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Theorem iblneg 19651
Description: The negative of an integrable function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgcnval.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgcnval.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
Assertion
Ref Expression
iblneg  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u B )  e.  L ^1 )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x    x, V
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem iblneg
StepHypRef Expression
1 itgcnval.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
2 iblmbf 19616 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
31, 2syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
4 itgcnval.1 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
53, 4mbfmptcl 19486 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
65renegd 11973 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  -u B )  =  -u ( Re `  B ) )
76breq2d 4188 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  ( Re `  -u B )  <->  0  <_  -u ( Re `  B ) ) )
8 eqidd 2409 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  =  0 )
97, 6, 8ifbieq12d 3725 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  -u B ) ,  ( Re `  -u B ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u ( Re
`  B ) , 
-u ( Re `  B ) ,  0 ) )
109mpteq2dva 4259 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_ 
( Re `  -u B
) ,  ( Re
`  -u B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Re `  B
) ,  -u (
Re `  B ) ,  0 ) ) )
115iblcn 19647 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L ^1 
/\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L ^1 ) ) )
121, 11mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L ^1  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L ^1 ) )
1312simpld 446 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e.  L ^1 )
145recld 11958 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
1514iblre 19642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  (
Re `  B ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Re `  B ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1 ) ) )
1613, 15mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  ( Re `  B ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Re `  B
) ,  -u (
Re `  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1 ) )
1716simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Re `  B
) ,  -u (
Re `  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1 )
1810, 17eqeltrd 2482 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_ 
( Re `  -u B
) ,  ( Re
`  -u B ) ,  0 ) )  e.  L ^1 )
196negeqd 9260 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Re `  -u B )  =  -u -u ( Re `  B ) )
2014recnd 9074 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  CC )
2120negnegd 9362 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u -u (
Re `  B )  =  ( Re `  B ) )
2219, 21eqtrd 2440 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Re `  -u B )  =  ( Re `  B ) )
2322breq2d 4188 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  -u ( Re
`  -u B )  <->  0  <_  ( Re `  B ) ) )
2423, 22, 8ifbieq12d 3725 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u (
Re `  -u B ) ,  -u ( Re `  -u B ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  B ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) )
2524mpteq2dva 4259 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Re `  -u B
) ,  -u (
Re `  -u B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  ( Re `  B ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
2616simpld 446 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_ 
( Re `  B
) ,  ( Re
`  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1 )
2725, 26eqeltrd 2482 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Re `  -u B
) ,  -u (
Re `  -u B ) ,  0 ) )  e.  L ^1 )
285negcld 9358 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u B  e.  CC )
2928recld 11958 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  -u B )  e.  RR )
3029iblre 19642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  -u B ) )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  (
Re `  -u B ) ,  ( Re `  -u B ) ,  0 ) )  e.  L ^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Re `  -u B ) ,  -u ( Re `  -u B
) ,  0 ) )  e.  L ^1 ) ) )
3118, 27, 30mpbir2and 889 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  -u B
) )  e.  L ^1 )
325imnegd 11974 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  -u B )  =  -u ( Im `  B ) )
3332breq2d 4188 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  ( Im `  -u B )  <->  0  <_  -u ( Im `  B ) ) )
3433, 32, 8ifbieq12d 3725 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Im `  -u B ) ,  ( Im `  -u B ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u ( Im
`  B ) , 
-u ( Im `  B ) ,  0 ) )
3534mpteq2dva 4259 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_ 
( Im `  -u B
) ,  ( Im
`  -u B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Im `  B
) ,  -u (
Im `  B ) ,  0 ) ) )
3612simprd 450 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  e.  L ^1 )
375imcld 11959 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
3837iblre 19642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  (
Im `  B ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Im `  B ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1 ) ) )
3936, 38mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  ( Im `  B ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Im `  B
) ,  -u (
Im `  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1 ) )
4039simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Im `  B
) ,  -u (
Im `  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1 )
4135, 40eqeltrd 2482 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_ 
( Im `  -u B
) ,  ( Im
`  -u B ) ,  0 ) )  e.  L ^1 )
4232negeqd 9260 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Im `  -u B )  =  -u -u ( Im `  B ) )
4337recnd 9074 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  CC )
4443negnegd 9362 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u -u (
Im `  B )  =  ( Im `  B ) )
4542, 44eqtrd 2440 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Im `  -u B )  =  ( Im `  B ) )
4645breq2d 4188 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  -u ( Im
`  -u B )  <->  0  <_  ( Im `  B ) ) )
4746, 45, 8ifbieq12d 3725 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u (
Im `  -u B ) ,  -u ( Im `  -u B ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Im `  B ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) )
4847mpteq2dva 4259 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Im `  -u B
) ,  -u (
Im `  -u B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  ( Im `  B ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
4939simpld 446 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_ 
( Im `  B
) ,  ( Im
`  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1 )
5048, 49eqeltrd 2482 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Im `  -u B
) ,  -u (
Im `  -u B ) ,  0 ) )  e.  L ^1 )
5128imcld 11959 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  -u B )  e.  RR )
5251iblre 19642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Im `  -u B ) )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  (
Im `  -u B ) ,  ( Im `  -u B ) ,  0 ) )  e.  L ^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Im `  -u B ) ,  -u ( Im `  -u B
) ,  0 ) )  e.  L ^1 ) ) )
5341, 50, 52mpbir2and 889 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  -u B
) )  e.  L ^1 )
5428iblcn 19647 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  -u B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( Re `  -u B
) )  e.  L ^1  /\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  -u B ) )  e.  L ^1 ) ) )
5531, 53, 54mpbir2and 889 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u B )  e.  L ^1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1721   ifcif 3703   class class class wbr 4176    e. cmpt 4230   ` cfv 5417   0cc0 8950    <_ cle 9081   -ucneg 9252   Recre 11861   Imcim 11862  MblFncmbf 19463   L ^1cibl 19466
This theorem is referenced by:  itgneg  19652  iblsub  19670  itgsub  19674  iblsubnc  26169  itgsubnc  26170
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028  ax-addf 9029
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-disj 4147  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-of 6268  df-ofr 6269  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-pm 6984  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-sup 7408  df-oi 7439  df-card 7786  df-cda 8008  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-q 10535  df-rp 10573  df-xadd 10671  df-ioo 10880  df-ico 10882  df-icc 10883  df-fz 11004  df-fzo 11095  df-fl 11161  df-seq 11283  df-exp 11342  df-hash 11578  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-clim 12241  df-sum 12439  df-xmet 16654  df-met 16655  df-ovol 19318  df-vol 19319  df-mbf 19469  df-itg1 19470  df-itg2 19471  df-ibl 19472  df-0p 19519
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