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Theorem iblabslem 19182
Description: Lemma for iblabs 19183. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iblabs.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
iblabs.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
iblabs.3  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )
iblabs.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) )  e.  L ^1 )
iblabs.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  B )  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
iblabslem  |-  ( ph  ->  ( G  e. MblFn  /\  ( S.2 `  G )  e.  RR ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    F( x)    G( x)    V( x)

Proof of Theorem iblabslem
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iblabs.3 . . 3  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )
2 iblabs.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) )  e.  L ^1 )
3 iblabs.5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  B )  e.  RR )
43iblrelem 19145 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( F `  B ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B ) ) ,  ( F `  B
) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
52, 4mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B )
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
65simp1d 967 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) )  e. MblFn )
76, 3mbfdm2 18993 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
8 mblss 18890 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
97, 8syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
10 rembl 18898 . . . . 5  |-  RR  e.  dom  vol
1110a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  RR  e.  dom  vol )
12 iftrue 3571 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 )  =  ( abs `  ( F `  B )
) )
1312adantl 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 )  =  ( abs `  ( F `  B )
) )
143recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  B )  e.  CC )
1514abscld 11918 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( F `  B ) )  e.  RR )
1613, 15eqeltrd 2357 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 )  e.  RR )
17 eldifn 3299 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( RR  \  A )  ->  -.  x  e.  A )
1817adantl 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  -.  x  e.  A )
19 iffalse 3572 . . . . 5  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 )  =  0 )
2018, 19syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  if (
x  e.  A , 
( abs `  ( F `  B )
) ,  0 )  =  0 )
21 eqidd 2284 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) )
22 absf 11821 . . . . . . . . 9  |-  abs : CC
--> RR
2322a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  abs : CC --> RR )
2423feqmptd 5575 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  abs  =  ( y  e.  CC  |->  ( abs `  y ) ) )
25 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( F `  B )  ->  ( abs `  y )  =  ( abs `  ( F `  B )
) )
2614, 21, 24, 25fmptco 5691 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  (
x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( abs `  ( F `
 B ) ) ) )
2712mpteq2ia 4102 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  B
) ) )
2826, 27syl6reqr 2334 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B
) ) ,  0 ) )  =  ( abs  o.  ( x  e.  A  |->  ( F `
 B ) ) ) )
29 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  |->  ( F `
 B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) )
3014, 29fmptd 5684 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) ) : A --> CC )
31 ax-resscn 8794 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  CC
32 ssid 3197 . . . . . . . . 9  |-  CC  C_  CC
33 cncfss 18403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( CC -cn-> RR )  C_  ( CC -cn-> CC ) )
3431, 32, 33mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( CC
-cn-> RR )  C_  ( CC -cn-> CC )
35 abscncf 18405 . . . . . . . 8  |-  abs  e.  ( CC -cn-> RR )
3634, 35sselii 3177 . . . . . . 7  |-  abs  e.  ( CC -cn-> CC )
3736a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  abs  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
38 cncombf 19013 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) : A --> CC  /\  abs  e.  ( CC -cn-> CC ) )  ->  ( abs  o.  ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) )  e. MblFn )
396, 30, 37, 38syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  (
x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) )  e. MblFn )
4028, 39eqeltrd 2357 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B
) ) ,  0 ) )  e. MblFn )
419, 11, 16, 20, 40mbfss 19001 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )  e. MblFn )
421, 41syl5eqel 2367 . 2  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
43 reex 8828 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  _V
4443a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
45 ifan 3604 . . . . . . . . . 10  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `
 B ) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )
46 0re 8838 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
47 ifcl 3601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  B
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 )  e.  RR )
483, 46, 47sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  e.  RR )
49 max1 10514 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( F `  B )  e.  RR )  -> 
0  <_  if (
0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )
5046, 3, 49sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 ) )
51 elrege0 10746 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo )  <->  ( if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  e.  RR  /\  0  <_  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ) )
5248, 50, 51sylanbrc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
53 0le0 9827 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  0
54 elrege0 10746 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR  /\  0  <_  0 ) )
5546, 53, 54mpbir2an 886 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ( 0 [,)  +oo )
5655a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
5752, 56ifclda 3592 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo )
)
5845, 57syl5eqel 2367 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
5958adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `
 B ) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
60 ifan 3604 . . . . . . . . . 10  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B )
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `
 B ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )
613renegcld 9210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u ( F `  B )  e.  RR )
62 ifcl 3601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u ( F `  B )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  e.  RR )
6361, 46, 62sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  e.  RR )
64 max1 10514 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u ( F `  B
)  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )
6546, 61, 64sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  B
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )
66 elrege0 10746 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo )  <->  ( if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  e.  RR  /\  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) )
6763, 65, 66sylanbrc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
6867, 56ifclda 3592 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `
 B ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
6960, 68syl5eqel 2367 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
7069adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B )
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
71 eqidd 2284 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B ) ) ,  ( F `  B
) ,  0 ) ) )
72 eqidd 2284 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) ) )
7344, 59, 70, 71, 72offval2 6095 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B ) ) ,  ( F `  B
) ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  +  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) ) ) )
7445, 60oveq12i 5870 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  +  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )
75 max0add 11795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  B )  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u ( F `
 B ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( abs `  ( F `
 B ) ) )
763, 75syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u ( F `
 B ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( abs `  ( F `
 B ) ) )
77 iftrue 3571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )
7877adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )
79 iftrue 3571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )
8079adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )
8178, 80oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  ( if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u ( F `
 B ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) ) )
8276, 81, 133eqtr4d 2325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )
8382ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  ( if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) ) )
84 00id 8987 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  0 )  =  0
85 iffalse 3572 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
86 iffalse 3572 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
8785, 86oveq12d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  ( 0  +  0 ) )
8884, 87, 193eqtr4a 2341 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )
8983, 88pm2.61d1 151 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )
9074, 89syl5eq 2327 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B ) ) ,  ( F `  B
) ,  0 )  +  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )
9190mpteq2dv 4107 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  ( if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  +  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) ) )
9273, 91eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B ) ) ,  ( F `  B
) ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) ) )
9392, 1syl6reqr 2334 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) ) )
9493fveq2d 5529 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  =  ( S.2 `  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B ) ) ,  ( F `  B
) ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) ) ) )
9558adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
9645, 85syl5eq 2327 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  =  0 )
9718, 96syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  if (
( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `
 B ) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  =  0 )
98 ibar 490 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  (
0  <_  ( F `  B )  <->  ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B
) ) ) )
9998ifbid 3583 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `
 B ) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )
10099mpteq2ia 4102 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B ) ) ,  ( F `  B
) ,  0 ) )
1013, 6mbfpos 19006 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 ) )  e. MblFn
)
102100, 101syl5eqelr 2368 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )  e. MblFn )
1039, 11, 95, 97, 102mbfss 19001 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )  e. MblFn )
104 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `
 B ) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )
10559, 104fmptd 5684 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
1065simp2d 968 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
10769adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
10860, 86syl5eq 2327 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  =  0 )
10918, 108syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  if (
( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B )
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  =  0 )
110 ibar 490 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  (
0  <_  -u ( F `
 B )  <->  ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( F `  B ) ) ) )
111110ifbid 3583 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B )
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )
112111mpteq2ia 4102 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( F `
 B ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )
1133, 6mbfneg 19005 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u ( F `  B ) )  e. MblFn
)
11461, 113mbfpos 19006 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  B
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )  e. MblFn )
115112, 114syl5eqelr 2368 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) )  e. MblFn )
1169, 11, 107, 109, 115mbfss 19001 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )  e. MblFn )
117 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B )
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) )
11870, 117fmptd 5684 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
1195simp3d 969 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
120103, 105, 106, 116, 118, 119itg2add 19114 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) ) ) )
12194, 120eqtrd 2315 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  =  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `
 B ) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) ) ) )
122106, 119readdcld 8862 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) ) )  e.  RR )
123121, 122eqeltrd 2357 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR )
12442, 123jca 518 1  |-  ( ph  ->  ( G  e. MblFn  /\  ( S.2 `  G )  e.  RR ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   ifcif 3565   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737    + caddc 8740    +oocpnf 8864    <_ cle 8868   -ucneg 9038   [,)cico 10658   abscabs 11719   -cn->ccncf 18380   volcvol 18823  MblFncmbf 18969   S.2citg2 18971   L ^1cibl 18972
This theorem is referenced by:  iblabs  19183
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-ovol 18824  df-vol 18825  df-mbf 18975  df-itg1 18976  df-itg2 18977  df-ibl 18978  df-0p 19025
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