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Theorem iblcnlem 19547
Description: Expand out the forall in isibl2 19525. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgcnlem.r  |-  R  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
itgcnlem.s  |-  S  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
itgcnlem.t  |-  T  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
itgcnlem.u  |-  U  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B
) ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
itgcnlem.v  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
Assertion
Ref Expression
iblcnlem  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR )  /\  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x    x, V
Allowed substitution hints:    B( x)    R( x)    S( x)    T( x)    U( x)

Proof of Theorem iblcnlem
StepHypRef Expression
1 iblmbf 19526 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
21a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn ) )
3 simp1 957 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR )  /\  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) )  -> 
( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
43a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR )  /\  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) )  -> 
( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
)
5 eqid 2387 . . . . . 6  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )
6 eqid 2387 . . . . . 6  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )
7 eqid 2387 . . . . . 6  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )
8 eqid 2387 . . . . . 6  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )
9 0cn 9017 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
109elimel 3734 . . . . . . 7  |-  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  e.  CC
1110a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  e.  CC )
125, 6, 7, 8, 11iblcnlem1 19546 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) )  e. MblFn  /\  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) ) )
1312adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
( x  e.  A  |->  if ( B  e.  CC ,  B , 
0 ) )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) )  e. MblFn  /\  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) ) )
14 eqid 2387 . . . . . 6  |-  A  =  A
15 mbff 19386 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : dom  ( x  e.  A  |->  B ) --> CC )
16 itgcnlem.v . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
1716ralrimiva 2732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  V )
18 eqid 2387 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
1918fnmpt 5511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  ( x  e.  A  |->  B )  Fn  A )
20 fndm 5484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  Fn  A  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
2117, 19, 203syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
2221feq2d 5521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) : dom  ( x  e.  A  |->  B ) --> CC  <->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC ) )
2322biimpa 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B ) : dom  ( x  e.  A  |->  B ) --> CC )  ->  (
x  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
2415, 23sylan2 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
x  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
2518fmpt 5829 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  CC  <->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
2624, 25sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  A. x  e.  A  B  e.  CC )
27 iftrue 3688 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  CC  ->  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  =  B )
2827ralimi 2724 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  CC  ->  A. x  e.  A  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  =  B )
2926, 28syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  A. x  e.  A  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  =  B )
30 mpteq12 4229 . . . . . 6  |-  ( ( A  =  A  /\  A. x  e.  A  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  =  B )  -> 
( x  e.  A  |->  if ( B  e.  CC ,  B , 
0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
3114, 29, 30sylancr 645 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
x  e.  A  |->  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
3231eleq1d 2453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
( x  e.  A  |->  if ( B  e.  CC ,  B , 
0 ) )  e.  L ^1  <->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 ) )
3331eleq1d 2453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
( x  e.  A  |->  if ( B  e.  CC ,  B , 
0 ) )  e. MblFn  <->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn ) )
34 eqid 2387 . . . . . . . . . 10  |-  RR  =  RR
3527imim2i 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  ->  ( x  e.  A  ->  if ( B  e.  CC ,  B , 
0 )  =  B ) )
3635imp 419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  /\  x  e.  A
)  ->  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  =  B )
3736fveq2d 5672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  /\  x  e.  A
)  ->  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B , 
0 ) )  =  ( Re `  B
) )
3837ibllem 19523 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  B ) ) ,  ( Re `  B
) ,  0 ) )
3938a1d 23 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  ->  ( x  e.  RR  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  B ) ) ,  ( Re `  B
) ,  0 ) ) )
4039ralimi2 2721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  CC  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  B ) ) ,  ( Re `  B
) ,  0 ) )
4126, 40syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  B ) ) ,  ( Re `  B
) ,  0 ) )
42 mpteq12 4229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( RR  =  RR  /\  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  B ) ) ,  ( Re `  B
) ,  0 ) )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  B ) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
4334, 41, 42sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  B ) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
4443fveq2d 5672 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  B ) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) ) )
45 itgcnlem.r . . . . . . . 8  |-  R  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
4644, 45syl6eqr 2437 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  R )
4746eleq1d 2453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  R  e.  RR ) )
4837negeqd 9232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  /\  x  e.  A
)  ->  -u ( Re
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) )  =  -u ( Re `  B ) )
4948ibllem 19523 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B ) ) , 
-u ( Re `  B ) ,  0 ) )
5049a1d 23 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  ->  ( x  e.  RR  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B ) ) , 
-u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
5150ralimi2 2721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  CC  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B ) ) , 
-u ( Re `  B ) ,  0 ) )
5226, 51syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B ) ) , 
-u ( Re `  B ) ,  0 ) )
53 mpteq12 4229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( RR  =  RR  /\  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B ) ) , 
-u ( Re `  B ) ,  0 ) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  B )
) ,  -u (
Re `  B ) ,  0 ) ) )
5434, 52, 53sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  B )
) ,  -u (
Re `  B ) ,  0 ) ) )
5554fveq2d 5672 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  B )
) ,  -u (
Re `  B ) ,  0 ) ) ) )
56 itgcnlem.s . . . . . . . 8  |-  S  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
5755, 56syl6eqr 2437 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  S )
5857eleq1d 2453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  S  e.  RR ) )
5947, 58anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) 
<->  ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR ) ) )
6036fveq2d 5672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  /\  x  e.  A
)  ->  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B , 
0 ) )  =  ( Im `  B
) )
6160ibllem 19523 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  B ) ) ,  ( Im `  B
) ,  0 ) )
6261a1d 23 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  ->  ( x  e.  RR  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  B ) ) ,  ( Im `  B
) ,  0 ) ) )
6362ralimi2 2721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  CC  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  B ) ) ,  ( Im `  B
) ,  0 ) )
6426, 63syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  B ) ) ,  ( Im `  B
) ,  0 ) )
65 mpteq12 4229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( RR  =  RR  /\  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  B ) ) ,  ( Im `  B
) ,  0 ) )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im
`  B ) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
6634, 64, 65sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im
`  B ) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
6766fveq2d 5672 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im
`  B ) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) ) )
68 itgcnlem.t . . . . . . . 8  |-  T  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
6967, 68syl6eqr 2437 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  T )
7069eleq1d 2453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  T  e.  RR ) )
7160negeqd 9232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  /\  x  e.  A
)  ->  -u ( Im
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) )  =  -u ( Im `  B ) )
7271ibllem 19523 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B ) ) , 
-u ( Im `  B ) ,  0 ) )
7372a1d 23 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  ->  ( x  e.  RR  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B ) ) , 
-u ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
7473ralimi2 2721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  CC  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B ) ) , 
-u ( Im `  B ) ,  0 ) )
7526, 74syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B ) ) , 
-u ( Im `  B ) ,  0 ) )
76 mpteq12 4229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( RR  =  RR  /\  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B ) ) , 
-u ( Im `  B ) ,  0 ) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  B )
) ,  -u (
Im `  B ) ,  0 ) ) )
7734, 75, 76sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  B )
) ,  -u (
Im `  B ) ,  0 ) ) )
7877fveq2d 5672 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  B )
) ,  -u (
Im `  B ) ,  0 ) ) ) )
79 itgcnlem.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B
) ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
8078, 79syl6eqr 2437 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  U )
8180eleq1d 2453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  U  e.  RR ) )
8270, 81anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) 
<->  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) ) )
8333, 59, 823anbi123d 1254 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) )  e. MblFn  /\  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR )  /\  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) ) ) )
8413, 32, 833bitr3d 275 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 
<->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR )  /\  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) ) ) )
8584ex 424 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR )  /\  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) ) ) ) )
862, 4, 85pm5.21ndd 344 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR )  /\  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649   ifcif 3682   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207   dom cdm 4818    Fn wfn 5389   -->wf 5390   ` cfv 5394   CCcc 8921   RRcr 8922   0cc0 8923    <_ cle 9054   -ucneg 9224   Recre 11829   Imcim 11830  MblFncmbf 19373   S.2citg2 19375   L ^1cibl 19376
This theorem is referenced by:  itgcnlem  19548  iblrelem  19549  ibladd  19579  ibladdnc  25962
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-pm 6957  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-fz 10976  df-seq 11251  df-exp 11310  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-mbf 19379  df-ibl 19382
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