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Theorem ibladd 19704
Description: Add two integrals over the same domain. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgadd.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgadd.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
itgadd.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
itgadd.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )
Assertion
Ref Expression
ibladd  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e.  L ^1 )
Distinct variable groups:    x, A    x, V    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem ibladd
StepHypRef Expression
1 itgadd.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
2 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
3 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
4 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
5 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B
) ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B
) ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
6 itgadd.1 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
72, 3, 4, 5, 6iblcnlem 19672 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  B ) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  B )
) ,  -u (
Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) ) )
81, 7mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  B )
) ,  -u (
Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  B )
) ,  -u (
Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
98simp1d 969 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
109, 6mbfdm2 19522 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
11 itgadd.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
12 eqidd 2436 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
13 eqidd 2436 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
1410, 6, 11, 12, 13offval2 6314 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  o F  +  ( x  e.  A  |->  C ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )
15 itgadd.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )
16 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  C
) ) ,  ( Re `  C ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  C
) ) ,  ( Re `  C ) ,  0 ) ) )
17 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  C
) ) ,  -u ( Re `  C ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  C
) ) ,  -u ( Re `  C ) ,  0 ) ) )
18 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  C
) ) ,  ( Im `  C ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  C
) ) ,  ( Im `  C ) ,  0 ) ) )
19 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  C
) ) ,  -u ( Im `  C ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  C
) ) ,  -u ( Im `  C ) ,  0 ) ) )
2016, 17, 18, 19, 11iblcnlem 19672 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  C ) ) ,  ( Re `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  C
) ) ,  -u ( Re `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  C
) ) ,  ( Im `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  C )
) ,  -u (
Im `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) ) )
2115, 20mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  C
) ) ,  ( Re `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  C )
) ,  -u (
Re `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  C
) ) ,  ( Im `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  C )
) ,  -u (
Im `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
2221simp1d 969 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
239, 22mbfadd 19545 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  o F  +  ( x  e.  A  |->  C ) )  e. MblFn )
2414, 23eqeltrrd 2510 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e. MblFn )
259, 6mbfmptcl 19521 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
2625recld 11991 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
2722, 11mbfmptcl 19521 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
2827recld 11991 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  C )  e.  RR )
2925, 27readdd 12011 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( B  +  C ) )  =  ( ( Re `  B )  +  ( Re `  C ) ) )
3025ismbfcn2 19523 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  <->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e. MblFn ) ) )
319, 30mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  e. MblFn )
)
3231simpld 446 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e. MblFn )
3327ismbfcn2 19523 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  <->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  C
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  C ) )  e. MblFn ) ) )
3422, 33mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  C ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  C
) )  e. MblFn )
)
3534simpld 446 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  C
) )  e. MblFn )
368simp2d 970 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  B )
) ,  -u (
Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
3736simpld 446 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
3821simp2d 970 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  C
) ) ,  ( Re `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  C )
) ,  -u (
Re `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
3938simpld 446 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  C
) ) ,  ( Re `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
4026, 28, 29, 32, 35, 37, 39ibladdlem 19703 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  +  C )
) ) ,  ( Re `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
4126renegcld 9456 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Re `  B )  e.  RR )
4228renegcld 9456 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Re `  C )  e.  RR )
4329negeqd 9292 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Re `  ( B  +  C ) )  = 
-u ( ( Re
`  B )  +  ( Re `  C
) ) )
4426recnd 9106 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  CC )
4528recnd 9106 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  C )  e.  CC )
4644, 45negdid 9416 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
( Re `  B
)  +  ( Re
`  C ) )  =  ( -u (
Re `  B )  +  -u ( Re `  C ) ) )
4743, 46eqtrd 2467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Re `  ( B  +  C ) )  =  ( -u ( Re
`  B )  + 
-u ( Re `  C ) ) )
4826, 32mbfneg 19534 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u ( Re `  B ) )  e. MblFn
)
4928, 35mbfneg 19534 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u ( Re `  C ) )  e. MblFn
)
5036simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
5138simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  C
) ) ,  -u ( Re `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
5241, 42, 47, 48, 49, 50, 51ibladdlem 19703 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  ( B  +  C )
) ) ,  -u ( Re `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
5340, 52jca 519 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  +  C )
) ) ,  ( Re `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  ( B  +  C ) ) ) ,  -u ( Re `  ( B  +  C
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
5425imcld 11992 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
5527imcld 11992 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  C )  e.  RR )
5625, 27imaddd 12012 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  ( B  +  C ) )  =  ( ( Im `  B )  +  ( Im `  C ) ) )
5731simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  e. MblFn )
5834simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  C
) )  e. MblFn )
598simp3d 971 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  B )
) ,  -u (
Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
6059simpld 446 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
6121simp3d 971 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  C
) ) ,  ( Im `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  C )
) ,  -u (
Im `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
6261simpld 446 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  C
) ) ,  ( Im `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
6354, 55, 56, 57, 58, 60, 62ibladdlem 19703 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  ( B  +  C )
) ) ,  ( Im `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
6454renegcld 9456 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Im `  B )  e.  RR )
6555renegcld 9456 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Im `  C )  e.  RR )
6656negeqd 9292 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Im `  ( B  +  C ) )  = 
-u ( ( Im
`  B )  +  ( Im `  C
) ) )
6754recnd 9106 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  CC )
6855recnd 9106 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  C )  e.  CC )
6967, 68negdid 9416 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
( Im `  B
)  +  ( Im
`  C ) )  =  ( -u (
Im `  B )  +  -u ( Im `  C ) ) )
7066, 69eqtrd 2467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Im `  ( B  +  C ) )  =  ( -u ( Im
`  B )  + 
-u ( Im `  C ) ) )
7154, 57mbfneg 19534 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u ( Im `  B ) )  e. MblFn
)
7255, 58mbfneg 19534 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u ( Im `  C ) )  e. MblFn
)
7359simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B
) ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
7461simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  C
) ) ,  -u ( Im `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
7564, 65, 70, 71, 72, 73, 74ibladdlem 19703 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  ( B  +  C )
) ) ,  -u ( Im `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
7663, 75jca 519 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  ( B  +  C )
) ) ,  ( Im `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  ( B  +  C ) ) ) ,  -u ( Im `  ( B  +  C
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
77 eqid 2435 . . 3  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  +  C )
) ) ,  ( Re `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  +  C )
) ) ,  ( Re `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )
78 eqid 2435 . . 3  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  ( B  +  C )
) ) ,  -u ( Re `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  ( B  +  C )
) ) ,  -u ( Re `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )
79 eqid 2435 . . 3  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  ( B  +  C )
) ) ,  ( Im `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  ( B  +  C )
) ) ,  ( Im `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )
80 eqid 2435 . . 3  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  ( B  +  C )
) ) ,  -u ( Im `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  ( B  +  C )
) ) ,  -u ( Im `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )
81 ovex 6098 . . . 4  |-  ( B  +  C )  e. 
_V
8281a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  +  C )  e.  _V )
8377, 78, 79, 80, 82iblcnlem 19672 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  e. MblFn  /\  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  +  C ) ) ) ,  ( Re `  ( B  +  C
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  ( B  +  C )
) ) ,  -u ( Re `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  ( B  +  C )
) ) ,  ( Im `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  ( B  +  C ) ) ) ,  -u ( Im `  ( B  +  C
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) ) )
8424, 53, 76, 83mpbir3and 1137 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e.  L ^1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1725   _Vcvv 2948   ifcif 3731   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   dom cdm 4870   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    o Fcof 6295   RRcr 8981   0cc0 8982    + caddc 8985    <_ cle 9113   -ucneg 9284   Recre 11894   Imcim 11895   volcvol 19352  MblFncmbf 19498   S.2citg2 19500   L ^1cibl 19501
This theorem is referenced by:  iblsub  19705  itgaddlem1  19706  itgaddlem2  19707  itgadd  19708  itgfsum  19710  itgparts  19923
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cc 8307  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-ofr 6298  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-acn 7821  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ioc 10913  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-rest 13642  df-topgen 13659  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-cmp 17442  df-ovol 19353  df-vol 19354  df-mbf 19504  df-itg1 19505  df-itg2 19506  df-ibl 19507  df-0p 19554
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