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Theorem iblabslem 19711
Description: Lemma for iblabs 19712. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iblabs.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
iblabs.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
iblabs.3  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )
iblabs.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) )  e.  L ^1 )
iblabs.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  B )  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
iblabslem  |-  ( ph  ->  ( G  e. MblFn  /\  ( S.2 `  G )  e.  RR ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    F( x)    G( x)    V( x)

Proof of Theorem iblabslem
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iblabs.3 . . 3  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )
2 iblabs.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) )  e.  L ^1 )
3 iblabs.5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  B )  e.  RR )
43iblrelem 19674 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( F `  B ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B ) ) ,  ( F `  B
) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
52, 4mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B )
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
65simp1d 969 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) )  e. MblFn )
76, 3mbfdm2 19522 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
8 mblss 19419 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
97, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
10 rembl 19427 . . . . 5  |-  RR  e.  dom  vol
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  RR  e.  dom  vol )
12 iftrue 3737 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 )  =  ( abs `  ( F `  B )
) )
1312adantl 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 )  =  ( abs `  ( F `  B )
) )
143recnd 9106 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  B )  e.  CC )
1514abscld 12230 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( F `  B ) )  e.  RR )
1613, 15eqeltrd 2509 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 )  e.  RR )
17 eldifn 3462 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( RR  \  A )  ->  -.  x  e.  A )
1817adantl 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  -.  x  e.  A )
19 iffalse 3738 . . . . 5  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 )  =  0 )
2018, 19syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  if (
x  e.  A , 
( abs `  ( F `  B )
) ,  0 )  =  0 )
21 eqidd 2436 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) )
22 absf 12133 . . . . . . . . 9  |-  abs : CC
--> RR
2322a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  abs : CC --> RR )
2423feqmptd 5771 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  abs  =  ( y  e.  CC  |->  ( abs `  y ) ) )
25 fveq2 5720 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( F `  B )  ->  ( abs `  y )  =  ( abs `  ( F `  B )
) )
2614, 21, 24, 25fmptco 5893 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  (
x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( abs `  ( F `
 B ) ) ) )
2712mpteq2ia 4283 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  B
) ) )
2826, 27syl6reqr 2486 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B
) ) ,  0 ) )  =  ( abs  o.  ( x  e.  A  |->  ( F `
 B ) ) ) )
29 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  |->  ( F `
 B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) )
3014, 29fmptd 5885 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) ) : A --> CC )
31 ax-resscn 9039 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  CC
32 ssid 3359 . . . . . . . . 9  |-  CC  C_  CC
33 cncfss 18921 . . . . . . . . 9  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( CC -cn-> RR )  C_  ( CC -cn-> CC ) )
3431, 32, 33mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( CC
-cn-> RR )  C_  ( CC -cn-> CC )
35 abscncf 18923 . . . . . . . 8  |-  abs  e.  ( CC -cn-> RR )
3634, 35sselii 3337 . . . . . . 7  |-  abs  e.  ( CC -cn-> CC )
3736a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  abs  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
38 cncombf 19542 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  ( F `  B
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) : A --> CC  /\  abs  e.  ( CC -cn-> CC ) )  ->  ( abs  o.  ( x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) )  e. MblFn )
396, 30, 37, 38syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  (
x  e.  A  |->  ( F `  B ) ) )  e. MblFn )
4028, 39eqeltrd 2509 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B
) ) ,  0 ) )  e. MblFn )
419, 11, 16, 20, 40mbfss 19530 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )  e. MblFn )
421, 41syl5eqel 2519 . 2  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
43 reex 9073 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  _V
4443a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
45 ifan 3770 . . . . . . . . . 10  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `
 B ) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )
46 0re 9083 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
47 ifcl 3767 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  B
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 )  e.  RR )
483, 46, 47sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  e.  RR )
49 max1 10765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( F `  B )  e.  RR )  -> 
0  <_  if (
0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )
5046, 3, 49sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 ) )
51 elrege0 10999 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo )  <->  ( if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  e.  RR  /\  0  <_  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ) )
5248, 50, 51sylanbrc 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
53 0le0 10073 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  0
54 elrege0 10999 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR  /\  0  <_  0 ) )
5546, 53, 54mpbir2an 887 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ( 0 [,)  +oo )
5655a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
5752, 56ifclda 3758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo )
)
5845, 57syl5eqel 2519 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
5958adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `
 B ) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
60 ifan 3770 . . . . . . . . . 10  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B )
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `
 B ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )
613renegcld 9456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u ( F `  B )  e.  RR )
62 ifcl 3767 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u ( F `  B )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  e.  RR )
6361, 46, 62sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  e.  RR )
64 max1 10765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u ( F `  B
)  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )
6546, 61, 64sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  B
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )
66 elrege0 10999 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo )  <->  ( if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  e.  RR  /\  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) )
6763, 65, 66sylanbrc 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
6867, 56ifclda 3758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `
 B ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
6960, 68syl5eqel 2519 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
7069adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B )
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
71 eqidd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B ) ) ,  ( F `  B
) ,  0 ) ) )
72 eqidd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) ) )
7344, 59, 70, 71, 72offval2 6314 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B ) ) ,  ( F `  B
) ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  +  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) ) ) )
7445, 60oveq12i 6085 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  +  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )
75 max0add 12107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  B )  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u ( F `
 B ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( abs `  ( F `
 B ) ) )
763, 75syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u ( F `
 B ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( abs `  ( F `
 B ) ) )
77 iftrue 3737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )
7877adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )
79 iftrue 3737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )
8079adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )
8178, 80oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  ( if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u ( F `
 B ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) ) )
8276, 81, 133eqtr4d 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )
8382ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  ( if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) ) )
84 00id 9233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  0 )  =  0
85 iffalse 3738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
86 iffalse 3738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
8785, 86oveq12d 6091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  ( 0  +  0 ) )
8884, 87, 193eqtr4a 2493 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )
8983, 88pm2.61d1 153 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )
9074, 89syl5eq 2479 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B ) ) ,  ( F `  B
) ,  0 )  +  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) )
9190mpteq2dv 4288 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  ( if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  +  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) ) )
9273, 91eqtrd 2467 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B ) ) ,  ( F `  B
) ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( F `  B )
) ,  0 ) ) )
9392, 1syl6reqr 2486 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) ) )
9493fveq2d 5724 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  =  ( S.2 `  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B ) ) ,  ( F `  B
) ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) ) ) )
9558adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
9645, 85syl5eq 2479 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  =  0 )
9718, 96syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  if (
( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `
 B ) ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  =  0 )
98 ibar 491 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  (
0  <_  ( F `  B )  <->  ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B
) ) ) )
9998ifbid 3749 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `
 B ) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )
10099mpteq2ia 4283 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  ( F `  B ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B ) ) ,  ( F `  B
) ,  0 ) )
1013, 6mbfpos 19535 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_ 
( F `  B
) ,  ( F `
 B ) ,  0 ) )  e. MblFn
)
102100, 101syl5eqelr 2520 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )  e. MblFn )
1039, 11, 95, 97, 102mbfss 19530 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )  e. MblFn )
104 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `
 B ) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )
10559, 104fmptd 5885 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
1065simp2d 970 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
10769adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
10860, 86syl5eq 2479 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  =  0 )
10918, 108syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  if (
( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B )
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  =  0 )
110 ibar 491 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  (
0  <_  -u ( F `
 B )  <->  ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( F `  B ) ) ) )
111110ifbid 3749 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  if ( 0  <_  -u ( F `  B ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B )
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )
112111mpteq2ia 4283 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( F `
 B ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )
1133, 6mbfneg 19534 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u ( F `  B ) )  e. MblFn
)
11461, 113mbfpos 19535 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  B
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )  e. MblFn )
115112, 114syl5eqelr 2520 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) )  e. MblFn )
1169, 11, 107, 109, 115mbfss 19530 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )  e. MblFn )
117 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B )
) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B ) ) , 
-u ( F `  B ) ,  0 ) )
11870, 117fmptd 5885 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
1195simp3d 971 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
120103, 105, 106, 116, 118, 119itg2add 19643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) ) ) )
12194, 120eqtrd 2467 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  =  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( F `
 B ) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) ) ) )
122106, 119readdcld 9107 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( F `  B
) ) ,  ( F `  B ) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( F `  B
) ) ,  -u ( F `  B ) ,  0 ) ) ) )  e.  RR )
123121, 122eqeltrd 2509 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR )
12442, 123jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( G  e. MblFn  /\  ( S.2 `  G )  e.  RR ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    C_ wss 3312   ifcif 3731   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   dom cdm 4870    o. ccom 4874   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    o Fcof 6295   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982    + caddc 8985    +oocpnf 9109    <_ cle 9113   -ucneg 9284   [,)cico 10910   abscabs 12031   -cn->ccncf 18898   volcvol 19352  MblFncmbf 19498   S.2citg2 19500   L ^1cibl 19501
This theorem is referenced by:  iblabs  19712
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cc 8307  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-ofr 6298  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-acn 7821  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ioc 10913  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-cmp 17442  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cncf 18900  df-ovol 19353  df-vol 19354  df-mbf 19504  df-itg1 19505  df-itg2 19506  df-ibl 19507  df-0p 19554
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