Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fmulclem Unicode version

Theorem i1fmulclem 19073
 Description: Decompose the preimage of a constant times a function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
i1fmulc.2
i1fmulc.3
Assertion
Ref Expression
i1fmulclem

Proof of Theorem i1fmulclem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 8844 . . . . . . . . . 10
21a1i 10 . . . . . . . . 9
3 i1fmulc.3 . . . . . . . . 9
4 i1fmulc.2 . . . . . . . . . . 11
5 i1ff 19047 . . . . . . . . . . 11
64, 5syl 15 . . . . . . . . . 10
7 ffn 5405 . . . . . . . . . 10
86, 7syl 15 . . . . . . . . 9
9 eqidd 2297 . . . . . . . . 9
102, 3, 8, 9ofc1 6116 . . . . . . . 8
1110adantlr 695 . . . . . . 7
1211adantlr 695 . . . . . 6
1312eqeq1d 2304 . . . . 5
14 eqcom 2298 . . . . . 6
15 simplr 731 . . . . . . . 8
1615recnd 8877 . . . . . . 7
173ad3antrrr 710 . . . . . . . 8
1817recnd 8877 . . . . . . 7
196ad2antrr 706 . . . . . . . . 9
20 ffvelrn 5679 . . . . . . . . 9
2119, 20sylan 457 . . . . . . . 8
2221recnd 8877 . . . . . . 7
23 simpllr 735 . . . . . . 7
2416, 18, 22, 23divmuld 9574 . . . . . 6
2514, 24syl5bb 248 . . . . 5
2613, 25bitr4d 247 . . . 4
2726pm5.32da 622 . . 3
28 remulcl 8838 . . . . . . . 8
2928adantl 452 . . . . . . 7
30 fconstg 5444 . . . . . . . . 9
313, 30syl 15 . . . . . . . 8
323snssd 3776 . . . . . . . 8
33 fss 5413 . . . . . . . 8
3431, 32, 33syl2anc 642 . . . . . . 7
35 inidm 3391 . . . . . . 7
3629, 34, 6, 2, 2, 35off 6109 . . . . . 6
3736ad2antrr 706 . . . . 5
38 ffn 5405 . . . . 5
3937, 38syl 15 . . . 4
40 fniniseg 5662 . . . 4
4139, 40syl 15 . . 3
4219, 7syl 15 . . . 4
43 fniniseg 5662 . . . 4
4442, 43syl 15 . . 3
4527, 41, 443bitr4d 276 . 2
4645eqrdv 2294 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  cvv 2801   wss 3165  csn 3653   cxp 4703  ccnv 4704   cdm 4705  cima 4708   wfn 5266  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874   cof 6092  cr 8752  cc0 8753   cmul 8758   cdiv 9439  citg1 18986 This theorem is referenced by:  i1fmulc  19074  itg1mulc  19075 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-sum 12175  df-itg1 18992
 Copyright terms: Public domain W3C validator