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Theorem iblitg 19139
Description: If a function is integrable, then the  S.2 integrals of the function's decompositions all exist. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iblitg.1  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) ) )
iblitg.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  T  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ K ) ) ) )
iblitg.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
iblitg.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
Assertion
Ref Expression
iblitg  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( S.2 `  G )  e.  RR )
Distinct variable groups:    x, A    x, K    ph, x    x, V
Allowed substitution hints:    B( x)    T( x)    G( x)

Proof of Theorem iblitg
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iblitg.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) ) )
21adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ZZ )  ->  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) ) )
3 iblitg.2 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  T  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ K ) ) ) )
43adantlr 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ZZ )  /\  x  e.  A )  ->  T  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ K ) ) ) )
5 iexpcyc 11223 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
_i ^ ( K  mod  4 ) )  =  ( _i ^ K ) )
65oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) )  =  ( B  /  (
_i ^ K ) ) )
76fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) )  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ K ) ) ) )
87ad2antlr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ZZ )  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) )  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ K ) ) ) )
94, 8eqtr4d 2331 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ZZ )  /\  x  e.  A )  ->  T  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) )
109ibllem 19135 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ZZ )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) ) ,  0 ) )
1110mpteq2dv 4123 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) ,  0 ) ) )
122, 11eqtrd 2328 . . 3  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ZZ )  ->  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) ,  0 ) ) )
1312fveq2d 5545 . 2  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( S.2 `  G )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) ) ,  0 ) ) ) )
14 4nn 9895 . . . . . 6  |-  4  e.  NN
15 zmodfz 11007 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  4  e.  NN )  ->  ( K  mod  4
)  e.  ( 0 ... ( 4  -  1 ) ) )
1614, 15mpan2 652 . . . . 5  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  mod  4 )  e.  ( 0 ... (
4  -  1 ) ) )
17 4cn 9836 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
18 ax-1cn 8811 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
19 3cn 9834 . . . . . . 7  |-  3  e.  CC
2018, 19addcomi 9019 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  3 )  =  ( 3  +  1 )
21 df-4 9822 . . . . . . . 8  |-  4  =  ( 3  +  1 )
2220, 21eqtr4i 2319 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  3 )  =  4
2317, 18, 19, 22subaddrii 9151 . . . . . 6  |-  ( 4  -  1 )  =  3
2423oveq2i 5885 . . . . 5  |-  ( 0 ... ( 4  -  1 ) )  =  ( 0 ... 3
)
2516, 24syl6eleq 2386 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  mod  4 )  e.  ( 0 ... 3
) )
2625adantl 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  mod  4 )  e.  ( 0 ... 3
) )
27 iblitg.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
28 eqidd 2297 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
29 eqidd 2297 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) )
30 iblitg.4 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
3128, 29, 30isibl2 19137 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
3227, 31mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
3332simprd 449 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
3433adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ZZ )  ->  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
35 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( K  mod  4 )  ->  (
_i ^ k )  =  ( _i ^
( K  mod  4
) ) )
3635oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( K  mod  4 )  ->  ( B  /  ( _i ^
k ) )  =  ( B  /  (
_i ^ ( K  mod  4 ) ) ) )
3736fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( K  mod  4 )  ->  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) )
3837breq2d 4051 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( K  mod  4 )  ->  (
0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) )  <->  0  <_  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) ) ) )
3938anbi2d 684 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( K  mod  4 )  ->  (
( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) ) ) )
40 eqidd 2297 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( K  mod  4 )  ->  0  =  0 )
4139, 37, 40ifbieq12d 3600 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( K  mod  4 )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) ,  0 ) )
4241mpteq2dv 4123 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( K  mod  4 )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) ,  0 ) ) )
4342fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( k  =  ( K  mod  4 )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) ,  0 ) ) ) )
4443eleq1d 2362 . . . 4  |-  ( k  =  ( K  mod  4 )  ->  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
4544rspcv 2893 . . 3  |-  ( ( K  mod  4 )  e.  ( 0 ... 3 )  ->  ( A. k  e.  (
0 ... 3 ) ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
4626, 34, 45sylc 56 . 2  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
( K  mod  4
) ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ ( K  mod  4 ) ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
4713, 46eqeltrd 2370 1  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( S.2 `  G )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   ifcif 3578   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754   _ici 8755    + caddc 8756    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   3c3 9812   4c4 9813   ZZcz 10040   ...cfz 10798    mod cmo 10989   ^cexp 11120   Recre 11598  MblFncmbf 18985   S.2citg2 18987   L ^1cibl 18988
This theorem is referenced by:  itgcl  19154  itgcnlem  19160  iblss  19175  iblss2  19176  itgsplit  19206
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-ibl 18994
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