MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1ff Unicode version

Theorem i1ff 19031
Description: A simple function is a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
i1ff  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F : RR --> RR )

Proof of Theorem i1ff
StepHypRef Expression
1 isi1f 19029 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  <->  ( F  e. MblFn  /\  ( F : RR
--> RR  /\  ran  F  e.  Fin  /\  ( vol `  ( `' F "
( RR  \  {
0 } ) ) )  e.  RR ) ) )
21simprbi 450 . 2  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( F : RR --> RR  /\  ran  F  e.  Fin  /\  ( vol `  ( `' F " ( RR 
\  { 0 } ) ) )  e.  RR ) )
32simp1d 967 1  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F : RR --> RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    e. wcel 1684    \ cdif 3149   {csn 3640   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690   "cima 4692   -->wf 5251   ` cfv 5255   Fincfn 6863   RRcr 8736   0cc0 8737   volcvol 18823  MblFncmbf 18969   S.1citg1 18970
This theorem is referenced by:  i1fima  19033  i1fima2  19034  i1f0rn  19037  itg1val2  19039  itg1cl  19040  itg1ge0  19041  i1faddlem  19048  i1fmullem  19049  i1fadd  19050  i1fmul  19051  itg1addlem4  19054  itg1addlem5  19055  i1fmulclem  19057  i1fmulc  19058  itg1mulc  19059  i1fres  19060  i1fpos  19061  i1fposd  19062  i1fsub  19063  itg1sub  19064  itg10a  19065  itg1ge0a  19066  itg1lea  19067  itg1le  19068  itg1climres  19069  mbfi1fseqlem5  19074  mbfi1fseqlem6  19075  mbfi1flimlem  19077  mbfmullem2  19079  itg2itg1  19091  itg20  19092  itg2le  19094  itg2seq  19097  itg2uba  19098  itg2lea  19099  itg2mulclem  19101  itg2splitlem  19103  itg2split  19104  itg2monolem1  19105  itg2i1fseqle  19109  itg2i1fseq  19110  itg2addlem  19113  i1fibl  19162  itgitg1  19163
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-sum 12159  df-itg1 18976
  Copyright terms: Public domain W3C validator