MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1ff Unicode version

Theorem i1ff 19047
Description: A simple function is a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
i1ff  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F : RR --> RR )

Proof of Theorem i1ff
StepHypRef Expression
1 isi1f 19045 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  <->  ( F  e. MblFn  /\  ( F : RR
--> RR  /\  ran  F  e.  Fin  /\  ( vol `  ( `' F "
( RR  \  {
0 } ) ) )  e.  RR ) ) )
21simprbi 450 . 2  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( F : RR --> RR  /\  ran  F  e.  Fin  /\  ( vol `  ( `' F " ( RR 
\  { 0 } ) ) )  e.  RR ) )
32simp1d 967 1  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F : RR --> RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    e. wcel 1696    \ cdif 3162   {csn 3653   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   ran crn 4706   "cima 4708   -->wf 5267   ` cfv 5271   Fincfn 6879   RRcr 8752   0cc0 8753   volcvol 18839  MblFncmbf 18985   S.1citg1 18986
This theorem is referenced by:  i1fima  19049  i1fima2  19050  i1f0rn  19053  itg1val2  19055  itg1cl  19056  itg1ge0  19057  i1faddlem  19064  i1fmullem  19065  i1fadd  19066  i1fmul  19067  itg1addlem4  19070  itg1addlem5  19071  i1fmulclem  19073  i1fmulc  19074  itg1mulc  19075  i1fres  19076  i1fpos  19077  i1fposd  19078  i1fsub  19079  itg1sub  19080  itg10a  19081  itg1ge0a  19082  itg1lea  19083  itg1le  19084  itg1climres  19085  mbfi1fseqlem5  19090  mbfi1fseqlem6  19091  mbfi1flimlem  19093  mbfmullem2  19095  itg2itg1  19107  itg20  19108  itg2le  19110  itg2seq  19113  itg2uba  19114  itg2lea  19115  itg2mulclem  19117  itg2splitlem  19119  itg2split  19120  itg2monolem1  19121  itg2i1fseqle  19125  itg2i1fseq  19126  itg2addlem  19129  i1fibl  19178  itgitg1  19179  itg2addnclem  25003  itg2addnclem2  25004  itg2addnc  25005
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-sum 12175  df-itg1 18992
  Copyright terms: Public domain W3C validator