Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iblmulc2nc Structured version   Unicode version

Theorem iblmulc2nc 26260
Description: Choice-free analogue of iblmulc2 19714. (Contributed by Brendan Leahy, 17-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itgmulc2nc.1  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
itgmulc2nc.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgmulc2nc.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
itgmulc2nc.m  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e. MblFn )
Assertion
Ref Expression
iblmulc2nc  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e.  L ^1 )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    ph, x    x, V
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem iblmulc2nc
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgmulc2nc.m . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e. MblFn )
2 ifan 3770 . . . . . 6  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )
3 itgmulc2nc.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
43adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
5 itgmulc2nc.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
6 iblmbf 19651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
75, 6syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
8 itgmulc2nc.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
97, 8mbfmptcl 19521 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
104, 9mulcld 9100 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  x.  B )  e.  CC )
1110adantlr 696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( C  x.  B )  e.  CC )
12 elfzelz 11051 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  ZZ )
1312ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  k  e.  ZZ )
14 ax-icn 9041 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  _i  e.  CC
15 ine0 9461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  _i  =/=  0
16 expclz 11398 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
1714, 15, 16mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
1813, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
19 expne0i 11404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
2014, 15, 19mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
2113, 20syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
2211, 18, 21divcld 9782 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) )  e.  CC )
2322recld 11991 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR )
24 0re 9083 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
25 ifcl 3767 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  e.  RR )
2623, 24, 25sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR )
2726rexrd 9126 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR* )
28 max1 10765 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR )  -> 
0  <_  if (
0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
2924, 23, 28sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
30 elxrge0 11000 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( 0  <_  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo )  <->  ( if ( 0  <_  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR*  /\  0  <_  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
3127, 29, 30sylanbrc 646 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
32 0xr 9123 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR*
33 0le0 10073 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  0
34 elxrge0 11000 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR*  /\  0  <_  0 ) )
3532, 33, 34mpbir2an 887 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ( 0 [,]  +oo )
3635a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
3731, 36ifclda 3758 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
3837adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
392, 38syl5eqel 2519 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
40 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
4139, 40fmptd 5885 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
429recld 11991 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
4342recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  CC )
4443abscld 12230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( Re `  B ) )  e.  RR )
459imcld 11992 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
4645recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  CC )
4746abscld 12230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( Im `  B ) )  e.  RR )
4844, 47readdcld 9107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) )  e.  RR )
4943absge0d 12238 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( abs `  (
Re `  B )
) )
5046absge0d 12238 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( abs `  (
Im `  B )
) )
5144, 47, 49, 50addge0d 9594 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) )
52 elrege0 10999 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) )  e.  ( 0 [,)  +oo ) 
<->  ( ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ) )
5348, 51, 52sylanbrc 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
54 elrege0 10999 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR  /\  0  <_  0 ) )
5524, 33, 54mpbir2an 887 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ( 0 [,)  +oo )
5655a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
5753, 56ifclda 3758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
5857adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo )
)
59 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) )
6058, 59fmptd 5885 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
61 reex 9073 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  e.  _V
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
63 elrege0 10999 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( ( abs `  ( Re `  B ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( abs `  (
Re `  B )
) ) )
6444, 49, 63sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( Re `  B ) )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
6564, 56ifclda 3758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Re `  B
) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
6665adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
67 elrege0 10999 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( abs `  ( Im
`  B ) )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( ( abs `  ( Im `  B ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( abs `  (
Im `  B )
) ) )
6847, 50, 67sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( Im `  B ) )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
6968, 56ifclda 3758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Im `  B
) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
7069adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
71 eqidd 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) ) )
72 eqidd 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) )
7362, 66, 70, 71, 72offval2 6314 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Re
`  B ) ) ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Re `  B
) ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) ) )
74 iftrue 3737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 )  =  ( abs `  (
Re `  B )
) )
75 iftrue 3737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 )  =  ( abs `  (
Im `  B )
) )
7674, 75oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  A  ->  ( if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ,  0 ) )  =  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) )
77 iftrue 3737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 )  =  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) )
7876, 77eqtr4d 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  A  ->  ( if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) )
79 00id 9233 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  +  0 )  =  0
80 iffalse 3738 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 )  =  0 )
81 iffalse 3738 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 )  =  0 )
8280, 81oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Re
`  B ) ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Im `  B
) ) ,  0 ) )  =  ( 0  +  0 ) )
83 iffalse 3738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 )  =  0 )
8479, 82, 833eqtr4a 2493 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Re
`  B ) ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Im `  B
) ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) )
8578, 84pm2.61i 158 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 )
8685mpteq2i 4284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) )
8773, 86syl6req 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) ) )
8887fveq2d 5724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) ) ) )
89 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) )
909iblcn 19682 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L ^1 
/\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L ^1 ) ) )
915, 90mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L ^1  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L ^1 ) )
9291simpld 446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e.  L ^1 )
938, 5, 89, 92, 42iblabsnclem 26258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Re
`  B ) ) ,  0 ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
9493simpld 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) )  e. MblFn )
9566, 89fmptd 5885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
9693simprd 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
97 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) )
9870, 97fmptd 5885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
9991simprd 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  e.  L ^1 )
1008, 5, 97, 99, 45iblabsnclem 26258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ,  0 ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
101100simprd 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
10294, 95, 96, 98, 101itg2addnc 26249 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) ) ) )
10388, 102eqtrd 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) ) ) )
10496, 101readdcld 9107 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) ) )  e.  RR )
105103, 104eqeltrd 2509 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
1063abscld 12230 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  C
)  e.  RR )
1073absge0d 12238 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  C ) )
108 elrege0 10999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs `  C )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( ( abs `  C )  e.  RR  /\  0  <_ 
( abs `  C
) ) )
109106, 107, 108sylanbrc 646 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  C
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
11060, 105, 109itg2mulc 19631 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
( RR  X.  {
( abs `  C
) } )  o F  x.  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( abs `  C )  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) ) ) ) )
111106adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( abs `  C )  e.  RR )
112 fconstmpt 4913 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR 
X.  { ( abs `  C ) } )  =  ( x  e.  RR  |->  ( abs `  C
) )
113112a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  X.  {
( abs `  C
) } )  =  ( x  e.  RR  |->  ( abs `  C ) ) )
114 eqidd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) ) )
11562, 111, 58, 113, 114offval2 6314 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( RR  X.  { ( abs `  C
) } )  o F  x.  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( abs `  C )  x.  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) ) ) )
11677oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  ->  (
( abs `  C
)  x.  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) )  =  ( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) )
117 iftrue 3737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 )  =  ( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) )
118116, 117eqtr4d 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  A  ->  (
( abs `  C
)  x.  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ) ,  0 ) )
119118adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  C
)  x.  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ) ,  0 ) )
120106recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( abs `  C
)  e.  CC )
121120mul01d 9257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  C
)  x.  0 )  =  0 )
122121adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
( abs `  C
)  x.  0 )  =  0 )
12383adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 )  =  0 )
124123oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
( abs `  C
)  x.  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) )  =  ( ( abs `  C
)  x.  0 ) )
125 iffalse 3738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 )  =  0 )
126125adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 )  =  0 )
127122, 124, 1263eqtr4d 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
( abs `  C
)  x.  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ) ,  0 ) )
128119, 127pm2.61dan 767 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  C
)  x.  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ) ,  0 ) )
129128mpteq2dv 4288 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  ( ( abs `  C
)  x.  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) ,  0 ) ) )
130115, 129eqtrd 2467 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( RR  X.  { ( abs `  C
) } )  o F  x.  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) ,  0 ) ) )
131130fveq2d 5724 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
( RR  X.  {
( abs `  C
) } )  o F  x.  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 ) ) ) )
132103oveq2d 6089 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  C
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( abs `  C
)  x.  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) ) ) ) )
133110, 131, 1323eqtr3d 2475 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( ( abs `  C )  x.  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) ) ) ) )
134106, 104remulcld 9108 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  C
)  x.  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) ) ) )  e.  RR )
135133, 134eqeltrd 2509 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
136135adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
137106adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  C )  e.  RR )
138137, 48remulcld 9108 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) )  e.  RR )
139138rexrd 9126 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) )  e. 
RR* )
140107adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( abs `  C
) )
141137, 48, 140, 51mulge0d 9595 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) )
142 elxrge0 11000 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) )  e.  ( 0 [,]  +oo ) 
<->  ( ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) )  e.  RR*  /\  0  <_  ( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) ) )
143139, 141, 142sylanbrc 646 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
14435a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
145143, 144ifclda 3758 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
146145ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
147 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 ) )
148146, 147fmptd 5885 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
1499abscld 12230 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
150137, 149remulcld 9108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  C
)  x.  ( abs `  B ) )  e.  RR )
151150adantlr 696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  C
)  x.  ( abs `  B ) )  e.  RR )
152138adantlr 696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) )  e.  RR )
15322releabsd 12245 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) )  <_  ( abs `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) )
15411, 18, 21absdivd 12249 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( ( abs `  ( C  x.  B )
)  /  ( abs `  ( _i ^ k
) ) ) )
155 elfznn0 11075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  NN0 )
156 absexp 12101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( abs `  (
_i ^ k ) )  =  ( ( abs `  _i ) ^ k ) )
15714, 155, 156sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  ( abs `  ( _i ^
k ) )  =  ( ( abs `  _i ) ^ k ) )
158 absi 12083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( abs `  _i )  =  1
159158oveq1i 6083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( abs `  _i ) ^ k )  =  ( 1 ^ k
)
160 1exp 11401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
1 ^ k )  =  1 )
16112, 160syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
1 ^ k )  =  1 )
162159, 161syl5eq 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
( abs `  _i ) ^ k )  =  1 )
163157, 162eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  ( abs `  ( _i ^
k ) )  =  1 )
164163oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
( abs `  ( C  x.  B )
)  /  ( abs `  ( _i ^ k
) ) )  =  ( ( abs `  ( C  x.  B )
)  /  1 ) )
165164ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  ( C  x.  B )
)  /  ( abs `  ( _i ^ k
) ) )  =  ( ( abs `  ( C  x.  B )
)  /  1 ) )
16610abscld 12230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( C  x.  B ) )  e.  RR )
167166recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( C  x.  B ) )  e.  CC )
168167adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( C  x.  B ) )  e.  CC )
169168div1d 9774 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  ( C  x.  B )
)  /  1 )  =  ( abs `  ( C  x.  B )
) )
170154, 165, 1693eqtrd 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( abs `  ( C  x.  B )
) )
1714, 9absmuld 12248 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( C  x.  B ) )  =  ( ( abs `  C
)  x.  ( abs `  B ) ) )
172171adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( C  x.  B ) )  =  ( ( abs `  C
)  x.  ( abs `  B ) ) )
173170, 172eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( ( abs `  C
)  x.  ( abs `  B ) ) )
174153, 173breqtrd 4228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) )  <_  ( ( abs `  C )  x.  ( abs `  B ) ) )
175 mulcl 9066 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  B )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
17614, 46, 175sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
_i  x.  ( Im `  B ) )  e.  CC )
17743, 176abstrid 12250 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( Re
`  B )  +  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) )  <_ 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
1789replimd 11994 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  =  ( ( Re
`  B )  +  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) )
179178fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  =  ( abs `  (
( Re `  B
)  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) ) )
180 absmul 12091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  B )  e.  CC )  -> 
( abs `  (
_i  x.  ( Im `  B ) ) )  =  ( ( abs `  _i )  x.  ( abs `  ( Im `  B ) ) ) )
18114, 46, 180sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) )  =  ( ( abs `  _i )  x.  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) )
182158oveq1i 6083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( abs `  _i )  x.  ( abs `  (
Im `  B )
) )  =  ( 1  x.  ( abs `  ( Im `  B
) ) )
183181, 182syl6eq 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) )  =  ( 1  x.  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) )
18447recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( Im `  B ) )  e.  CC )
185184mulid2d 9098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
1  x.  ( abs `  ( Im `  B
) ) )  =  ( abs `  (
Im `  B )
) )
186183, 185eqtr2d 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( Im `  B ) )  =  ( abs `  (
_i  x.  ( Im `  B ) ) ) )
187186oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) )  =  ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
188177, 179, 1873brtr4d 4234 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  <_ 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) )
189149, 48, 137, 140, 188lemul2ad 9943 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  C
)  x.  ( abs `  B ) )  <_ 
( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) )
190189adantlr 696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  C
)  x.  ( abs `  B ) )  <_ 
( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) )
19123, 151, 152, 174, 190letrd 9219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) )  <_  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) )
192141adantlr 696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) )
193 breq1 4207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  -> 
( ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) )  <_  (
( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) )  <->  if (
0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  <_ 
( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) ) )
194 breq1 4207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  -> 
( 0  <_  (
( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) )  <->  if (
0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  <_ 
( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) ) )
195193, 194ifboth 3762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) )  <_  ( ( abs `  C )  x.  ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) )  /\  0  <_  (
( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) )  ->  if ( 0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  <_ 
( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) )
196191, 192, 195syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  <_  ( ( abs `  C )  x.  ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) )
197 iftrue 3737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
198197adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
199117adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 )  =  ( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) )
200196, 198, 1993brtr4d 4234 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  A , 
( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) ,  0 ) )
201200ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  A , 
( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) ,  0 ) ) )
20233a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
0  <_  0 )
203 iffalse 3738 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
204202, 203, 1253brtr4d 4234 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  A , 
( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) ,  0 ) )
205201, 204pm2.61d1 153 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  A , 
( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) ,  0 ) )
2062, 205syl5eqbr 4237 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 ) )
207206ralrimivw 2782 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) ,  0 ) )
20861a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  RR  e.  _V )
209 eqidd 2436 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) ) )
210 eqidd 2436 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) ,  0 ) ) )
211208, 39, 146, 209, 210ofrfval2 6315 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  o R  <_  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 ) )  <->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 ) ) )
212207, 211mpbird 224 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  o R  <_  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 ) ) )
213 itg2le 19623 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  o R  <_  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 ) ) ) )
21441, 148, 212, 213syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) ,  0 ) ) ) )
215 itg2lecl 19622 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) ,  0 ) ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
21641, 136, 214, 215syl3anc 1184 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
217216ralrimiva 2781 . 2  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
218 eqidd 2436 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) ) )
219 eqidd 2436 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) )
220218, 219, 10isibl2 19650 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
2211, 217, 220mpbir2and 889 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e.  L ^1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   _Vcvv 2948   ifcif 3731   {csn 3806   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258    X. cxp 4868   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    o Fcof 6295    o Rcofr 6296   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983   _ici 8984    + caddc 8985    x. cmul 8987    +oocpnf 9109   RR*cxr 9111    <_ cle 9113    / cdiv 9669   3c3 10042   NN0cn0 10213   ZZcz 10274   [,)cico 10910   [,]cicc 10911   ...cfz 11035   ^cexp 11374   Recre 11894   Imcim 11895   abscabs 12031  MblFncmbf 19498   S.2citg2 19500   L ^1cibl 19501
This theorem is referenced by:  itgmulc2nclem1  26261  itgmulc2nclem2  26262  itgmulc2nc  26263  itgabsnc  26264  ftc1anclem6  26275
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-ofr 6298  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472  df-rest 13642  df-topgen 13659  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-cmp 17442  df-ovol 19353  df-vol 19354  df-mbf 19504  df-itg1 19505  df-itg2 19506  df-ibl 19507  df-0p 19554
  Copyright terms: Public domain W3C validator