MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fposd Unicode version

Theorem i1fposd 19459
Description: Deduction form of i1fposd 19459. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
i1fposd.1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  A )  e.  dom  S.1 )
Assertion
Ref Expression
i1fposd  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  e.  dom  S.1 )
Distinct variable group:    ph, x
Allowed substitution hint:    A( x)

Proof of Theorem i1fposd
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2516 . . . . . 6  |-  F/_ x
0
2 nfcv 2516 . . . . . 6  |-  F/_ x  <_
3 nffvmpt1 5669 . . . . . 6  |-  F/_ x
( ( x  e.  RR  |->  A ) `  y )
41, 2, 3nfbr 4190 . . . . 5  |-  F/ x
0  <_  ( (
x  e.  RR  |->  A ) `  y )
54, 3, 1nfif 3699 . . . 4  |-  F/_ x if ( 0  <_  (
( x  e.  RR  |->  A ) `  y
) ,  ( ( x  e.  RR  |->  A ) `  y ) ,  0 )
6 nfcv 2516 . . . 4  |-  F/_ y if ( 0  <_  (
( x  e.  RR  |->  A ) `  x
) ,  ( ( x  e.  RR  |->  A ) `  x ) ,  0 )
7 fveq2 5661 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
( x  e.  RR  |->  A ) `  y
)  =  ( ( x  e.  RR  |->  A ) `  x ) )
87breq2d 4158 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  (
0  <_  ( (
x  e.  RR  |->  A ) `  y )  <->  0  <_  ( (
x  e.  RR  |->  A ) `  x ) ) )
9 eqidd 2381 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  0  =  0 )
108, 7, 9ifbieq12d 3697 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  if ( 0  <_  (
( x  e.  RR  |->  A ) `  y
) ,  ( ( x  e.  RR  |->  A ) `  y ) ,  0 )  =  if ( 0  <_ 
( ( x  e.  RR  |->  A ) `  x ) ,  ( ( x  e.  RR  |->  A ) `  x
) ,  0 ) )
115, 6, 10cbvmpt 4233 . . 3  |-  ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( (
x  e.  RR  |->  A ) `  y ) ,  ( ( x  e.  RR  |->  A ) `
 y ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  (
( x  e.  RR  |->  A ) `  x
) ,  ( ( x  e.  RR  |->  A ) `  x ) ,  0 ) )
12 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
13 i1fposd.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  A )  e.  dom  S.1 )
14 i1ff 19428 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  |->  A )  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  A ) : RR --> RR )
1513, 14syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  A ) : RR --> RR )
16 eqid 2380 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  |->  A )  =  ( x  e.  RR  |->  A )
1716fmpt 5822 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  RR  A  e.  RR  <->  ( x  e.  RR  |->  A ) : RR --> RR )
1815, 17sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  A  e.  RR )
1918r19.21bi 2740 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
2016fvmpt2 5744 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  RR  |->  A ) `  x )  =  A )
2112, 19, 20syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  RR  |->  A ) `  x )  =  A )
2221breq2d 4158 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( ( x  e.  RR  |->  A ) `
 x )  <->  0  <_  A ) )
23 eqidd 2381 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  =  0 )
2422, 21, 23ifbieq12d 3697 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  ( (
x  e.  RR  |->  A ) `  x ) ,  ( ( x  e.  RR  |->  A ) `
 x ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )
2524mpteq2dva 4229 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  (
( x  e.  RR  |->  A ) `  x
) ,  ( ( x  e.  RR  |->  A ) `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) ) )
2611, 25syl5eq 2424 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  (
( x  e.  RR  |->  A ) `  y
) ,  ( ( x  e.  RR  |->  A ) `  y ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) ) )
27 eqid 2380 . . . 4  |-  ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( (
x  e.  RR  |->  A ) `  y ) ,  ( ( x  e.  RR  |->  A ) `
 y ) ,  0 ) )  =  ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  (
( x  e.  RR  |->  A ) `  y
) ,  ( ( x  e.  RR  |->  A ) `  y ) ,  0 ) )
2827i1fpos 19458 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR  |->  A )  e.  dom  S.1  ->  ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  (
( x  e.  RR  |->  A ) `  y
) ,  ( ( x  e.  RR  |->  A ) `  y ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 )
2913, 28syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  (
( x  e.  RR  |->  A ) `  y
) ,  ( ( x  e.  RR  |->  A ) `  y ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 )
3026, 29eqeltrrd 2455 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  e.  dom  S.1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2642   ifcif 3675   class class class wbr 4146    e. cmpt 4200   dom cdm 4811   -->wf 5383   ` cfv 5387   RRcr 8915   0cc0 8916    <_ cle 9047   S.1citg1 19367
This theorem is referenced by:  i1fibl  19559  itgitg1  19560
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-of 6237  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-2o 6654  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-pm 6950  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-fi 7344  df-sup 7374  df-oi 7405  df-card 7752  df-cda 7974  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-q 10500  df-rp 10538  df-xneg 10635  df-xadd 10636  df-xmul 10637  df-ioo 10845  df-ico 10847  df-icc 10848  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-fl 11122  df-seq 11244  df-exp 11303  df-hash 11539  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-clim 12202  df-sum 12400  df-rest 13570  df-topgen 13587  df-xmet 16612  df-met 16613  df-bl 16614  df-mopn 16615  df-top 16879  df-bases 16881  df-topon 16882  df-cmp 17365  df-ovol 19221  df-vol 19222  df-mbf 19372  df-itg1 19373
  Copyright terms: Public domain W3C validator