MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ibl0 Structured version   Unicode version

Theorem ibl0 19670
Description: The zero function is integrable on any measurable set. (Unlike iblconst 19701, this does not require  A to have finite measure.) (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
ibl0  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( A  X.  { 0 } )  e.  L ^1 )

Proof of Theorem ibl0
Dummy variables  x  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 9076 . . 3  |-  0  e.  CC
2 mbfconst 19519 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  0  e.  CC )  ->  ( A  X.  { 0 } )  e. MblFn )
31, 2mpan2 653 . 2  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( A  X.  { 0 } )  e. MblFn )
4 elfzelz 11051 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  ZZ )
54ad2antlr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  A )  ->  k  e.  ZZ )
6 ax-icn 9041 . . . . . . . . 9  |-  _i  e.  CC
7 ine0 9461 . . . . . . . . 9  |-  _i  =/=  0
8 expclz 11398 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
9 expne0i 11404 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
108, 9div0d 9781 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
0  /  ( _i
^ k ) )  =  0 )
116, 7, 10mp3an12 1269 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
0  /  ( _i
^ k ) )  =  0 )
125, 11syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
0  /  ( _i
^ k ) )  =  0 )
1312fveq2d 5724 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re ` 
0 ) )
14 re0 11949 . . . . . 6  |-  ( Re
`  0 )  =  0
1513, 14syl6eq 2483 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) )  =  0 )
1615itgvallem3 19669 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  0 )
17 0re 9083 . . . 4  |-  0  e.  RR
1816, 17syl6eqel 2523 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
1918ralrimiva 2781 . 2  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( 0  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
20 eqidd 2436 . . 3  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( 0  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) ) )
21 eqidd 2436 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  x  e.  A )  ->  ( Re `  ( 0  /  (
_i ^ k ) ) )  =  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) )
22 c0ex 9077 . . . . 5  |-  0  e.  _V
2322fconst 5621 . . . 4  |-  ( A  X.  { 0 } ) : A --> { 0 }
24 fdm 5587 . . . 4  |-  ( ( A  X.  { 0 } ) : A --> { 0 }  ->  dom  ( A  X.  {
0 } )  =  A )
2523, 24mp1i 12 . . 3  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  dom  ( A  X.  {
0 } )  =  A )
2622fvconst2 5939 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  (
( A  X.  {
0 } ) `  x )  =  0 )
2726adantl 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  x  e.  A )  ->  ( ( A  X.  { 0 } ) `  x )  =  0 )
2820, 21, 25, 27isibl 19649 . 2  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( ( A  X.  {
0 } )  e.  L ^1  <->  ( ( A  X.  { 0 } )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
293, 19, 28mpbir2and 889 1  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( A  X.  { 0 } )  e.  L ^1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   ifcif 3731   {csn 3806   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258    X. cxp 4868   dom cdm 4870   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   _ici 8984    <_ cle 9113    / cdiv 9669   3c3 10042   ZZcz 10274   ...cfz 11035   ^cexp 11374   Recre 11894   volcvol 19352  MblFncmbf 19498   S.2citg2 19500   L ^1cibl 19501
This theorem is referenced by:  itgge0  19694  itgfsum  19710  bddiblnc  26265
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-ofr 6298  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xadd 10703  df-ioo 10912  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472  df-xmet 16687  df-met 16688  df-ovol 19353  df-vol 19354  df-mbf 19504  df-itg1 19505  df-itg2 19506  df-ibl 19507  df-0p 19554
  Copyright terms: Public domain W3C validator