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Theorem iblcnlem 19670
Description: Expand out the forall in isibl2 19648. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgcnlem.r  |-  R  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
itgcnlem.s  |-  S  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
itgcnlem.t  |-  T  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
itgcnlem.u  |-  U  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B
) ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
itgcnlem.v  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
Assertion
Ref Expression
iblcnlem  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR )  /\  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x    x, V
Allowed substitution hints:    B( x)    R( x)    S( x)    T( x)    U( x)

Proof of Theorem iblcnlem
StepHypRef Expression
1 iblmbf 19649 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
21a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn ) )
3 simp1 957 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR )  /\  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) )  -> 
( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
43a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR )  /\  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) )  -> 
( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
)
5 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )
6 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )
7 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )
8 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )
9 0cn 9074 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
109elimel 3783 . . . . . . 7  |-  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  e.  CC
1110a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  e.  CC )
125, 6, 7, 8, 11iblcnlem1 19669 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) )  e. MblFn  /\  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) ) )
1312adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
( x  e.  A  |->  if ( B  e.  CC ,  B , 
0 ) )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) )  e. MblFn  /\  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) ) )
14 eqid 2435 . . . . . 6  |-  A  =  A
15 mbff 19509 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : dom  ( x  e.  A  |->  B ) --> CC )
16 itgcnlem.v . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
1716ralrimiva 2781 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  V )
18 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
1918fnmpt 5563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  ( x  e.  A  |->  B )  Fn  A )
20 fndm 5536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  Fn  A  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
2117, 19, 203syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
2221feq2d 5573 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) : dom  ( x  e.  A  |->  B ) --> CC  <->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC ) )
2322biimpa 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B ) : dom  ( x  e.  A  |->  B ) --> CC )  ->  (
x  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
2415, 23sylan2 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
x  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
2518fmpt 5882 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  CC  <->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
2624, 25sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  A. x  e.  A  B  e.  CC )
27 iftrue 3737 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  CC  ->  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  =  B )
2827ralimi 2773 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  CC  ->  A. x  e.  A  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  =  B )
2926, 28syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  A. x  e.  A  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  =  B )
30 mpteq12 4280 . . . . . 6  |-  ( ( A  =  A  /\  A. x  e.  A  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  =  B )  -> 
( x  e.  A  |->  if ( B  e.  CC ,  B , 
0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
3114, 29, 30sylancr 645 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
x  e.  A  |->  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
3231eleq1d 2501 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
( x  e.  A  |->  if ( B  e.  CC ,  B , 
0 ) )  e.  L ^1  <->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 ) )
3331eleq1d 2501 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
( x  e.  A  |->  if ( B  e.  CC ,  B , 
0 ) )  e. MblFn  <->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn ) )
34 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  RR  =  RR
3527imim2i 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  ->  ( x  e.  A  ->  if ( B  e.  CC ,  B , 
0 )  =  B ) )
3635imp 419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  /\  x  e.  A
)  ->  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  =  B )
3736fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  /\  x  e.  A
)  ->  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B , 
0 ) )  =  ( Re `  B
) )
3837ibllem 19646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  B ) ) ,  ( Re `  B
) ,  0 ) )
3938a1d 23 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  ->  ( x  e.  RR  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  B ) ) ,  ( Re `  B
) ,  0 ) ) )
4039ralimi2 2770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  CC  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  B ) ) ,  ( Re `  B
) ,  0 ) )
4126, 40syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  B ) ) ,  ( Re `  B
) ,  0 ) )
42 mpteq12 4280 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( RR  =  RR  /\  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  B ) ) ,  ( Re `  B
) ,  0 ) )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  B ) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
4334, 41, 42sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  B ) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
4443fveq2d 5724 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  B ) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) ) )
45 itgcnlem.r . . . . . . . 8  |-  R  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
4644, 45syl6eqr 2485 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  R )
4746eleq1d 2501 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  R  e.  RR ) )
4837negeqd 9290 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  /\  x  e.  A
)  ->  -u ( Re
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) )  =  -u ( Re `  B ) )
4948ibllem 19646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B ) ) , 
-u ( Re `  B ) ,  0 ) )
5049a1d 23 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  ->  ( x  e.  RR  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B ) ) , 
-u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
5150ralimi2 2770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  CC  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B ) ) , 
-u ( Re `  B ) ,  0 ) )
5226, 51syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B ) ) , 
-u ( Re `  B ) ,  0 ) )
53 mpteq12 4280 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( RR  =  RR  /\  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B ) ) , 
-u ( Re `  B ) ,  0 ) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  B )
) ,  -u (
Re `  B ) ,  0 ) ) )
5434, 52, 53sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  B )
) ,  -u (
Re `  B ) ,  0 ) ) )
5554fveq2d 5724 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  B )
) ,  -u (
Re `  B ) ,  0 ) ) ) )
56 itgcnlem.s . . . . . . . 8  |-  S  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
5755, 56syl6eqr 2485 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  S )
5857eleq1d 2501 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  S  e.  RR ) )
5947, 58anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) 
<->  ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR ) ) )
6036fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  /\  x  e.  A
)  ->  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B , 
0 ) )  =  ( Im `  B
) )
6160ibllem 19646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  B ) ) ,  ( Im `  B
) ,  0 ) )
6261a1d 23 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  ->  ( x  e.  RR  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  B ) ) ,  ( Im `  B
) ,  0 ) ) )
6362ralimi2 2770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  CC  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  B ) ) ,  ( Im `  B
) ,  0 ) )
6426, 63syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  B ) ) ,  ( Im `  B
) ,  0 ) )
65 mpteq12 4280 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( RR  =  RR  /\  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  B ) ) ,  ( Im `  B
) ,  0 ) )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im
`  B ) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
6634, 64, 65sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im
`  B ) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
6766fveq2d 5724 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im
`  B ) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) ) )
68 itgcnlem.t . . . . . . . 8  |-  T  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
6967, 68syl6eqr 2485 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  T )
7069eleq1d 2501 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  T  e.  RR ) )
7160negeqd 9290 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  /\  x  e.  A
)  ->  -u ( Im
`  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) )  =  -u ( Im `  B ) )
7271ibllem 19646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B ) ) , 
-u ( Im `  B ) ,  0 ) )
7372a1d 23 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  ->  B  e.  CC )  ->  ( x  e.  RR  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B ) ) , 
-u ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
7473ralimi2 2770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  CC  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B ) ) , 
-u ( Im `  B ) ,  0 ) )
7526, 74syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B ) ) , 
-u ( Im `  B ) ,  0 ) )
76 mpteq12 4280 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( RR  =  RR  /\  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B ) ) , 
-u ( Im `  B ) ,  0 ) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  B )
) ,  -u (
Im `  B ) ,  0 ) ) )
7734, 75, 76sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  B )
) ,  -u (
Im `  B ) ,  0 ) ) )
7877fveq2d 5724 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  B )
) ,  -u (
Im `  B ) ,  0 ) ) ) )
79 itgcnlem.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B
) ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
8078, 79syl6eqr 2485 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  U )
8180eleq1d 2501 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  U  e.  RR ) )
8270, 81anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) 
<->  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) ) )
8333, 59, 823anbi123d 1254 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) )  e. MblFn  /\  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Re `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ,  -u ( Im `  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR )  /\  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) ) ) )
8413, 32, 833bitr3d 275 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 
<->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR )  /\  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) ) ) )
8584ex 424 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR )  /\  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) ) ) ) )
862, 4, 85pm5.21ndd 344 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR )  /\  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   ifcif 3731   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   dom cdm 4870    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446   CCcc 8978   RRcr 8979   0cc0 8980    <_ cle 9111   -ucneg 9282   Recre 11892   Imcim 11893  MblFncmbf 19496   S.2citg2 19498   L ^1cibl 19499
This theorem is referenced by:  itgcnlem  19671  iblrelem  19672  ibladd  19702  ibladdnc  26225
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-fz 11034  df-seq 11314  df-exp 11373  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-mbf 19502  df-ibl 19505
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