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Theorem iblabsr 19724
Description: A measurable function is integrable iff its absolute value is integrable. (See iblabs 19723 for the forward implication.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iblabsr.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
iblabsr.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
iblabsr.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  L ^1 )
Assertion
Ref Expression
iblabsr  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x    x, V
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem iblabsr
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iblabsr.2 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
2 ifan 3780 . . . . . . 7  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )
3 iblabsr.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
41, 3mbfmptcl 19532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
54adantlr 697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
6 elfzelz 11064 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  ZZ )
76ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  k  e.  ZZ )
8 ax-icn 9054 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  _i  e.  CC
9 ine0 9474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  _i  =/=  0
10 expclz 11411 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
118, 9, 10mp3an12 1270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
127, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
13 expne0i 11417 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
148, 9, 13mp3an12 1270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
157, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
165, 12, 15divcld 9795 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( B  /  ( _i ^
k ) )  e.  CC )
1716recld 12004 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR )
18 0re 9096 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
19 ifcl 3777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR )
2017, 18, 19sylancl 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR )
2120rexrd 9139 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR* )
22 max1 10778 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR )  -> 
0  <_  if (
0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
2318, 17, 22sylancr 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )
24 elxrge0 11013 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( 0  <_  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo )  <->  ( if ( 0  <_  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR*  /\  0  <_  if ( 0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )
2521, 23, 24sylanbrc 647 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
26 0xr 9136 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR*
27 0le0 10086 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  0
28 elxrge0 11013 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR*  /\  0  <_  0 ) )
2926, 27, 28mpbir2an 888 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ( 0 [,]  +oo )
3029a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
3125, 30ifclda 3768 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
322, 31syl5eqel 2522 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
3332adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
34 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
3533, 34fmptd 5896 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] 
+oo ) )
36 iblabsr.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  L ^1 )
374abscld 12243 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
384absge0d 12251 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( abs `  B
) )
3937, 38iblpos 19687 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  L ^1 
<->  ( ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
4036, 39mpbid 203 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
4140simprd 451 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
4241adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
4337rexrd 9139 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e. 
RR* )
44 elxrge0 11013 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs `  B )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( ( abs `  B )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( abs `  B ) ) )
4543, 38, 44sylanbrc 647 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
4629a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
4745, 46ifclda 3768 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
4847adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
49 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) )
5048, 49fmptd 5896 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
5150adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
5216releabsd 12258 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  <_  ( abs `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) )
535, 12, 15absdivd 12262 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( B  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( ( abs `  B
)  /  ( abs `  ( _i ^ k
) ) ) )
54 elfznn0 11088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  NN0 )
5554ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  k  e.  NN0 )
56 absexp 12114 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( abs `  (
_i ^ k ) )  =  ( ( abs `  _i ) ^ k ) )
578, 55, 56sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( _i ^
k ) )  =  ( ( abs `  _i ) ^ k ) )
58 absi 12096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( abs `  _i )  =  1
5958oveq1i 6094 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( abs `  _i ) ^ k )  =  ( 1 ^ k
)
60 1exp 11414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
1 ^ k )  =  1 )
617, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
1 ^ k )  =  1 )
6259, 61syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  _i ) ^ k )  =  1 )
6357, 62eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( _i ^
k ) )  =  1 )
6463oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  B
)  /  ( abs `  ( _i ^ k
) ) )  =  ( ( abs `  B
)  /  1 ) )
6537recnd 9119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  CC )
6665adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  CC )
6766div1d 9787 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  B
)  /  1 )  =  ( abs `  B
) )
6864, 67eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  B
)  /  ( abs `  ( _i ^ k
) ) )  =  ( abs `  B
) )
6953, 68eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( B  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( abs `  B
) )
7052, 69breqtrd 4239 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  <_  ( abs `  B
) )
715absge0d 12251 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( abs `  B
) )
72 breq1 4218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  -> 
( ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) )  <_  ( abs `  B )  <->  if (
0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  <_ 
( abs `  B
) ) )
73 breq1 4218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  -> 
( 0  <_  ( abs `  B )  <->  if (
0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  <_ 
( abs `  B
) ) )
7472, 73ifboth 3772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  <_  ( abs `  B
)  /\  0  <_  ( abs `  B ) )  ->  if (
0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  <_ 
( abs `  B
) )
7570, 71, 74syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  <_  ( abs `  B ) )
76 iftrue 3747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
7776adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
78 iftrue 3747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  =  ( abs `  B
) )
7978adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  =  ( abs `  B
) )
8075, 77, 793brtr4d 4245 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) )
8180ex 425 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) )
8227a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
0  <_  0 )
83 iffalse 3748 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
84 iffalse 3748 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  =  0 )
8582, 83, 843brtr4d 4245 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) )
8681, 85pm2.61d1 154 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) )
872, 86syl5eqbr 4248 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) )
8887ralrimivw 2792 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) )
89 reex 9086 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  _V
9089a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  RR  e.  _V )
9143adantlr 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e. 
RR* )
9291, 71, 44sylanbrc 647 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
9392, 30ifclda 3768 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
9493adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
95 eqidd 2439 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
96 eqidd 2439 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) )
9790, 33, 94, 95, 96ofrfval2 6326 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  o R  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) )  <->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) )
9888, 97mpbird 225 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  o R  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) )
99 itg2le 19634 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] 
+oo )  /\  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  o R  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) ) )
10035, 51, 98, 99syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) ) )
101 itg2lecl 19633 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] 
+oo )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
10235, 42, 100, 101syl3anc 1185 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
103102ralrimiva 2791 . 2  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
104 eqidd 2439 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
105 eqidd 2439 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) )
106104, 105, 3isibl2 19661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
1071, 103, 106mpbir2and 890 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   _Vcvv 2958   ifcif 3741   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    o Rcofr 6307   CCcc 8993   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996   _ici 8997    +oocpnf 9122   RR*cxr 9124    <_ cle 9126    / cdiv 9682   3c3 10055   NN0cn0 10226   ZZcz 10287   [,]cicc 10924   ...cfz 11048   ^cexp 11387   Recre 11907   abscabs 12044  MblFncmbf 19511   S.2citg2 19513   L ^1cibl 19514
This theorem is referenced by:  bddmulibl  19733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-disj 4186  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-ofr 6309  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xadd 10716  df-ioo 10925  df-ico 10927  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-sum 12485  df-xmet 16700  df-met 16701  df-ovol 19366  df-vol 19367  df-mbf 19516  df-itg1 19517  df-itg2 19518  df-ibl 19519  df-0p 19565
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