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Theorem iblcnlem1 19158
Description: Lemma for iblcnlem 19159. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgcnlem.r  |-  R  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
itgcnlem.s  |-  S  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
itgcnlem.t  |-  T  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
itgcnlem.u  |-  U  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B
) ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
itgcnlem1.v  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
iblcnlem1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR )  /\  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    R( x)    S( x)    T( x)    U( x)

Proof of Theorem iblcnlem1
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2297 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
2 eqidd 2297 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) )
3 itgcnlem1.v . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
41, 2, 3isibl2 19137 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
5 0z 10051 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ZZ
65elexi 2810 . . . . . . . 8  |-  0  e.  _V
7 1ex 8849 . . . . . . . 8  |-  1  e.  _V
8 ax-icn 8812 . . . . . . . . . . 11  |-  _i  e.  CC
9 exp0 11124 . . . . . . . . . . 11  |-  ( _i  e.  CC  ->  (
_i ^ 0 )  =  1 )
108, 9ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( _i
^ 0 )  =  1
1110itgvallem 19155 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
1 ) ) ,  0 ) ) ) )
1211eleq1d 2362 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
1 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
13 exp1 11125 . . . . . . . . . . 11  |-  ( _i  e.  CC  ->  (
_i ^ 1 )  =  _i )
148, 13ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( _i
^ 1 )  =  _i
1514itgvallem 19155 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  1  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  _i ) ) ,  0 ) ) ) )
1615eleq1d 2362 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  1  ->  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  _i ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
176, 7, 12, 16ralpr 3699 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  { 0 ,  1 }  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  1
) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  1 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  /  _i ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  _i ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
183div1d 9544 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  /  1 )  =  B )
1918fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( B  /  1 ) )  =  ( Re `  B ) )
2019ibllem 19135 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
1 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) )
2120mpteq2dv 4123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
1 ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
2221fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
1 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) ) )
23 itgcnlem.r . . . . . . . . . 10  |-  R  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
2422, 23syl6eqr 2346 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
1 ) ) ,  0 ) ) )  =  R )
2524eleq1d 2362 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
1 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  R  e.  RR ) )
26 itgcnlem.t . . . . . . . . . 10  |-  T  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
27 imval 11608 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  B )  =  ( Re `  ( B  /  _i ) ) )
283, 27syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  =  ( Re `  ( B  /  _i ) ) )
2928ibllem 19135 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  _i ) ) ,  0 ) )
3029mpteq2dv 4123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  _i ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  _i ) ) ,  0 ) ) )
3130fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  _i ) ) ,  0 ) ) ) )
3226, 31syl5req 2341 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  _i ) ) ,  0 ) ) )  =  T )
3332eleq1d 2362 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  _i ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  T  e.  RR ) )
3425, 33anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
1 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  _i ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  _i ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  <-> 
( R  e.  RR  /\  T  e.  RR ) ) )
3517, 34syl5bb 248 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. k  e. 
{ 0 ,  1 }  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  ( R  e.  RR  /\  T  e.  RR ) ) )
36 2nn0 9998 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
3736elexi 2810 . . . . . . . 8  |-  2  e.  _V
38 3nn0 9999 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  NN0
3938elexi 2810 . . . . . . . 8  |-  3  e.  _V
40 i2 11219 . . . . . . . . . 10  |-  ( _i
^ 2 )  = 
-u 1
4140itgvallem 19155 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  2  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  -u 1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  -u 1 ) ) ,  0 ) ) ) )
4241eleq1d 2362 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  2  ->  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  -u 1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  -u 1 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
43 i3 11220 . . . . . . . . . 10  |-  ( _i
^ 3 )  = 
-u _i
4443itgvallem 19155 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  3  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  -u _i ) ) ,  0 ) ) ) )
4544eleq1d 2362 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  3  ->  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  -u _i ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
4637, 39, 42, 45ralpr 3699 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  { 2 ,  3 }  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  -u 1
) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  -u 1 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  /  -u _i ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
47 itgcnlem.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
483renegd 11710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  -u B )  =  -u ( Re `  B ) )
49 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  CC
5049negnegi 9132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u -u 1  =  1
5150oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -u B  /  -u -u 1 )  =  ( -u B  / 
1 )
523negcld 9160 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u B  e.  CC )
5352div1d 9544 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  /  1 )  =  -u B )
5451, 53syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  /  -u -u 1
)  =  -u B
)
5549negcli 9130 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u 1  e.  CC
56 ax-1ne0 8822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  =/=  0
5749, 56negne0i 9137 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u 1  =/=  0
58 div2neg 9499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  CC  /\  -u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0 )  ->  ( -u B  /  -u -u 1 )  =  ( B  /  -u 1
) )
5955, 57, 58mp3an23 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  e.  CC  ->  ( -u B  /  -u -u 1
)  =  ( B  /  -u 1 ) )
603, 59syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  /  -u -u 1
)  =  ( B  /  -u 1 ) )
6154, 60eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u B  =  ( B  /  -u 1 ) )
6261fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  -u B )  =  ( Re `  ( B  /  -u 1
) ) )
6348, 62eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Re `  B )  =  ( Re `  ( B  /  -u 1
) ) )
6463ibllem 19135 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( Re `  B ) ) , 
-u ( Re `  B ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  /  -u 1 ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  -u 1
) ) ,  0 ) )
6564mpteq2dv 4123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  -u 1
) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  -u 1 ) ) ,  0 ) ) )
6665fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  -u 1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  -u 1 ) ) ,  0 ) ) ) )
6747, 66syl5req 2341 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  -u 1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  -u 1 ) ) ,  0 ) ) )  =  S )
6867eleq1d 2362 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  -u 1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  -u 1 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  S  e.  RR ) )
69 itgcnlem.u . . . . . . . . . 10  |-  U  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B
) ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
70 imval 11608 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u B  e.  CC  ->  ( Im `  -u B
)  =  ( Re
`  ( -u B  /  _i ) ) )
7152, 70syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  -u B )  =  ( Re `  ( -u B  /  _i ) ) )
723imnegd 11711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  -u B )  =  -u ( Im `  B ) )
738negnegi 9132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u -u _i  =  _i
7473eqcomi 2300 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  _i  =  -u -u _i
7574oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u B  /  _i )  =  ( -u B  /  -u -u _i )
768negcli 9130 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u _i  e.  CC
77 ine0 9231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  _i  =/=  0
788, 77negne0i 9137 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u _i  =/=  0
79 div2neg 9499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  CC  /\  -u _i  e.  CC  /\  -u _i  =/=  0 )  ->  ( -u B  /  -u -u _i )  =  ( B  /  -u _i ) )
8076, 78, 79mp3an23 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  e.  CC  ->  ( -u B  /  -u -u _i )  =  ( B  /  -u _i ) )
813, 80syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  /  -u -u _i )  =  ( B  /  -u _i ) )
8275, 81syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  /  _i )  =  ( B  /  -u _i ) )
8382fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( -u B  /  _i ) )  =  ( Re `  ( B  /  -u _i ) ) )
8471, 72, 833eqtr3d 2336 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Im `  B )  =  ( Re `  ( B  /  -u _i ) ) )
8584ibllem 19135 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( Im `  B ) ) , 
-u ( Im `  B ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  /  -u _i ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ,  0 ) )
8685mpteq2dv 4123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B
) ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ,  0 ) ) )
8786fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B
) ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  -u _i ) ) ,  0 ) ) ) )
8869, 87syl5req 2341 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  -u _i ) ) ,  0 ) ) )  =  U )
8988eleq1d 2362 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  -u _i ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  U  e.  RR ) )
9068, 89anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  -u 1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  -u 1 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  <-> 
( S  e.  RR  /\  U  e.  RR ) ) )
9146, 90syl5bb 248 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. k  e. 
{ 2 ,  3 }  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  ( S  e.  RR  /\  U  e.  RR ) ) )
9235, 91anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A. k  e.  { 0 ,  1 }  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  A. k  e.  { 2 ,  3 }  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  <-> 
( ( R  e.  RR  /\  T  e.  RR )  /\  ( S  e.  RR  /\  U  e.  RR ) ) ) )
93 1re 8853 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
94 3re 9833 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  RR
95 1lt3 9904 . . . . . . . . . . 11  |-  1  <  3
9693, 94, 95ltleii 8957 . . . . . . . . . 10  |-  1  <_  3
97 1nn0 9997 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  NN0
98 nn0uz 10278 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
9997, 98eleqtri 2368 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
10038nn0zi 10064 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  ZZ
101 elfz5 10806 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  3  e.  ZZ )  ->  (
1  e.  ( 0 ... 3 )  <->  1  <_  3 ) )
10299, 100, 101mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  ( 0 ... 3 )  <->  1  <_  3 )
10396, 102mpbir 200 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ( 0 ... 3
)
104 fzsplit 10832 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
0 ... 3 )  =  ( ( 0 ... 1 )  u.  (
( 1  +  1 ) ... 3 ) ) )
105103, 104ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ... 3 )  =  ( ( 0 ... 1 )  u.  (
( 1  +  1 ) ... 3 ) )
106 fzpr 10856 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) } )
1075, 106ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }
108 1e0p1 10168 . . . . . . . . . . 11  |-  1  =  ( 0  +  1 )
109108oveq2i 5885 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ... 1 )  =  ( 0 ... (
0  +  1 ) )
110108preq2i 3723 . . . . . . . . . 10  |-  { 0 ,  1 }  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }
111107, 109, 1103eqtr4i 2326 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 ... 1 )  =  { 0 ,  1 }
112 2z 10070 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
113 fzpr 10856 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  (
2 ... ( 2  +  1 ) )  =  { 2 ,  ( 2  +  1 ) } )
114112, 113ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2 ... ( 2  +  1 ) )  =  { 2 ,  ( 2  +  1 ) }
115 1p1e2 9856 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  +  1 )  =  2
116 df-3 9821 . . . . . . . . . . 11  |-  3  =  ( 2  +  1 )
117115, 116oveq12i 5886 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  +  1 ) ... 3 )  =  ( 2 ... (
2  +  1 ) )
118116preq2i 3723 . . . . . . . . . 10  |-  { 2 ,  3 }  =  { 2 ,  ( 2  +  1 ) }
119114, 117, 1183eqtr4i 2326 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  +  1 ) ... 3 )  =  { 2 ,  3 }
120111, 119uneq12i 3340 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0 ... 1 )  u.  ( ( 1  +  1 ) ... 3 ) )  =  ( { 0 ,  1 }  u.  {
2 ,  3 } )
121105, 120eqtri 2316 . . . . . . 7  |-  ( 0 ... 3 )  =  ( { 0 ,  1 }  u.  {
2 ,  3 } )
122121raleqi 2753 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  A. k  e.  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
123 ralunb 3369 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  ( {
0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  ( A. k  e.  { 0 ,  1 }  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  A. k  e.  { 2 ,  3 }  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
124122, 123bitri 240 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  ( A. k  e.  { 0 ,  1 }  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  A. k  e.  { 2 ,  3 }  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
125 an4 797 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR )  /\  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) )  <->  ( ( R  e.  RR  /\  T  e.  RR )  /\  ( S  e.  RR  /\  U  e.  RR ) ) )
12692, 124, 1253bitr4g 279 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  ( ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR )  /\  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) ) ) )
127126anbi2d 684 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  (
( R  e.  RR  /\  S  e.  RR )  /\  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) ) ) ) )
128 3anass 938 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR )  /\  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) )  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  (
( R  e.  RR  /\  S  e.  RR )  /\  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) ) ) )
129127, 128syl6bbr 254 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR )  /\  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) ) ) )
1304, 129bitrd 244 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR )  /\  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556    u. cun 3163   ifcif 3578   {cpr 3654   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754   _ici 8755    + caddc 8756    <_ cle 8884   -ucneg 9054    / cdiv 9439   2c2 9811   3c3 9812   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798   ^cexp 11120   Recre 11598   Imcim 11599  MblFncmbf 18985   S.2citg2 18987   L ^1cibl 18988
This theorem is referenced by:  iblcnlem  19159  iblcn  19169  bddiblnc  25021
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-ibl 18994
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