Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fres Structured version   Unicode version

Theorem i1fres 19598
 Description: The "restriction" of a simple function to a measurable subset is simple. (It's not actually a restriction because it is zero instead of undefined outside .) (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
i1fres.1
Assertion
Ref Expression
i1fres
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem i1fres
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1ff 19569 . . . . . . . 8
21adantr 453 . . . . . . 7
3 ffn 5592 . . . . . . 7
42, 3syl 16 . . . . . 6
5 fnfvelrn 5868 . . . . . 6
64, 5sylan 459 . . . . 5
7 i1f0rn 19575 . . . . . 6
87ad2antrr 708 . . . . 5
9 ifcl 3776 . . . . 5
106, 8, 9syl2anc 644 . . . 4
11 i1fres.1 . . . 4
1210, 11fmptd 5894 . . 3
13 frn 5598 . . . 4
142, 13syl 16 . . 3
15 fss 5600 . . 3
1612, 14, 15syl2anc 644 . 2
17 i1frn 19570 . . . 4
19 frn 5598 . . . 4
2012, 19syl 16 . . 3
21 ssfi 7330 . . 3
2218, 20, 21syl2anc 644 . 2
23 eleq1 2497 . . . . . . . . . . . . . 14
24 fveq2 5729 . . . . . . . . . . . . . 14
25 eqidd 2438 . . . . . . . . . . . . . 14
2623, 24, 25ifbieq12d 3762 . . . . . . . . . . . . 13
27 fvex 5743 . . . . . . . . . . . . . 14
28 c0ex 9086 . . . . . . . . . . . . . 14
2927, 28ifex 3798 . . . . . . . . . . . . 13
3026, 11, 29fvmpt 5807 . . . . . . . . . . . 12
3130adantl 454 . . . . . . . . . . 11
3231eqeq1d 2445 . . . . . . . . . 10
33 eldifsni 3929 . . . . . . . . . . . . . . 15
3433ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . 14
3534necomd 2688 . . . . . . . . . . . . 13
36 iffalse 3747 . . . . . . . . . . . . . 14
3736neeq1d 2615 . . . . . . . . . . . . 13
3835, 37syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . . 12
3938necon4bd 2667 . . . . . . . . . . 11
4039pm4.71rd 618 . . . . . . . . . 10
4132, 40bitrd 246 . . . . . . . . 9
42 iftrue 3746 . . . . . . . . . . 11
4342eqeq1d 2445 . . . . . . . . . 10
4443pm5.32i 620 . . . . . . . . 9
4541, 44syl6bb 254 . . . . . . . 8
4645pm5.32da 624 . . . . . . 7
47 an12 774 . . . . . . 7
4846, 47syl6bb 254 . . . . . 6
49 ffn 5592 . . . . . . . . 9
5012, 49syl 16 . . . . . . . 8
5150adantr 453 . . . . . . 7
52 fniniseg 5852 . . . . . . 7
5351, 52syl 16 . . . . . 6
544adantr 453 . . . . . . . 8
55 fniniseg 5852 . . . . . . . 8
5654, 55syl 16 . . . . . . 7
5756anbi2d 686 . . . . . 6
5848, 53, 573bitr4d 278 . . . . 5
59 elin 3531 . . . . 5
6058, 59syl6bbr 256 . . . 4
6160eqrdv 2435 . . 3
62 simplr 733 . . . 4
63 i1fima 19571 . . . . 5
6463ad2antrr 708 . . . 4
65 inmbl 19437 . . . 4
6662, 64, 65syl2anc 644 . . 3
6761, 66eqeltrd 2511 . 2
6861fveq2d 5733 . . . 4
69 mblvol 19427 . . . . 5
7066, 69syl 16 . . . 4
7168, 70eqtrd 2469 . . 3
72 inss2 3563 . . . . 5
7372a1i 11 . . . 4
74 mblss 19428 . . . . 5
7564, 74syl 16 . . . 4
76 mblvol 19427 . . . . . 6
7764, 76syl 16 . . . . 5
78 i1fima2sn 19573 . . . . . 6
7978adantlr 697 . . . . 5
8077, 79eqeltrrd 2512 . . . 4
81 ovolsscl 19383 . . . 4
8273, 75, 80, 81syl3anc 1185 . . 3
8371, 82eqeltrd 2511 . 2
8416, 22, 67, 83i1fd 19574 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2600   cdif 3318   cin 3320   wss 3321  cif 3740  csn 3815   cmpt 4267  ccnv 4878   cdm 4879   crn 4880  cima 4882   wfn 5450  wf 5451  cfv 5455  cfn 7110  cr 8990  cc0 8991  covol 19360  cvol 19361  citg1 19508 This theorem is referenced by:  i1fpos  19599  itg1climres  19607  itg2uba  19636  itg2splitlem  19641  itg2monolem1  19643  ftc1anclem5  26285  ftc1anclem7  26287 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-pm 7022  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-fi 7417  df-sup 7447  df-oi 7480  df-card 7827  df-cda 8049  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-q 10576  df-rp 10614  df-xneg 10711  df-xadd 10712  df-xmul 10713  df-ioo 10921  df-ico 10923  df-icc 10924  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-fl 11203  df-seq 11325  df-exp 11384  df-hash 11620  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-clim 12283  df-sum 12481  df-rest 13651  df-topgen 13668  df-psmet 16695  df-xmet 16696  df-met 16697  df-bl 16698  df-mopn 16699  df-top 16964  df-bases 16966  df-topon 16967  df-cmp 17451  df-ovol 19362  df-vol 19363  df-mbf 19513  df-itg1 19514
 Copyright terms: Public domain W3C validator