub  19600  itg1sub  19601  itg10a  19602  itg1ge0a  19603  itg1lea  19604  itg1le  19605  itg1climres  19606  mbfi1fseqlem5  19611  mbfi1fseqlem6  19612  mbfi1flimlem  19614  mbfmullem2  19616  itg2itg1  19628  itg20  19629  itg2le  19631  itg2seq  19634  itg2uba  19635  itg2lea  19636  itg2mulclem  19638  itg2splitlem  19640  itg2split  19641  itg2monolem1  19642  itg2i1fseqle  19646  itg2i1fseq  19647  itg2addlem  19650  i1fibl  19699  itgitg1  19700  itg2addnclem  26256  itg2addnclem2  26257  itg2addnclem3  26258  itg2addnc  26259  ftc1anclem3  26282  ftc1anclem4  26283  ftc1anclem5  26284  ftc1anclem6  26285  ftc1anclem7  26286  ftc1anclem8  26287  ftc1anc  26288
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-fv 5462  df-sum 12480  df-itg1 19513
  Copyright terms: Public domain W3C validator