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Theorem iblabsr 19282
Description: A measurable function is integrable iff its absolute value is integrable. (See iblabs 19281 for the forward implication.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iblabsr.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
iblabsr.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
iblabsr.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  L ^1 )
Assertion
Ref Expression
iblabsr  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x    x, V
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem iblabsr
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iblabsr.2 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
2 ifan 3680 . . . . . . 7  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )
3 iblabsr.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
41, 3mbfmptcl 19090 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
54adantlr 695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
6 elfzelz 10887 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  ZZ )
76ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  k  e.  ZZ )
8 ax-icn 8883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  _i  e.  CC
9 ine0 9302 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  _i  =/=  0
10 expclz 11218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
118, 9, 10mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
127, 11syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
13 expne0i 11224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
148, 9, 13mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
157, 14syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
165, 12, 15divcld 9623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( B  /  ( _i ^
k ) )  e.  CC )
1716recld 11769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR )
18 0re 8925 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
19 ifcl 3677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR )
2017, 18, 19sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR )
2120rexrd 8968 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR* )
22 max1 10603 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR )  -> 
0  <_  if (
0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
2318, 17, 22sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )
24 elxrge0 10836 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( 0  <_  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo )  <->  ( if ( 0  <_  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR*  /\  0  <_  if ( 0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )
2521, 23, 24sylanbrc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
26 0xr 8965 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR*
27 0le0 9914 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  0
28 elxrge0 10836 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR*  /\  0  <_  0 ) )
2926, 27, 28mpbir2an 886 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ( 0 [,]  +oo )
3029a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
3125, 30ifclda 3668 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
322, 31syl5eqel 2442 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
3332adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
34 eqid 2358 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
3533, 34fmptd 5764 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] 
+oo ) )
36 iblabsr.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  L ^1 )
374abscld 12008 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
384absge0d 12016 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( abs `  B
) )
3937, 38iblpos 19245 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  L ^1 
<->  ( ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
4036, 39mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
4140simprd 449 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
4241adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
4337rexrd 8968 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e. 
RR* )
44 elxrge0 10836 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs `  B )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( ( abs `  B )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( abs `  B ) ) )
4543, 38, 44sylanbrc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
4629a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
4745, 46ifclda 3668 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
4847adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
49 eqid 2358 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) )
5048, 49fmptd 5764 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
5150adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
5216releabsd 12023 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  <_  ( abs `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) )
535, 12, 15absdivd 12027 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( B  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( ( abs `  B
)  /  ( abs `  ( _i ^ k
) ) ) )
54 elfznn0 10911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  NN0 )
5554ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  k  e.  NN0 )
56 absexp 11879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( abs `  (
_i ^ k ) )  =  ( ( abs `  _i ) ^ k ) )
578, 55, 56sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( _i ^
k ) )  =  ( ( abs `  _i ) ^ k ) )
58 absi 11861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( abs `  _i )  =  1
5958oveq1i 5952 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( abs `  _i ) ^ k )  =  ( 1 ^ k
)
60 1exp 11221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
1 ^ k )  =  1 )
617, 60syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
1 ^ k )  =  1 )
6259, 61syl5eq 2402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  _i ) ^ k )  =  1 )
6357, 62eqtrd 2390 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( _i ^
k ) )  =  1 )
6463oveq2d 5958 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  B
)  /  ( abs `  ( _i ^ k
) ) )  =  ( ( abs `  B
)  /  1 ) )
6537recnd 8948 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  CC )
6665adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  CC )
6766div1d 9615 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  B
)  /  1 )  =  ( abs `  B
) )
6864, 67eqtrd 2390 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  B
)  /  ( abs `  ( _i ^ k
) ) )  =  ( abs `  B
) )
6953, 68eqtrd 2390 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( B  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( abs `  B
) )
7052, 69breqtrd 4126 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  <_  ( abs `  B
) )
715absge0d 12016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( abs `  B
) )
72 breq1 4105 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  -> 
( ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) )  <_  ( abs `  B )  <->  if (
0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  <_ 
( abs `  B
) ) )
73 breq1 4105 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  -> 
( 0  <_  ( abs `  B )  <->  if (
0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  <_ 
( abs `  B
) ) )
7472, 73ifboth 3672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  <_  ( abs `  B
)  /\  0  <_  ( abs `  B ) )  ->  if (
0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  <_ 
( abs `  B
) )
7570, 71, 74syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  <_  ( abs `  B ) )
76 iftrue 3647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
7776adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
78 iftrue 3647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  =  ( abs `  B
) )
7978adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  =  ( abs `  B
) )
8075, 77, 793brtr4d 4132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) )
8180ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) )
8227a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
0  <_  0 )
83 iffalse 3648 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
84 iffalse 3648 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  =  0 )
8582, 83, 843brtr4d 4132 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) )
8681, 85pm2.61d1 151 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) )
872, 86syl5eqbr 4135 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) )
8887ralrimivw 2703 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) )
89 reex 8915 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  _V
9089a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  RR  e.  _V )
9143adantlr 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e. 
RR* )
9291, 71, 44sylanbrc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
9392, 30ifclda 3668 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
9493adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
95 eqidd 2359 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
96 eqidd 2359 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) )
9790, 33, 94, 95, 96ofrfval2 6180 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  o R  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) )  <->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) )
9888, 97mpbird 223 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  o R  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) )
99 itg2le 19192 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] 
+oo )  /\  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  o R  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) ) )
10035, 51, 98, 99syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) ) )
101 itg2lecl 19191 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] 
+oo )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
10235, 42, 100, 101syl3anc 1182 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
103102ralrimiva 2702 . 2  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
104 eqidd 2359 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
105 eqidd 2359 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) )
106104, 105, 3isibl2 19219 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
1071, 103, 106mpbir2and 888 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521   A.wral 2619   _Vcvv 2864   ifcif 3641   class class class wbr 4102    e. cmpt 4156   -->wf 5330   ` cfv 5334  (class class class)co 5942    o Rcofr 6161   CCcc 8822   RRcr 8823   0cc0 8824   1c1 8825   _ici 8826    +oocpnf 8951   RR*cxr 8953    <_ cle 8955    / cdiv 9510   3c3 9883   NN0cn0 10054   ZZcz 10113   [,]cicc 10748   ...cfz 10871   ^cexp 11194   Recre 11672   abscabs 11809  MblFncmbf 19067   S.2citg2 19069   L ^1cibl 19070
This theorem is referenced by:  bddmulibl  19291
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-inf2 7429  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901  ax-pre-sup 8902  ax-addf 8903
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-disj 4073  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-se 4432  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-isom 5343  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-of 6162  df-ofr 6163  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-2o 6564  df-oadd 6567  df-er 6744  df-map 6859  df-pm 6860  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-sup 7281  df-oi 7312  df-card 7659  df-cda 7881  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-div 9511  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-n0 10055  df-z 10114  df-uz 10320  df-q 10406  df-rp 10444  df-xadd 10542  df-ioo 10749  df-ico 10751  df-icc 10752  df-fz 10872  df-fzo 10960  df-fl 11014  df-seq 11136  df-exp 11195  df-hash 11428  df-cj 11674  df-re 11675  df-im 11676  df-sqr 11810  df-abs 11811  df-clim 12052  df-sum 12250  df-xmet 16469  df-met 16470  df-ovol 18922  df-vol 18923  df-mbf 19073  df-itg1 19074  df-itg2 19075  df-ibl 19076  df-0p 19123
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