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Theorem ibladd 19175
Description: Add two integrals over the same domain. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgadd.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgadd.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
itgadd.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
itgadd.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )
Assertion
Ref Expression
ibladd  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e.  L ^1 )
Distinct variable groups:    x, A    x, V    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem ibladd
StepHypRef Expression
1 itgadd.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
2 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
3 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
4 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
5 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B
) ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B
) ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
6 itgadd.1 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
72, 3, 4, 5, 6iblcnlem 19143 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  B ) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  B )
) ,  -u (
Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) ) )
81, 7mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  B )
) ,  -u (
Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  B )
) ,  -u (
Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
98simp1d 967 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
109, 6mbfdm2 18993 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
11 itgadd.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
12 eqidd 2284 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
13 eqidd 2284 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
1410, 6, 11, 12, 13offval2 6095 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  o F  +  ( x  e.  A  |->  C ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) )
15 itgadd.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )
16 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  C
) ) ,  ( Re `  C ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  C
) ) ,  ( Re `  C ) ,  0 ) ) )
17 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  C
) ) ,  -u ( Re `  C ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  C
) ) ,  -u ( Re `  C ) ,  0 ) ) )
18 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  C
) ) ,  ( Im `  C ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  C
) ) ,  ( Im `  C ) ,  0 ) ) )
19 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  C
) ) ,  -u ( Im `  C ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  C
) ) ,  -u ( Im `  C ) ,  0 ) ) )
2016, 17, 18, 19, 11iblcnlem 19143 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  C ) ) ,  ( Re `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  C
) ) ,  -u ( Re `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  C
) ) ,  ( Im `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  C )
) ,  -u (
Im `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) ) )
2115, 20mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  C
) ) ,  ( Re `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  C )
) ,  -u (
Re `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  C
) ) ,  ( Im `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  C )
) ,  -u (
Im `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
2221simp1d 967 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
239, 22mbfadd 19016 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  o F  +  ( x  e.  A  |->  C ) )  e. MblFn )
2414, 23eqeltrrd 2358 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e. MblFn )
259, 6mbfmptcl 18992 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
2625recld 11679 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
2722, 11mbfmptcl 18992 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
2827recld 11679 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  C )  e.  RR )
2925, 27readdd 11699 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( B  +  C ) )  =  ( ( Re `  B )  +  ( Re `  C ) ) )
3025ismbfcn2 18994 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  <->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e. MblFn ) ) )
319, 30mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  e. MblFn )
)
3231simpld 445 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e. MblFn )
3327ismbfcn2 18994 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  <->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  C
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  C ) )  e. MblFn ) ) )
3422, 33mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  C ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  C
) )  e. MblFn )
)
3534simpld 445 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  C
) )  e. MblFn )
368simp2d 968 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  B )
) ,  -u (
Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
3736simpld 445 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
3821simp2d 968 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  C
) ) ,  ( Re `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  C )
) ,  -u (
Re `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
3938simpld 445 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  C
) ) ,  ( Re `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
4026, 28, 29, 32, 35, 37, 39ibladdlem 19174 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  +  C )
) ) ,  ( Re `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
4126renegcld 9210 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Re `  B )  e.  RR )
4228renegcld 9210 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Re `  C )  e.  RR )
4329negeqd 9046 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Re `  ( B  +  C ) )  = 
-u ( ( Re
`  B )  +  ( Re `  C
) ) )
4426recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  CC )
4528recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  C )  e.  CC )
4644, 45negdid 9170 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
( Re `  B
)  +  ( Re
`  C ) )  =  ( -u (
Re `  B )  +  -u ( Re `  C ) ) )
4743, 46eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Re `  ( B  +  C ) )  =  ( -u ( Re
`  B )  + 
-u ( Re `  C ) ) )
4826, 32mbfneg 19005 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u ( Re `  B ) )  e. MblFn
)
4928, 35mbfneg 19005 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u ( Re `  C ) )  e. MblFn
)
5036simprd 449 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
5138simprd 449 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  C
) ) ,  -u ( Re `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
5241, 42, 47, 48, 49, 50, 51ibladdlem 19174 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  ( B  +  C )
) ) ,  -u ( Re `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
5340, 52jca 518 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  +  C )
) ) ,  ( Re `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  ( B  +  C ) ) ) ,  -u ( Re `  ( B  +  C
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
5425imcld 11680 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
5527imcld 11680 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  C )  e.  RR )
5625, 27imaddd 11700 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  ( B  +  C ) )  =  ( ( Im `  B )  +  ( Im `  C ) ) )
5731simprd 449 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  e. MblFn )
5834simprd 449 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  C
) )  e. MblFn )
598simp3d 969 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  B )
) ,  -u (
Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
6059simpld 445 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
6121simp3d 969 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  C
) ) ,  ( Im `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  C )
) ,  -u (
Im `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
6261simpld 445 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  C
) ) ,  ( Im `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
6354, 55, 56, 57, 58, 60, 62ibladdlem 19174 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  ( B  +  C )
) ) ,  ( Im `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
6454renegcld 9210 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Im `  B )  e.  RR )
6555renegcld 9210 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Im `  C )  e.  RR )
6656negeqd 9046 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Im `  ( B  +  C ) )  = 
-u ( ( Im
`  B )  +  ( Im `  C
) ) )
6754recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  CC )
6855recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  C )  e.  CC )
6967, 68negdid 9170 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
( Im `  B
)  +  ( Im
`  C ) )  =  ( -u (
Im `  B )  +  -u ( Im `  C ) ) )
7066, 69eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Im `  ( B  +  C ) )  =  ( -u ( Im
`  B )  + 
-u ( Im `  C ) ) )
7154, 57mbfneg 19005 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u ( Im `  B ) )  e. MblFn
)
7255, 58mbfneg 19005 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u ( Im `  C ) )  e. MblFn
)
7359simprd 449 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B
) ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
7461simprd 449 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  C
) ) ,  -u ( Im `  C ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
7564, 65, 70, 71, 72, 73, 74ibladdlem 19174 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  ( B  +  C )
) ) ,  -u ( Im `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
7663, 75jca 518 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  ( B  +  C )
) ) ,  ( Im `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  ( B  +  C ) ) ) ,  -u ( Im `  ( B  +  C
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
77 eqid 2283 . . 3  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  +  C )
) ) ,  ( Re `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  +  C )
) ) ,  ( Re `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )
78 eqid 2283 . . 3  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  ( B  +  C )
) ) ,  -u ( Re `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  ( B  +  C )
) ) ,  -u ( Re `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )
79 eqid 2283 . . 3  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  ( B  +  C )
) ) ,  ( Im `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  ( B  +  C )
) ) ,  ( Im `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )
80 eqid 2283 . . 3  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  ( B  +  C )
) ) ,  -u ( Im `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  ( B  +  C )
) ) ,  -u ( Im `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )
81 ovex 5883 . . . 4  |-  ( B  +  C )  e. 
_V
8281a1i 10 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  +  C )  e.  _V )
8377, 78, 79, 80, 82iblcnlem 19143 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  e. MblFn  /\  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  +  C ) ) ) ,  ( Re `  ( B  +  C
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  ( B  +  C )
) ) ,  -u ( Re `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  ( B  +  C )
) ) ,  ( Im `  ( B  +  C ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  ( B  +  C ) ) ) ,  -u ( Im `  ( B  +  C
) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) ) )
8424, 53, 76, 83mpbir3and 1135 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e.  L ^1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   ifcif 3565   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076   RRcr 8736   0cc0 8737    + caddc 8740    <_ cle 8868   -ucneg 9038   Recre 11582   Imcim 11583   volcvol 18823  MblFncmbf 18969   S.2citg2 18971   L ^1cibl 18972
This theorem is referenced by:  iblsub  19176  itgaddlem1  19177  itgaddlem2  19178  itgadd  19179  itgfsum  19181  itgparts  19394
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cmp 17114  df-ovol 18824  df-vol 18825  df-mbf 18975  df-itg1 18976  df-itg2 18977  df-ibl 18978  df-0p 19025
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