MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fpos Unicode version

Theorem i1fpos 19465
Description: The positive part of a simple function is simple. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
i1fpos.1  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
Assertion
Ref Expression
i1fpos  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  G  e.  dom  S.1 )
Distinct variable group:    x, F
Allowed substitution hint:    G( x)

Proof of Theorem i1fpos
StepHypRef Expression
1 i1fpos.1 . . 3  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
2 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
32biantrurd 495 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `
 x )  e.  ( 0 [,)  +oo ) 
<->  ( x  e.  RR  /\  ( F `  x
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) ) )
4 i1ff 19435 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F : RR --> RR )
54ffvelrnda 5809 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
65biantrurd 495 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( F `  x
)  <->  ( ( F `
 x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) ) )
7 elrege0 10939 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  x )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) )
86, 7syl6bbr 255 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( F `  x
)  <->  ( F `  x )  e.  ( 0 [,)  +oo )
) )
94adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  F : RR --> RR )
10 ffn 5531 . . . . . . 7  |-  ( F : RR --> RR  ->  F  Fn  RR )
11 elpreima 5789 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  RR  ->  (
x  e.  ( `' F " ( 0 [,)  +oo ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( F `
 x )  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) ) )
129, 10, 113syl 19 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( `' F "
( 0 [,)  +oo ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( F `
 x )  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) ) )
133, 8, 123bitr4d 277 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( F `  x
)  <->  x  e.  ( `' F " ( 0 [,)  +oo ) ) ) )
1413ifbid 3700 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  if ( x  e.  ( `' F "
( 0 [,)  +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
1514mpteq2dva 4236 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( 0 [,)  +oo ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )
161, 15syl5eq 2431 . 2  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( 0 [,)  +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
17 i1fima 19437 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( `' F " ( 0 [,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
18 eqid 2387 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( 0 [,)  +oo ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( 0 [,)  +oo ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )
1918i1fres 19464 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  ( `' F "
( 0 [,)  +oo ) )  e.  dom  vol )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( 0 [,)  +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 )
2017, 19mpdan 650 . 2  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( 0 [,)  +oo ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 )
2116, 20eqeltrd 2461 1  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  G  e.  dom  S.1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   ifcif 3682   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207   `'ccnv 4817   dom cdm 4818   "cima 4821    Fn wfn 5389   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   RRcr 8922   0cc0 8923    +oocpnf 9050    <_ cle 9054   [,)cico 10850   volcvol 19227   S.1citg1 19374
This theorem is referenced by:  i1fposd  19466  i1fibl  19566  itg2addnclem  25957
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-fi 7351  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-cda 7981  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-ioo 10852  df-ico 10854  df-icc 10855  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-fl 11129  df-seq 11251  df-exp 11310  df-hash 11546  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-clim 12209  df-sum 12407  df-rest 13577  df-topgen 13594  df-xmet 16619  df-met 16620  df-bl 16621  df-mopn 16622  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-cmp 17372  df-ovol 19228  df-vol 19229  df-mbf 19379  df-itg1 19380
  Copyright terms: Public domain W3C validator