MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1frn Structured version   Unicode version

Theorem i1frn 19562
Description: A simple function has finite range. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
i1frn  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ran 
F  e.  Fin )

Proof of Theorem i1frn
StepHypRef Expression
1 isi1f 19559 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  <->  ( F  e. MblFn  /\  ( F : RR
--> RR  /\  ran  F  e.  Fin  /\  ( vol `  ( `' F "
( RR  \  {
0 } ) ) )  e.  RR ) ) )
21simprbi 451 . 2  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( F : RR --> RR  /\  ran  F  e.  Fin  /\  ( vol `  ( `' F " ( RR 
\  { 0 } ) ) )  e.  RR ) )
32simp2d 970 1  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ran 
F  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    e. wcel 1725    \ cdif 3310   {csn 3807   `'ccnv 4870   dom cdm 4871   ran crn 4872   "cima 4874   -->wf 5443   ` cfv 5447   Fincfn 7102   RRcr 8982   0cc0 8983   volcvol 19353  MblFncmbf 19499   S.1citg1 19500
This theorem is referenced by:  i1fima  19563  itg1cl  19570  itg1ge0  19571  i1fadd  19580  i1fmul  19581  itg1addlem4  19584  itg1addlem5  19585  i1fmulc  19588  itg1mulc  19589  i1fres  19590  itg10a  19595  itg1ge0a  19596  itg1climres  19599  itg2addnclem2  26248  ftc1anclem3  26273  ftc1anclem6  26276  ftc1anclem7  26277  ftc1anc  26279
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pr 4396
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2703  df-rex 2704  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-nul 3622  df-if 3733  df-sn 3813  df-pr 3814  df-op 3816  df-uni 4009  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-id 4491  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-fv 5455  df-sum 12473  df-itg1 19506
  Copyright terms: Public domain W3C validator