MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ibl0 Unicode version

Theorem ibl0 19157
Description: The zero function is integrable on any measurable set. (Unlike iblconst 19188, this does not require  A to have finite measure.) (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
ibl0  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( A  X.  { 0 } )  e.  L ^1 )

Proof of Theorem ibl0
Dummy variables  x  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 8847 . . 3  |-  0  e.  CC
2 mbfconst 19006 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  0  e.  CC )  ->  ( A  X.  { 0 } )  e. MblFn )
31, 2mpan2 652 . 2  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( A  X.  { 0 } )  e. MblFn )
4 elfzelz 10814 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  ZZ )
54ad2antlr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  A )  ->  k  e.  ZZ )
6 ax-icn 8812 . . . . . . . . 9  |-  _i  e.  CC
7 ine0 9231 . . . . . . . . 9  |-  _i  =/=  0
8 expclz 11144 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
9 expne0i 11150 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
108, 9div0d 9551 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
0  /  ( _i
^ k ) )  =  0 )
116, 7, 10mp3an12 1267 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
0  /  ( _i
^ k ) )  =  0 )
125, 11syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
0  /  ( _i
^ k ) )  =  0 )
1312fveq2d 5545 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re ` 
0 ) )
14 re0 11653 . . . . . 6  |-  ( Re
`  0 )  =  0
1513, 14syl6eq 2344 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) )  =  0 )
1615itgvallem3 19156 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  0 )
17 0re 8854 . . . 4  |-  0  e.  RR
1816, 17syl6eqel 2384 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
1918ralrimiva 2639 . 2  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( 0  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
20 eqidd 2297 . . 3  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( 0  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) ) )
21 eqidd 2297 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  x  e.  A )  ->  ( Re `  ( 0  /  (
_i ^ k ) ) )  =  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) )
22 c0ex 8848 . . . . 5  |-  0  e.  _V
2322fconst 5443 . . . 4  |-  ( A  X.  { 0 } ) : A --> { 0 }
24 fdm 5409 . . . 4  |-  ( ( A  X.  { 0 } ) : A --> { 0 }  ->  dom  ( A  X.  {
0 } )  =  A )
2523, 24mp1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  dom  ( A  X.  {
0 } )  =  A )
2622fvconst2 5745 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  (
( A  X.  {
0 } ) `  x )  =  0 )
2726adantl 452 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  x  e.  A )  ->  ( ( A  X.  { 0 } ) `  x )  =  0 )
2820, 21, 25, 27isibl 19136 . 2  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( ( A  X.  {
0 } )  e.  L ^1  <->  ( ( A  X.  { 0 } )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
293, 19, 28mpbir2and 888 1  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( A  X.  { 0 } )  e.  L ^1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   ifcif 3578   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   dom cdm 4705   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   _ici 8755    <_ cle 8884    / cdiv 9439   3c3 9812   ZZcz 10040   ...cfz 10798   ^cexp 11120   Recre 11598   volcvol 18839  MblFncmbf 18985   S.2citg2 18987   L ^1cibl 18988
This theorem is referenced by:  itgge0  19181  itgfsum  19197  bddiblnc  25021
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xadd 10469  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-xmet 16389  df-met 16390  df-ovol 18840  df-vol 18841  df-mbf 18991  df-itg1 18992  df-itg2 18993  df-ibl 18994  df-0p 19041
  Copyright terms: Public domain W3C validator