MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fibl Unicode version

Theorem i1fibl 19162
Description: A simple function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
i1fibl  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F  e.  L ^1 )

Proof of Theorem i1fibl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1ff 19031 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F : RR --> RR )
21feqmptd 5575 . 2  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( F `  x ) ) )
3 i1fmbf 19030 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F  e. MblFn )
42, 3eqeltrrd 2358 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  ( F `  x ) )  e. MblFn )
5 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
65biantrurd 494 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( F `  x
)  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) ) )
76ifbid 3583 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  x
) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
87mpteq2dva 4106 . . . . . 6  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
98fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
10 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
1110i1fpos 19061 . . . . . 6  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 )
12 0re 8838 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
13 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : RR --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x
)  e.  RR )
141, 13sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
15 max1 10514 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( F `  x )  e.  RR )  -> 
0  <_  if (
0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
1612, 14, 15sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
1716ralrimiva 2626 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  A. x  e.  RR  0  <_  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
18 reex 8828 . . . . . . . . . 10  |-  RR  e.  _V
1918a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  RR  e.  _V )
2012a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
21 fvex 5539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
22 c0ex 8832 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  _V
2321, 22ifex 3623 . . . . . . . . . 10  |-  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  e. 
_V
2423a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  e. 
_V )
25 fconstmpt 4732 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR 
X.  { 0 } )  =  ( x  e.  RR  |->  0 )
2625a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( RR  X.  { 0 } )  =  ( x  e.  RR  |->  0 ) )
27 eqidd 2284 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
2819, 20, 24, 26, 27ofrfval2 6096 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( ( RR  X.  {
0 } )  o R  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  <->  A. x  e.  RR  0  <_  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
2917, 28mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( RR  X.  { 0 } )  o R  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
30 ax-resscn 8794 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  CC
3130a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  RR  C_  CC )
3223, 10fnmpti 5372 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  Fn  RR
3332a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  Fn  RR )
3431, 330pledm 19028 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( 0 p  o R  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  <-> 
( RR  X.  {
0 } )  o R  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
3529, 34mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  0 p  o R  <_ 
( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
36 itg2itg1 19091 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 
/\  0 p  o R  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
3711, 35, 36syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
389, 37eqtr3d 2317 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  x ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  =  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
39 itg1cl 19040 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 
->  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
4011, 39syl 15 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
4138, 40eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  x ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
425biantrurd 494 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( 0  <_  -u ( F `  x
)  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  -u ( F `  x
) ) ) )
4342ifbid 3583 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  RR  /\  0  <_ 
-u ( F `  x ) ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) )
4443mpteq2dva 4106 . . . . . 6  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  -u ( F `  x
) ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )
4544fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  -u ( F `  x
) ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
46 1re 8837 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
4746renegcli 9108 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 1  e.  RR
4847a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  -u 1  e.  RR )
49 fconstmpt 4732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR 
X.  { -u 1 } )  =  ( x  e.  RR  |->  -u
1 )
5049a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( RR  X.  { -u
1 } )  =  ( x  e.  RR  |->  -u 1 ) )
5119, 48, 14, 50, 2offval2 6095 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( ( RR  X.  { -u 1 } )  o F  x.  F )  =  ( x  e.  RR  |->  ( -u 1  x.  ( F `  x
) ) ) )
5214recnd 8861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
5352mulm1d 9231 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( -u 1  x.  ( F `  x
) )  =  -u ( F `  x ) )
5453mpteq2dva 4106 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  (
-u 1  x.  ( F `  x )
) )  =  ( x  e.  RR  |->  -u ( F `  x ) ) )
5551, 54eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( ( RR  X.  { -u 1 } )  o F  x.  F )  =  ( x  e.  RR  |->  -u ( F `  x ) ) )
56 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F  e.  dom  S.1 )
5747a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  -u
1  e.  RR )
5856, 57i1fmulc 19058 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( ( RR  X.  { -u 1 } )  o F  x.  F )  e.  dom  S.1 )
5955, 58eqeltrrd 2358 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  -u ( F `  x ) )  e.  dom  S.1 )
6059i1fposd 19062 . . . . . 6  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 )
6114renegcld 9210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  -u ( F `  x )  e.  RR )
62 max1 10514 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u ( F `  x
)  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )
6312, 61, 62sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )
6463ralrimiva 2626 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  A. x  e.  RR  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )
65 negex 9050 . . . . . . . . . . 11  |-  -u ( F `  x )  e.  _V
6665, 22ifex 3623 . . . . . . . . . 10  |-  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 )  e.  _V
6766a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 )  e. 
_V )
68 eqidd 2284 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )
6919, 20, 67, 26, 68ofrfval2 6096 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( ( RR  X.  {
0 } )  o R  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )  <->  A. x  e.  RR  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )
7064, 69mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( RR  X.  { 0 } )  o R  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )
71 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )
7266, 71fnmpti 5372 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) )  Fn  RR
7372a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )  Fn  RR )
7431, 730pledm 19028 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( 0 p  o R  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )  <-> 
( RR  X.  {
0 } )  o R  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
7570, 74mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  0 p  o R  <_ 
( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )
76 itg2itg1 19091 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 
/\  0 p  o R  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
7760, 75, 76syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
7845, 77eqtr3d 2317 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  -u ( F `
 x ) ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
79 itg1cl 19040 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 
->  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
8060, 79syl 15 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
8178, 80eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  -u ( F `
 x ) ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
8214iblrelem 19145 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( ( x  e.  RR  |->  ( F `  x ) )  e.  L ^1  <->  ( ( x  e.  RR  |->  ( F `  x ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  x ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  -u ( F `  x
) ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
834, 41, 81, 82mpbir3and 1135 . 2  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  ( F `  x ) )  e.  L ^1 )
842, 83eqeltrd 2357 1  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F  e.  L ^1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   ifcif 3565   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   dom cdm 4689    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076    o Rcofr 6077   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742    <_ cle 8868   -ucneg 9038  MblFncmbf 18969   S.1citg1 18970   S.2citg2 18971   L ^1cibl 18972   0 pc0p 19024
This theorem is referenced by:  itgitg1  19163
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cmp 17114  df-ovol 18824  df-vol 18825  df-mbf 18975  df-itg1 18976  df-itg2 18977  df-ibl 18978  df-0p 19025
  Copyright terms: Public domain W3C validator