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Theorem iblconst 19666
Description: A constant function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
iblconst  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  X.  { B } )  e.  L ^1 )

Proof of Theorem iblconst
Dummy variables  x  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fconstmpt 4884 . 2  |-  ( A  X.  { B }
)  =  ( x  e.  A  |->  B )
2 mbfconst 19484 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  X.  { B } )  e. MblFn
)
323adant2 976 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  X.  { B } )  e. MblFn )
41, 3syl5eqelr 2493 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
5 ifan 3742 . . . . . . . 8  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )
65mpteq2i 4256 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) )
76fveq2i 5694 . . . . . 6  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) ) )
8 simpl1 960 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... 3 ) )  ->  A  e.  dom  vol )
9 simpl2 961 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... 3 ) )  ->  ( vol `  A
)  e.  RR )
10 simpl3 962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... 3 ) )  ->  B  e.  CC )
11 elfzelz 11019 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  ZZ )
1211adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... 3 ) )  ->  k  e.  ZZ )
13 ax-icn 9009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _i  e.  CC
14 ine0 9429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _i  =/=  0
15 expclz 11365 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
1613, 14, 15mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
1712, 16syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... 3 ) )  ->  ( _i ^
k )  e.  CC )
18 expne0i 11371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
1913, 14, 18mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
2012, 19syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... 3 ) )  ->  ( _i ^
k )  =/=  0
)
2110, 17, 20divcld 9750 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... 3 ) )  ->  ( B  / 
( _i ^ k
) )  e.  CC )
2221recld 11958 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... 3 ) )  ->  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) )  e.  RR )
23 0re 9051 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
24 ifcl 3739 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR )
2522, 23, 24sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... 3 ) )  ->  if ( 0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  e.  RR )
26 max1 10733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR )  -> 
0  <_  if (
0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
2723, 22, 26sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... 3 ) )  ->  0  <_  if ( 0  <_  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )
28 elrege0 10967 . . . . . . . 8  |-  ( if ( 0  <_  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo )  <->  ( if ( 0  <_  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR  /\  0  <_  if ( 0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )
2925, 27, 28sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... 3 ) )  ->  if ( 0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
30 itg2const 19589 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  if ( 0  <_  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  x.  ( vol `  A ) ) )
318, 9, 29, 30syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... 3 ) )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  x.  ( vol `  A ) ) )
327, 31syl5eq 2452 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... 3 ) )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  x.  ( vol `  A
) ) )
3325, 9remulcld 9076 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... 3 ) )  ->  ( if ( 0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  x.  ( vol `  A
) )  e.  RR )
3432, 33eqeltrd 2482 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... 3 ) )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
3534ralrimiva 2753 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
36 eqidd 2409 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
37 eqidd 2409 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  x  e.  A
)  ->  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) )  =  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) )
38 simpl3 962 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  x  e.  A
)  ->  B  e.  CC )
3936, 37, 38isibl2 19615 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
404, 35, 39mpbir2and 889 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
411, 40syl5eqel 2492 1  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  X.  { B } )  e.  L ^1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2571   A.wral 2670   ifcif 3703   {csn 3778   class class class wbr 4176    e. cmpt 4230    X. cxp 4839   dom cdm 4841   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   CCcc 8948   RRcr 8949   0cc0 8950   _ici 8952    x. cmul 8955    +oocpnf 9077    <_ cle 9081    / cdiv 9637   3c3 10010   ZZcz 10242   [,)cico 10878   ...cfz 11003   ^cexp 11341   Recre 11861   volcvol 19317  MblFncmbf 19463   S.2citg2 19465   L ^1cibl 19466
This theorem is referenced by:  itgconst  19667  bddibl  19688  ftc1lem4  19880  itgulm  20281  ftc1cnnclem  26181
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028  ax-addf 9029
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-disj 4147  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-of 6268  df-ofr 6269  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-pm 6984  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-sup 7408  df-oi 7439  df-card 7786  df-cda 8008  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-q 10535  df-rp 10573  df-xadd 10671  df-ioo 10880  df-ico 10882  df-icc 10883  df-fz 11004  df-fzo 11095  df-fl 11161  df-seq 11283  df-exp 11342  df-hash 11578  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-clim 12241  df-sum 12439  df-xmet 16654  df-met 16655  df-ovol 19318  df-vol 19319  df-mbf 19469  df-itg1 19470  df-itg2 19471  df-ibl 19472  df-0p 19519
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