MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ibl0 Unicode version

Theorem ibl0 19141
Description: The zero function is integrable on any measurable set. (Unlike iblconst 19172, this does not require  A to have finite measure.) (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
ibl0  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( A  X.  { 0 } )  e.  L ^1 )

Proof of Theorem ibl0
Dummy variables  x  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 8831 . . 3  |-  0  e.  CC
2 mbfconst 18990 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  0  e.  CC )  ->  ( A  X.  { 0 } )  e. MblFn )
31, 2mpan2 652 . 2  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( A  X.  { 0 } )  e. MblFn )
4 elfzelz 10798 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  ZZ )
54ad2antlr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  A )  ->  k  e.  ZZ )
6 ax-icn 8796 . . . . . . . . 9  |-  _i  e.  CC
7 ine0 9215 . . . . . . . . 9  |-  _i  =/=  0
8 expclz 11128 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
9 expne0i 11134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
108, 9div0d 9535 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
0  /  ( _i
^ k ) )  =  0 )
116, 7, 10mp3an12 1267 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
0  /  ( _i
^ k ) )  =  0 )
125, 11syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
0  /  ( _i
^ k ) )  =  0 )
1312fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re ` 
0 ) )
14 re0 11637 . . . . . 6  |-  ( Re
`  0 )  =  0
1513, 14syl6eq 2331 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) )  =  0 )
1615itgvallem3 19140 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  0 )
17 0re 8838 . . . 4  |-  0  e.  RR
1816, 17syl6eqel 2371 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
1918ralrimiva 2626 . 2  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( 0  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
20 eqidd 2284 . . 3  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( 0  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) ) )
21 eqidd 2284 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  x  e.  A )  ->  ( Re `  ( 0  /  (
_i ^ k ) ) )  =  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) )
22 c0ex 8832 . . . . 5  |-  0  e.  _V
2322fconst 5427 . . . 4  |-  ( A  X.  { 0 } ) : A --> { 0 }
24 fdm 5393 . . . 4  |-  ( ( A  X.  { 0 } ) : A --> { 0 }  ->  dom  ( A  X.  {
0 } )  =  A )
2523, 24mp1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  dom  ( A  X.  {
0 } )  =  A )
2622fvconst2 5729 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  (
( A  X.  {
0 } ) `  x )  =  0 )
2726adantl 452 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  x  e.  A )  ->  ( ( A  X.  { 0 } ) `  x )  =  0 )
2820, 21, 25, 27isibl 19120 . 2  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( ( A  X.  {
0 } )  e.  L ^1  <->  ( ( A  X.  { 0 } )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
293, 19, 28mpbir2and 888 1  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( A  X.  { 0 } )  e.  L ^1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   ifcif 3565   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   dom cdm 4689   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   _ici 8739    <_ cle 8868    / cdiv 9423   3c3 9796   ZZcz 10024   ...cfz 10782   ^cexp 11104   Recre 11582   volcvol 18823  MblFncmbf 18969   S.2citg2 18971   L ^1cibl 18972
This theorem is referenced by:  itgge0  19165  itgfsum  19181
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xadd 10453  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-xmet 16373  df-met 16374  df-ovol 18824  df-vol 18825  df-mbf 18975  df-itg1 18976  df-itg2 18977  df-ibl 18978  df-0p 19025
  Copyright terms: Public domain W3C validator