Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fmulclem Structured version   Unicode version

Theorem i1fmulclem 19586
 Description: Decompose the preimage of a constant times a function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
i1fmulc.2
i1fmulc.3
Assertion
Ref Expression
i1fmulclem

Proof of Theorem i1fmulclem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 9073 . . . . . . . . . 10
21a1i 11 . . . . . . . . 9
3 i1fmulc.3 . . . . . . . . 9
4 i1fmulc.2 . . . . . . . . . . 11
5 i1ff 19560 . . . . . . . . . . 11
64, 5syl 16 . . . . . . . . . 10
7 ffn 5583 . . . . . . . . . 10
86, 7syl 16 . . . . . . . . 9
9 eqidd 2436 . . . . . . . . 9
102, 3, 8, 9ofc1 6319 . . . . . . . 8
1110adantlr 696 . . . . . . 7
1211adantlr 696 . . . . . 6
1312eqeq1d 2443 . . . . 5
14 eqcom 2437 . . . . . 6
15 simplr 732 . . . . . . . 8
1615recnd 9106 . . . . . . 7
173ad3antrrr 711 . . . . . . . 8
1817recnd 9106 . . . . . . 7
196ad2antrr 707 . . . . . . . . 9
2019ffvelrnda 5862 . . . . . . . 8
2120recnd 9106 . . . . . . 7
22 simpllr 736 . . . . . . 7
2316, 18, 21, 22divmuld 9804 . . . . . 6
2414, 23syl5bb 249 . . . . 5
2513, 24bitr4d 248 . . . 4
2625pm5.32da 623 . . 3
27 remulcl 9067 . . . . . . . 8
2827adantl 453 . . . . . . 7
29 fconstg 5622 . . . . . . . . 9
303, 29syl 16 . . . . . . . 8
313snssd 3935 . . . . . . . 8
32 fss 5591 . . . . . . . 8
3330, 31, 32syl2anc 643 . . . . . . 7
34 inidm 3542 . . . . . . 7
3528, 33, 6, 2, 2, 34off 6312 . . . . . 6
3635ad2antrr 707 . . . . 5
37 ffn 5583 . . . . 5
3836, 37syl 16 . . . 4
39 fniniseg 5843 . . . 4
4038, 39syl 16 . . 3
4119, 7syl 16 . . . 4
42 fniniseg 5843 . . . 4
4341, 42syl 16 . . 3
4426, 40, 433bitr4d 277 . 2
4544eqrdv 2433 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  cvv 2948   wss 3312  csn 3806   cxp 4868  ccnv 4869   cdm 4870  cima 4873   wfn 5441  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073   cof 6295  cr 8981  cc0 8982   cmul 8987   cdiv 9669  citg1 19499 This theorem is referenced by:  i1fmulc  19587  itg1mulc  19588 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-riota 6541  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-sum 12472  df-itg1 19505
 Copyright terms: Public domain W3C validator