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Theorem iblabsr 19682
Description: A measurable function is integrable iff its absolute value is integrable. (See iblabs 19681 for the forward implication.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iblabsr.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
iblabsr.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
iblabsr.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  L ^1 )
Assertion
Ref Expression
iblabsr  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x    x, V
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem iblabsr
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iblabsr.2 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
2 ifan 3746 . . . . . . 7  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )
3 iblabsr.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
41, 3mbfmptcl 19490 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
54adantlr 696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
6 elfzelz 11023 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  ZZ )
76ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  k  e.  ZZ )
8 ax-icn 9013 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  _i  e.  CC
9 ine0 9433 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  _i  =/=  0
10 expclz 11369 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
118, 9, 10mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
127, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
13 expne0i 11375 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
148, 9, 13mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
157, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
165, 12, 15divcld 9754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( B  /  ( _i ^
k ) )  e.  CC )
1716recld 11962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR )
18 0re 9055 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
19 ifcl 3743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR )
2017, 18, 19sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR )
2120rexrd 9098 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR* )
22 max1 10737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR )  -> 
0  <_  if (
0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
2318, 17, 22sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )
24 elxrge0 10972 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( 0  <_  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo )  <->  ( if ( 0  <_  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR*  /\  0  <_  if ( 0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )
2521, 23, 24sylanbrc 646 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
26 0xr 9095 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR*
27 0le0 10045 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  0
28 elxrge0 10972 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR*  /\  0  <_  0 ) )
2926, 27, 28mpbir2an 887 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ( 0 [,]  +oo )
3029a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
3125, 30ifclda 3734 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
322, 31syl5eqel 2496 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
3332adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
34 eqid 2412 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
3533, 34fmptd 5860 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] 
+oo ) )
36 iblabsr.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  L ^1 )
374abscld 12201 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
384absge0d 12209 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( abs `  B
) )
3937, 38iblpos 19645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  L ^1 
<->  ( ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
4036, 39mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
4140simprd 450 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
4241adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
4337rexrd 9098 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e. 
RR* )
44 elxrge0 10972 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs `  B )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( ( abs `  B )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( abs `  B ) ) )
4543, 38, 44sylanbrc 646 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
4629a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
4745, 46ifclda 3734 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
4847adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
49 eqid 2412 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) )
5048, 49fmptd 5860 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
5150adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
5216releabsd 12216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  <_  ( abs `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) )
535, 12, 15absdivd 12220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( B  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( ( abs `  B
)  /  ( abs `  ( _i ^ k
) ) ) )
54 elfznn0 11047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  NN0 )
5554ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  k  e.  NN0 )
56 absexp 12072 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( abs `  (
_i ^ k ) )  =  ( ( abs `  _i ) ^ k ) )
578, 55, 56sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( _i ^
k ) )  =  ( ( abs `  _i ) ^ k ) )
58 absi 12054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( abs `  _i )  =  1
5958oveq1i 6058 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( abs `  _i ) ^ k )  =  ( 1 ^ k
)
60 1exp 11372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
1 ^ k )  =  1 )
617, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
1 ^ k )  =  1 )
6259, 61syl5eq 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  _i ) ^ k )  =  1 )
6357, 62eqtrd 2444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( _i ^
k ) )  =  1 )
6463oveq2d 6064 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  B
)  /  ( abs `  ( _i ^ k
) ) )  =  ( ( abs `  B
)  /  1 ) )
6537recnd 9078 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  CC )
6665adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  CC )
6766div1d 9746 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  B
)  /  1 )  =  ( abs `  B
) )
6864, 67eqtrd 2444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  B
)  /  ( abs `  ( _i ^ k
) ) )  =  ( abs `  B
) )
6953, 68eqtrd 2444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( B  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( abs `  B
) )
7052, 69breqtrd 4204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  <_  ( abs `  B
) )
715absge0d 12209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( abs `  B
) )
72 breq1 4183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  -> 
( ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) )  <_  ( abs `  B )  <->  if (
0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  <_ 
( abs `  B
) ) )
73 breq1 4183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  -> 
( 0  <_  ( abs `  B )  <->  if (
0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  <_ 
( abs `  B
) ) )
7472, 73ifboth 3738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  <_  ( abs `  B
)  /\  0  <_  ( abs `  B ) )  ->  if (
0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  <_ 
( abs `  B
) )
7570, 71, 74syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  <_  ( abs `  B ) )
76 iftrue 3713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
7776adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
78 iftrue 3713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  =  ( abs `  B
) )
7978adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  =  ( abs `  B
) )
8075, 77, 793brtr4d 4210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) )
8180ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) )
8227a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
0  <_  0 )
83 iffalse 3714 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
84 iffalse 3714 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  =  0 )
8582, 83, 843brtr4d 4210 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) )
8681, 85pm2.61d1 153 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) )
872, 86syl5eqbr 4213 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) )
8887ralrimivw 2758 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) )
89 reex 9045 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  _V
9089a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  RR  e.  _V )
9143adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e. 
RR* )
9291, 71, 44sylanbrc 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
9392, 30ifclda 3734 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
9493adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
95 eqidd 2413 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
96 eqidd 2413 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) )
9790, 33, 94, 95, 96ofrfval2 6290 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  o R  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) )  <->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) )
9888, 97mpbird 224 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  o R  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) )
99 itg2le 19592 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] 
+oo )  /\  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  o R  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) ) )
10035, 51, 98, 99syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) ) )
101 itg2lecl 19591 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] 
+oo )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
10235, 42, 100, 101syl3anc 1184 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
103102ralrimiva 2757 . 2  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
104 eqidd 2413 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
105 eqidd 2413 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) )
106104, 105, 3isibl2 19619 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
1071, 103, 106mpbir2and 889 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   A.wral 2674   _Vcvv 2924   ifcif 3707   class class class wbr 4180    e. cmpt 4234   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048    o Rcofr 6271   CCcc 8952   RRcr 8953   0cc0 8954   1c1 8955   _ici 8956    +oocpnf 9081   RR*cxr 9083    <_ cle 9085    / cdiv 9641   3c3 10014   NN0cn0 10185   ZZcz 10246   [,]cicc 10883   ...cfz 11007   ^cexp 11345   Recre 11865   abscabs 12002  MblFncmbf 19467   S.2citg2 19469   L ^1cibl 19470
This theorem is referenced by:  bddmulibl  19691
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032  ax-addf 9033
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-disj 4151  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-ofr 6273  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-cda 8012  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xadd 10675  df-ioo 10884  df-ico 10886  df-icc 10887  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-fl 11165  df-seq 11287  df-exp 11346  df-hash 11582  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-clim 12245  df-sum 12443  df-xmet 16658  df-met 16659  df-ovol 19322  df-vol 19323  df-mbf 19473  df-itg1 19474  df-itg2 19475  df-ibl 19476  df-0p 19523
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