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Theorem iblmulc2nc 26284
Description: Choice-free analogue of iblmulc2 19725. (Contributed by Brendan Leahy, 17-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itgmulc2nc.1  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
itgmulc2nc.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgmulc2nc.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
itgmulc2nc.m  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e. MblFn )
Assertion
Ref Expression
iblmulc2nc  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e.  L ^1 )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    ph, x    x, V
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem iblmulc2nc
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgmulc2nc.m . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e. MblFn )
2 ifan 3780 . . . . . 6  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )
3 itgmulc2nc.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
43adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
5 itgmulc2nc.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
6 iblmbf 19662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
75, 6syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
8 itgmulc2nc.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
97, 8mbfmptcl 19532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
104, 9mulcld 9113 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  x.  B )  e.  CC )
1110adantlr 697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( C  x.  B )  e.  CC )
12 elfzelz 11064 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  ZZ )
1312ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  k  e.  ZZ )
14 ax-icn 9054 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  _i  e.  CC
15 ine0 9474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  _i  =/=  0
16 expclz 11411 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
1714, 15, 16mp3an12 1270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
1813, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
19 expne0i 11417 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
2014, 15, 19mp3an12 1270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
2113, 20syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
2211, 18, 21divcld 9795 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) )  e.  CC )
2322recld 12004 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR )
24 0re 9096 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
25 ifcl 3777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  e.  RR )
2623, 24, 25sylancl 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR )
2726rexrd 9139 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR* )
28 max1 10778 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR )  -> 
0  <_  if (
0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
2924, 23, 28sylancr 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
30 elxrge0 11013 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( 0  <_  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo )  <->  ( if ( 0  <_  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR*  /\  0  <_  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
3127, 29, 30sylanbrc 647 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
32 0xr 9136 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR*
33 0le0 10086 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  0
34 elxrge0 11013 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR*  /\  0  <_  0 ) )
3532, 33, 34mpbir2an 888 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ( 0 [,]  +oo )
3635a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
3731, 36ifclda 3768 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
3837adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
392, 38syl5eqel 2522 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
40 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
4139, 40fmptd 5896 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
429recld 12004 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
4342recnd 9119 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  CC )
4443abscld 12243 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( Re `  B ) )  e.  RR )
459imcld 12005 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
4645recnd 9119 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  CC )
4746abscld 12243 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( Im `  B ) )  e.  RR )
4844, 47readdcld 9120 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) )  e.  RR )
4943absge0d 12251 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( abs `  (
Re `  B )
) )
5046absge0d 12251 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( abs `  (
Im `  B )
) )
5144, 47, 49, 50addge0d 9607 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) )
52 elrege0 11012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) )  e.  ( 0 [,)  +oo ) 
<->  ( ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ) )
5348, 51, 52sylanbrc 647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
54 elrege0 11012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR  /\  0  <_  0 ) )
5524, 33, 54mpbir2an 888 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ( 0 [,)  +oo )
5655a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
5753, 56ifclda 3768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
5857adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo )
)
59 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) )
6058, 59fmptd 5896 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
61 reex 9086 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  e.  _V
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
63 elrege0 11012 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( ( abs `  ( Re `  B ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( abs `  (
Re `  B )
) ) )
6444, 49, 63sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( Re `  B ) )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
6564, 56ifclda 3768 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Re `  B
) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
6665adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
67 elrege0 11012 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( abs `  ( Im
`  B ) )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( ( abs `  ( Im `  B ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( abs `  (
Im `  B )
) ) )
6847, 50, 67sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( Im `  B ) )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
6968, 56ifclda 3768 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Im `  B
) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
7069adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
71 eqidd 2439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) ) )
72 eqidd 2439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) )
7362, 66, 70, 71, 72offval2 6325 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Re
`  B ) ) ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Re `  B
) ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) ) )
74 iftrue 3747 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 )  =  ( abs `  (
Re `  B )
) )
75 iftrue 3747 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 )  =  ( abs `  (
Im `  B )
) )
7674, 75oveq12d 6102 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  A  ->  ( if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ,  0 ) )  =  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) )
77 iftrue 3747 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 )  =  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) )
7876, 77eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  A  ->  ( if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) )
79 00id 9246 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  +  0 )  =  0
80 iffalse 3748 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 )  =  0 )
81 iffalse 3748 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 )  =  0 )
8280, 81oveq12d 6102 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Re
`  B ) ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Im `  B
) ) ,  0 ) )  =  ( 0  +  0 ) )
83 iffalse 3748 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 )  =  0 )
8479, 82, 833eqtr4a 2496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Re
`  B ) ) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Im `  B
) ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) )
8578, 84pm2.61i 159 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 )
8685mpteq2i 4295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) )
8773, 86syl6req 2487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) ) )
8887fveq2d 5735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) ) ) )
89 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) )
909iblcn 19693 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L ^1 
/\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L ^1 ) ) )
915, 90mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L ^1  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L ^1 ) )
9291simpld 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e.  L ^1 )
938, 5, 89, 92, 42iblabsnclem 26282 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Re
`  B ) ) ,  0 ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
9493simpld 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) )  e. MblFn )
9566, 89fmptd 5896 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
9693simprd 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
97 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) )
9870, 97fmptd 5896 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
9991simprd 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  e.  L ^1 )
1008, 5, 97, 99, 45iblabsnclem 26282 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ,  0 ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
101100simprd 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
10294, 95, 96, 98, 101itg2addnc 26273 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) ) ) )
10388, 102eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) ) ) )
10496, 101readdcld 9120 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) ) )  e.  RR )
105103, 104eqeltrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
1063abscld 12243 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  C
)  e.  RR )
1073absge0d 12251 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  C ) )
108 elrege0 11012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs `  C )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( ( abs `  C )  e.  RR  /\  0  <_ 
( abs `  C
) ) )
109106, 107, 108sylanbrc 647 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  C
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
11060, 105, 109itg2mulc 19642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
( RR  X.  {
( abs `  C
) } )  o F  x.  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( abs `  C )  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) ) ) ) )
111106adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( abs `  C )  e.  RR )
112 fconstmpt 4924 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR 
X.  { ( abs `  C ) } )  =  ( x  e.  RR  |->  ( abs `  C
) )
113112a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  X.  {
( abs `  C
) } )  =  ( x  e.  RR  |->  ( abs `  C ) ) )
114 eqidd 2439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) ) )
11562, 111, 58, 113, 114offval2 6325 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( RR  X.  { ( abs `  C
) } )  o F  x.  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( abs `  C )  x.  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) ) ) )
11677oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  ->  (
( abs `  C
)  x.  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) )  =  ( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) )
117 iftrue 3747 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 )  =  ( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) )
118116, 117eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  A  ->  (
( abs `  C
)  x.  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ) ,  0 ) )
119118adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  C
)  x.  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ) ,  0 ) )
120106recnd 9119 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( abs `  C
)  e.  CC )
121120mul01d 9270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  C
)  x.  0 )  =  0 )
122121adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
( abs `  C
)  x.  0 )  =  0 )
12383adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 )  =  0 )
124123oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
( abs `  C
)  x.  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) )  =  ( ( abs `  C
)  x.  0 ) )
125 iffalse 3748 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 )  =  0 )
126125adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 )  =  0 )
127122, 124, 1263eqtr4d 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
( abs `  C
)  x.  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ) ,  0 ) )
128119, 127pm2.61dan 768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  C
)  x.  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ) ,  0 ) )
129128mpteq2dv 4299 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  ( ( abs `  C
)  x.  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) ,  0 ) ) )
130115, 129eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( RR  X.  { ( abs `  C
) } )  o F  x.  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) ,  0 ) ) )
131130fveq2d 5735 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
( RR  X.  {
( abs `  C
) } )  o F  x.  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 ) ) ) )
132103oveq2d 6100 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  C
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( abs `  C
)  x.  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) ) ) ) )
133110, 131, 1323eqtr3d 2478 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( ( abs `  C )  x.  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) ) ) ) )
134106, 104remulcld 9121 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  C
)  x.  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Re `  B )
) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  (
Im `  B )
) ,  0 ) ) ) ) )  e.  RR )
135133, 134eqeltrd 2512 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
136135adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
137106adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  C )  e.  RR )
138137, 48remulcld 9121 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) )  e.  RR )
139138rexrd 9139 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) )  e. 
RR* )
140107adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( abs `  C
) )
141137, 48, 140, 51mulge0d 9608 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) )
142 elxrge0 11013 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) )  e.  ( 0 [,]  +oo ) 
<->  ( ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) )  e.  RR*  /\  0  <_  ( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) ) )
143139, 141, 142sylanbrc 647 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
14435a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
145143, 144ifclda 3768 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  ( ( abs `  ( Re `  B
) )  +  ( abs `  ( Im
`  B ) ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
146145ad2antrr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
147 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 ) )
148146, 147fmptd 5896 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
1499abscld 12243 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
150137, 149remulcld 9121 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  C
)  x.  ( abs `  B ) )  e.  RR )
151150adantlr 697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  C
)  x.  ( abs `  B ) )  e.  RR )
152138adantlr 697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) )  e.  RR )
15322releabsd 12258 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) )  <_  ( abs `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) )
15411, 18, 21absdivd 12262 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( ( abs `  ( C  x.  B )
)  /  ( abs `  ( _i ^ k
) ) ) )
155 elfznn0 11088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  NN0 )
156 absexp 12114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( abs `  (
_i ^ k ) )  =  ( ( abs `  _i ) ^ k ) )
15714, 155, 156sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  ( abs `  ( _i ^
k ) )  =  ( ( abs `  _i ) ^ k ) )
158 absi 12096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( abs `  _i )  =  1
159158oveq1i 6094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( abs `  _i ) ^ k )  =  ( 1 ^ k
)
160 1exp 11414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
1 ^ k )  =  1 )
16112, 160syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
1 ^ k )  =  1 )
162159, 161syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
( abs `  _i ) ^ k )  =  1 )
163157, 162eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  ( abs `  ( _i ^
k ) )  =  1 )
164163oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
( abs `  ( C  x.  B )
)  /  ( abs `  ( _i ^ k
) ) )  =  ( ( abs `  ( C  x.  B )
)  /  1 ) )
165164ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  ( C  x.  B )
)  /  ( abs `  ( _i ^ k
) ) )  =  ( ( abs `  ( C  x.  B )
)  /  1 ) )
16610abscld 12243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( C  x.  B ) )  e.  RR )
167166recnd 9119 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( C  x.  B ) )  e.  CC )
168167adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( C  x.  B ) )  e.  CC )
169168div1d 9787 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  ( C  x.  B )
)  /  1 )  =  ( abs `  ( C  x.  B )
) )
170154, 165, 1693eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( abs `  ( C  x.  B )
) )
1714, 9absmuld 12261 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( C  x.  B ) )  =  ( ( abs `  C
)  x.  ( abs `  B ) ) )
172171adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( C  x.  B ) )  =  ( ( abs `  C
)  x.  ( abs `  B ) ) )
173170, 172eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( ( abs `  C
)  x.  ( abs `  B ) ) )
174153, 173breqtrd 4239 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) )  <_  ( ( abs `  C )  x.  ( abs `  B ) ) )
175 mulcl 9079 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  B )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
17614, 46, 175sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
_i  x.  ( Im `  B ) )  e.  CC )
17743, 176abstrid 12263 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( Re
`  B )  +  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) )  <_ 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
1789replimd 12007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  =  ( ( Re
`  B )  +  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) )
179178fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  =  ( abs `  (
( Re `  B
)  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) ) )
180 absmul 12104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  B )  e.  CC )  -> 
( abs `  (
_i  x.  ( Im `  B ) ) )  =  ( ( abs `  _i )  x.  ( abs `  ( Im `  B ) ) ) )
18114, 46, 180sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) )  =  ( ( abs `  _i )  x.  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) )
182158oveq1i 6094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( abs `  _i )  x.  ( abs `  (
Im `  B )
) )  =  ( 1  x.  ( abs `  ( Im `  B
) ) )
183181, 182syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) )  =  ( 1  x.  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) )
18447recnd 9119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( Im `  B ) )  e.  CC )
185184mulid2d 9111 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
1  x.  ( abs `  ( Im `  B
) ) )  =  ( abs `  (
Im `  B )
) )
186183, 185eqtr2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( Im `  B ) )  =  ( abs `  (
_i  x.  ( Im `  B ) ) ) )
187186oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) )  =  ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
188177, 179, 1873brtr4d 4245 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  <_ 
( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) )
189149, 48, 137, 140, 188lemul2ad 9956 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  C
)  x.  ( abs `  B ) )  <_ 
( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) )
190189adantlr 697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  C
)  x.  ( abs `  B ) )  <_ 
( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) )
19123, 151, 152, 174, 190letrd 9232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) )  <_  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) )
192141adantlr 697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) )
193 breq1 4218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  -> 
( ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) )  <_  (
( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) )  <->  if (
0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  <_ 
( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) ) )
194 breq1 4218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  -> 
( 0  <_  (
( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) )  <->  if (
0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  <_ 
( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) ) )
195193, 194ifboth 3772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) )  <_  ( ( abs `  C )  x.  ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) )  /\  0  <_  (
( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) )  ->  if ( 0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  <_ 
( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) )
196191, 192, 195syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  <_  ( ( abs `  C )  x.  ( ( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) )
197 iftrue 3747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
198197adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
199117adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 )  =  ( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) )
200196, 198, 1993brtr4d 4245 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  A , 
( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) ,  0 ) )
201200ex 425 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  A , 
( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) ,  0 ) ) )
20233a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
0  <_  0 )
203 iffalse 3748 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
204202, 203, 1253brtr4d 4245 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  A , 
( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) ,  0 ) )
205201, 204pm2.61d1 154 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  A , 
( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) ,  0 ) )
2062, 205syl5eqbr 4248 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 ) )
207206ralrimivw 2792 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) ,  0 ) )
20861a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  RR  e.  _V )
209 eqidd 2439 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) ) )
210 eqidd 2439 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) ,  0 ) ) )
211208, 39, 146, 209, 210ofrfval2 6326 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  o R  <_  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 ) )  <->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 ) ) )
212207, 211mpbird 225 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  o R  <_  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 ) ) )
213 itg2le 19634 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  o R  <_  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  (
( abs `  (
Re `  B )
)  +  ( abs `  ( Im `  B
) ) ) ) ,  0 ) ) ) )
21441, 148, 212, 213syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) ,  0 ) ) ) )
215 itg2lecl 19633 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C
)  x.  ( ( abs `  ( Re
`  B ) )  +  ( abs `  (
Im `  B )
) ) ) ,  0 ) ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
21641, 136, 214, 215syl3anc 1185 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
217216ralrimiva 2791 . 2  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
218 eqidd 2439 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) ) )
219 eqidd 2439 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) )
220218, 219, 10isibl2 19661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
2211, 217, 220mpbir2and 890 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e.  L ^1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   _Vcvv 2958   ifcif 3741   {csn 3816   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269    X. cxp 4879   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    o Fcof 6306    o Rcofr 6307   CCcc 8993   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996   _ici 8997    + caddc 8998    x. cmul 9000    +oocpnf 9122   RR*cxr 9124    <_ cle 9126    / cdiv 9682   3c3 10055   NN0cn0 10226   ZZcz 10287   [,)cico 10923   [,]cicc 10924   ...cfz 11048   ^cexp 11387   Recre 11907   Imcim 11908   abscabs 12044  MblFncmbf 19511   S.2citg2 19513   L ^1cibl 19514
This theorem is referenced by:  itgmulc2nclem1  26285  itgmulc2nclem2  26286  itgmulc2nc  26287  itgabsnc  26288  ftc1anclem6  26299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-disj 4186  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-ofr 6309  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ioo 10925  df-ico 10927  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-sum 12485  df-rest 13655  df-topgen 13672  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-cmp 17455  df-ovol 19366  df-vol 19367  df-mbf 19516  df-itg1 19517  df-itg2 19518  df-ibl 19519  df-0p 19565
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