MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1frn Unicode version

Theorem i1frn 19436
Description: A simple function has finite range. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
i1frn  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ran 
F  e.  Fin )

Proof of Theorem i1frn
StepHypRef Expression
1 isi1f 19433 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  <->  ( F  e. MblFn  /\  ( F : RR
--> RR  /\  ran  F  e.  Fin  /\  ( vol `  ( `' F "
( RR  \  {
0 } ) ) )  e.  RR ) ) )
21simprbi 451 . 2  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( F : RR --> RR  /\  ran  F  e.  Fin  /\  ( vol `  ( `' F " ( RR 
\  { 0 } ) ) )  e.  RR ) )
32simp2d 970 1  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ran 
F  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    e. wcel 1717    \ cdif 3260   {csn 3757   `'ccnv 4817   dom cdm 4818   ran crn 4819   "cima 4821   -->wf 5390   ` cfv 5394   Fincfn 7045   RRcr 8922   0cc0 8923   volcvol 19227  MblFncmbf 19373   S.1citg1 19374
This theorem is referenced by:  i1fima  19437  itg1cl  19444  itg1ge0  19445  i1fadd  19454  i1fmul  19455  itg1addlem4  19458  itg1addlem5  19459  i1fmulc  19462  itg1mulc  19463  i1fres  19464  itg10a  19469  itg1ge0a  19470  itg1climres  19473  itg2addnclem2  25958
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pr 4344
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-fv 5402  df-sum 12407  df-itg1 19380
  Copyright terms: Public domain W3C validator