Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fmul Structured version   Unicode version

Theorem i1fmul 19590
 Description: The pointwise product of two simple functions is a simple function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression
i1fmul

Proof of Theorem i1fmul
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 remulcl 9077 . . . 4
3 i1fadd.1 . . . 4
4 i1ff 19570 . . . 4
53, 4syl 16 . . 3
6 i1fadd.2 . . . 4
7 i1ff 19570 . . . 4
86, 7syl 16 . . 3
9 reex 9083 . . . 4
109a1i 11 . . 3
11 inidm 3552 . . 3
122, 5, 8, 10, 10, 11off 6322 . 2
13 i1frn 19571 . . . . . 6
143, 13syl 16 . . . . 5
15 i1frn 19571 . . . . . 6
166, 15syl 16 . . . . 5
17 xpfi 7380 . . . . 5
1814, 16, 17syl2anc 644 . . . 4
19 eqid 2438 . . . . . 6
20 ovex 6108 . . . . . 6
2119, 20fnmpt2i 6422 . . . . 5
22 dffn4 5661 . . . . 5
2321, 22mpbi 201 . . . 4
24 fofi 7394 . . . 4
2518, 23, 24sylancl 645 . . 3
26 eqid 2438 . . . . . . . . 9
27 rspceov 6118 . . . . . . . . 9
2826, 27mp3an3 1269 . . . . . . . 8
29 ovex 6108 . . . . . . . . 9
30 eqeq1 2444 . . . . . . . . . 10
31302rexbidv 2750 . . . . . . . . 9
3229, 31elab 3084 . . . . . . . 8
3328, 32sylibr 205 . . . . . . 7
3433adantl 454 . . . . . 6
35 ffn 5593 . . . . . . . 8
365, 35syl 16 . . . . . . 7
37 dffn3 5600 . . . . . . 7
3836, 37sylib 190 . . . . . 6
39 ffn 5593 . . . . . . . 8
408, 39syl 16 . . . . . . 7
41 dffn3 5600 . . . . . . 7
4240, 41sylib 190 . . . . . 6
4334, 38, 42, 10, 10, 11off 6322 . . . . 5
44 frn 5599 . . . . 5
4543, 44syl 16 . . . 4
4619rnmpt2 6182 . . . 4
4745, 46syl6sseqr 3397 . . 3
48 ssfi 7331 . . 3
4925, 47, 48syl2anc 644 . 2
50 frn 5599 . . . . . . . 8
5112, 50syl 16 . . . . . . 7
52 ax-resscn 9049 . . . . . . 7
5351, 52syl6ss 3362 . . . . . 6
5453ssdifd 3485 . . . . 5
5554sselda 3350 . . . 4
563, 6i1fmullem 19588 . . . 4
5755, 56syldan 458 . . 3
58 difss 3476 . . . . . 6
59 ssfi 7331 . . . . . 6
6016, 58, 59sylancl 645 . . . . 5
61 i1fima 19572 . . . . . . . 8
623, 61syl 16 . . . . . . 7
63 i1fima 19572 . . . . . . . 8
646, 63syl 16 . . . . . . 7
65 inmbl 19438 . . . . . . 7
6662, 64, 65syl2anc 644 . . . . . 6
6766ralrimivw 2792 . . . . 5
68 finiunmbl 19440 . . . . 5
6960, 67, 68syl2anc 644 . . . 4
7157, 70eqeltrd 2512 . 2
72 mblvol 19428 . . . 4
7371, 72syl 16 . . 3
74 mblss 19429 . . . . 5
7571, 74syl 16 . . . 4
7660adantr 453 . . . . 5
77 inss2 3564 . . . . . . 7
7877a1i 11 . . . . . 6
7964ad2antrr 708 . . . . . . 7
80 mblss 19429 . . . . . . 7
8179, 80syl 16 . . . . . 6
82 mblvol 19428 . . . . . . . 8
8379, 82syl 16 . . . . . . 7
846adantr 453 . . . . . . . 8
85 i1fima2sn 19574 . . . . . . . 8
8684, 85sylan 459 . . . . . . 7
8783, 86eqeltrrd 2513 . . . . . 6
88 ovolsscl 19384 . . . . . 6
8978, 81, 87, 88syl3anc 1185 . . . . 5
9076, 89fsumrecl 12530 . . . 4
9157fveq2d 5734 . . . . 5
92 mblss 19429 . . . . . . . . . 10
9366, 92syl 16 . . . . . . . . 9
9493ad2antrr 708 . . . . . . . 8
9594, 89jca 520 . . . . . . 7
9695ralrimiva 2791 . . . . . 6
97 ovolfiniun 19399 . . . . . 6
9876, 96, 97syl2anc 644 . . . . 5
9991, 98eqbrtrd 4234 . . . 4
100 ovollecl 19381 . . . 4
10175, 90, 99, 100syl3anc 1185 . . 3
10273, 101eqeltrd 2512 . 2
10312, 49, 71, 102i1fd 19575 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  cab 2424  wral 2707  wrex 2708  cvv 2958   cdif 3319   cin 3321   wss 3322  csn 3816  ciun 4095   class class class wbr 4214   cxp 4878  ccnv 4879   cdm 4880   crn 4881  cima 4883   wfn 5451  wf 5452  wfo 5454  cfv 5456  (class class class)co 6083   cmpt2 6085   cof 6305  cfn 7111  cc 8990  cr 8991  cc0 8992   cmul 8997   cle 9123   cdiv 9679  csu 12481  covol 19361  cvol 19362  citg1 19509 This theorem is referenced by:  mbfmullem2  19618  ftc1anclem3  26284 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xadd 10713  df-ioo 10922  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-sum 12482  df-xmet 16697  df-met 16698  df-ovol 19363  df-vol 19364  df-mbf 19514  df-itg1 19515
 Copyright terms: Public domain W3C validator