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Theorem iblabslem 19198
Description: Lemma for iblabs 19199. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iblabs.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
iblabs.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
iblabs.3  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )
iblabs.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) )  e.  L ^1 )
iblabs.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  B )  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
iblabslem  |-  ( ph  ->  ( G  e. MblFn  /\  ( S.2 `  G )  e.  RR ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    F( x)    G( x)    V( x)

Proof of Theorem iblabslem
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iblabs.3 . . 3  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )
2 iblabs.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) )  e.  L ^1 )
3 iblabs.5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  B )  e.  RR )
43iblrelem 19161 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( F `  B ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B ) ) ,  ( F `  B
) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
52, 4mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B )
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
65simp1d 967 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) )  e. MblFn )
76, 3mbfdm2 19009 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
8 mblss 18906 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
97, 8syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
10 rembl 18914 . . . . 5  |-  RR  e.  dom  vol
1110a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  RR  e.  dom  vol )
12 iftrue 3584 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 )  =  ( abs `  ( F `  B )
) )
1312adantl 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 )  =  ( abs `  ( F `  B )
) )
143recnd 8877 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  B )  e.  CC )
1514abscld 11934 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( F `  B ) )  e.  RR )
1613, 15eqeltrd 2370 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 )  e.  RR )
17 eldifn 3312 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( RR  \  A )  ->  -.  x  e.  A )
1817adantl 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  -.  x  e.  A )
19 iffalse 3585 . . . . 5  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 )  =  0 )
2018, 19syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  if (
x  e.  A , 
( abs `  ( F `  B )
) ,  0 )  =  0 )
21 eqidd 2297 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) )
22 absf 11837 . . . . . . . . 9  |-  abs : CC
--> RR
2322a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  abs : CC --> RR )
2423feqmptd 5591 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  abs  =  ( y  e.  CC  |->  ( abs `  y ) ) )
25 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( F `  B )  ->  ( abs `  y )  =  ( abs `  ( F `  B )
) )
2614, 21, 24, 25fmptco 5707 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  (
x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( abs `  ( F `
 B ) ) ) )
2712mpteq2ia 4118 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  B
) ) )
2826, 27syl6reqr 2347 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B
) ) ,  0 ) )  =  ( abs  o.  ( x  e.  A  |->  ( F `
 B ) ) ) )
29 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  |->  ( F `
 B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) )
3014, 29fmptd 5700 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) ) : A --> CC )
31 ax-resscn 8810 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  CC
32 ssid 3210 . . . . . . . . 9  |-  CC  C_  CC
33 cncfss 18419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( CC -cn-> RR )  C_  ( CC -cn-> CC ) )
3431, 32, 33mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( CC
-cn-> RR )  C_  ( CC -cn-> CC )
35 abscncf 18421 . . . . . . . 8  |-  abs  e.  ( CC -cn-> RR )
3634, 35sselii 3190 . . . . . . 7  |-  abs  e.  ( CC -cn-> CC )
3736a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  abs  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
38 cncombf 19029 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) : A --> CC  /\  abs  e.  ( CC -cn-> CC ) )  ->  ( abs  o.  ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) )  e. MblFn )
396, 30, 37, 38syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  (
x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) )  e. MblFn )
4028, 39eqeltrd 2370 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B
) ) ,  0 ) )  e. MblFn )
419, 11, 16, 20, 40mbfss 19017 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )  e. MblFn )
421, 41syl5eqel 2380 . 2  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
43 reex 8844 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  _V
4443a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
45 ifan 3617 . . . . . . . . . 10  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `
 B ) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )
46 0re 8854 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
47 ifcl 3614 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  B
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 )  e.  RR )
483, 46, 47sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  e.  RR )
49 max1 10530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( F `  B )  e.  RR )  -> 
0  <_  if (
0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )
5046, 3, 49sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 ) )
51 elrege0 10762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo )  <->  ( if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  e.  RR  /\  0  <_  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ) )
5248, 50, 51sylanbrc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
53 0le0 9843 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  0
54 elrege0 10762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR  /\  0  <_  0 ) )
5546, 53, 54mpbir2an 886 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ( 0 [,)  +oo )
5655a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
5752, 56ifclda 3605 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo )
)
5845, 57syl5eqel 2380 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
5958adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `
 B ) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
60 ifan 3617 . . . . . . . . . 10  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B )
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `
 B ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )
613renegcld 9226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u ( F `  B )  e.  RR )
62 ifcl 3614 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u ( F `  B )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  e.  RR )
6361, 46, 62sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  e.  RR )
64 max1 10530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u ( F `  B
)  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )
6546, 61, 64sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  B
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )
66 elrege0 10762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo )  <->  ( if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  e.  RR  /\  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) )
6763, 65, 66sylanbrc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
6867, 56ifclda 3605 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `
 B ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
6960, 68syl5eqel 2380 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
7069adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B )
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
71 eqidd 2297 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B ) ) ,  ( F `  B
) ,  0 ) ) )
72 eqidd 2297 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) ) )
7344, 59, 70, 71, 72offval2 6111 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B ) ) ,  ( F `  B
) ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  +  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) ) ) )
7445, 60oveq12i 5886 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  +  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )
75 max0add 11811 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  B )  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u ( F `
 B ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( abs `  ( F `
 B ) ) )
763, 75syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u ( F `
 B ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( abs `  ( F `
 B ) ) )
77 iftrue 3584 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )
7877adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )
79 iftrue 3584 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )
8079adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )
8178, 80oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  ( if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u ( F `
 B ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) ) )
8276, 81, 133eqtr4d 2338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )
8382ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  ( if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) ) )
84 00id 9003 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  0 )  =  0
85 iffalse 3585 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
86 iffalse 3585 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
8785, 86oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  ( 0  +  0 ) )
8884, 87, 193eqtr4a 2354 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )
8983, 88pm2.61d1 151 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )
9074, 89syl5eq 2340 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B ) ) ,  ( F `  B
) ,  0 )  +  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )
9190mpteq2dv 4123 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  ( if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  +  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) ) )
9273, 91eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B ) ) ,  ( F `  B
) ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) ) )
9392, 1syl6reqr 2347 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) ) )
9493fveq2d 5545 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  =  ( S.2 `  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B ) ) ,  ( F `  B
) ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) ) ) )
9558adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
9645, 85syl5eq 2340 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  =  0 )
9718, 96syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  if (
( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `
 B ) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  =  0 )
98 ibar 490 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  (
0  <_  ( F `  B )  <->  ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B
) ) ) )
9998ifbid 3596 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `
 B ) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )
10099mpteq2ia 4118 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B ) ) ,  ( F `  B
) ,  0 ) )
1013, 6mbfpos 19022 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 ) )  e. MblFn
)
102100, 101syl5eqelr 2381 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )  e. MblFn )
1039, 11, 95, 97, 102mbfss 19017 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )  e. MblFn )
104 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `
 B ) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )
10559, 104fmptd 5700 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
1065simp2d 968 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
10769adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
10860, 86syl5eq 2340 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  =  0 )
10918, 108syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  if (
( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B )
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  =  0 )
110 ibar 490 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  (
0  <_  -u ( F `
 B )  <->  ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( F `  B ) ) ) )
111110ifbid 3596 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B )
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )
112111mpteq2ia 4118 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( F `
 B ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )
1133, 6mbfneg 19021 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u ( F `  B ) )  e. MblFn
)
11461, 113mbfpos 19022 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  B
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )  e. MblFn )
115112, 114syl5eqelr 2381 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) )  e. MblFn )
1169, 11, 107, 109, 115mbfss 19017 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )  e. MblFn )
117 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B )
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) )
11870, 117fmptd 5700 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
1195simp3d 969 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
120103, 105, 106, 116, 118, 119itg2add 19130 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) ) ) )
12194, 120eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  =  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `
 B ) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) ) ) )
122106, 119readdcld 8878 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) ) )  e.  RR )
123121, 122eqeltrd 2370 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR )
12442, 123jca 518 1  |-  ( ph  ->  ( G  e. MblFn  /\  ( S.2 `  G )  e.  RR ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    C_ wss 3165   ifcif 3578   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   dom cdm 4705    o. ccom 4709   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753    + caddc 8756    +oocpnf 8880    <_ cle 8884   -ucneg 9054   [,)cico 10674   abscabs 11735   -cn->ccncf 18396   volcvol 18839  MblFncmbf 18985   S.2citg2 18987   L ^1cibl 18988
This theorem is referenced by:  iblabs  19199
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cc 8077  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-ovol 18840  df-vol 18841  df-mbf 18991  df-itg1 18992  df-itg2 18993  df-ibl 18994  df-0p 19041
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