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Theorem iblitg 19660
Description: If a function is integrable, then the  S.2 integrals of the function's decompositions all exist. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iblitg.1  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) ) )
iblitg.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  T  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ K ) ) ) )
iblitg.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
iblitg.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
Assertion
Ref Expression
iblitg  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( S.2 `  G )  e.  RR )
Distinct variable groups:    x, A    x, K    ph, x    x, V
Allowed substitution hints:    B( x)    T( x)    G( x)

Proof of Theorem iblitg
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iblitg.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) ) )
21adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ZZ )  ->  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) ) )
3 iblitg.2 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  T  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ K ) ) ) )
43adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ZZ )  /\  x  e.  A )  ->  T  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ K ) ) ) )
5 iexpcyc 11485 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
_i ^ ( K  mod  4 ) )  =  ( _i ^ K ) )
65oveq2d 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) )  =  ( B  /  (
_i ^ K ) ) )
76fveq2d 5732 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) )  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ K ) ) ) )
87ad2antlr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ZZ )  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) )  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ K ) ) ) )
94, 8eqtr4d 2471 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ZZ )  /\  x  e.  A )  ->  T  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) )
109ibllem 19656 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ZZ )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) ) ,  0 ) )
1110mpteq2dv 4296 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) ,  0 ) ) )
122, 11eqtrd 2468 . . 3  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ZZ )  ->  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) ,  0 ) ) )
1312fveq2d 5732 . 2  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( S.2 `  G )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) ) ,  0 ) ) ) )
14 4nn 10135 . . . . . 6  |-  4  e.  NN
15 zmodfz 11268 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  4  e.  NN )  ->  ( K  mod  4
)  e.  ( 0 ... ( 4  -  1 ) ) )
1614, 15mpan2 653 . . . . 5  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  mod  4 )  e.  ( 0 ... (
4  -  1 ) ) )
17 4cn 10074 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
18 ax-1cn 9048 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
19 3cn 10072 . . . . . . 7  |-  3  e.  CC
2018, 19addcomi 9257 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  3 )  =  ( 3  +  1 )
21 df-4 10060 . . . . . . . 8  |-  4  =  ( 3  +  1 )
2220, 21eqtr4i 2459 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  3 )  =  4
2317, 18, 19, 22subaddrii 9389 . . . . . 6  |-  ( 4  -  1 )  =  3
2423oveq2i 6092 . . . . 5  |-  ( 0 ... ( 4  -  1 ) )  =  ( 0 ... 3
)
2516, 24syl6eleq 2526 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  mod  4 )  e.  ( 0 ... 3
) )
2625adantl 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  mod  4 )  e.  ( 0 ... 3
) )
27 iblitg.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
28 eqidd 2437 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
29 eqidd 2437 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) )
30 iblitg.4 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
3128, 29, 30isibl2 19658 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
3227, 31mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
3332simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
3433adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ZZ )  ->  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
35 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( K  mod  4 )  ->  (
_i ^ k )  =  ( _i ^
( K  mod  4
) ) )
3635oveq2d 6097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( K  mod  4 )  ->  ( B  /  ( _i ^
k ) )  =  ( B  /  (
_i ^ ( K  mod  4 ) ) ) )
3736fveq2d 5732 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( K  mod  4 )  ->  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) )
3837breq2d 4224 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( K  mod  4 )  ->  (
0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) )  <->  0  <_  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) ) ) )
3938anbi2d 685 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( K  mod  4 )  ->  (
( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) ) ) )
40 eqidd 2437 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( K  mod  4 )  ->  0  =  0 )
4139, 37, 40ifbieq12d 3761 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( K  mod  4 )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) ,  0 ) )
4241mpteq2dv 4296 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( K  mod  4 )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) ,  0 ) ) )
4342fveq2d 5732 . . . . 5  |-  ( k  =  ( K  mod  4 )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) ,  0 ) ) ) )
4443eleq1d 2502 . . . 4  |-  ( k  =  ( K  mod  4 )  ->  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
4544rspcv 3048 . . 3  |-  ( ( K  mod  4 )  e.  ( 0 ... 3 )  ->  ( A. k  e.  (
0 ... 3 ) ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
4626, 34, 45sylc 58 . 2  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
4713, 46eqeltrd 2510 1  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( S.2 `  G )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   ifcif 3739   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991   _ici 8992    + caddc 8993    <_ cle 9121    - cmin 9291    / cdiv 9677   NNcn 10000   3c3 10050   4c4 10051   ZZcz 10282   ...cfz 11043    mod cmo 11250   ^cexp 11382   Recre 11902  MblFncmbf 19506   S.2citg2 19508   L ^1cibl 19509
This theorem is referenced by:  itgcl  19675  itgcnlem  19681  iblss  19696  iblss2  19697  itgsplit  19727
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-ibl 19515
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