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Theorem iblneg 19157
Description: The negative of an integrable function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgcnval.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgcnval.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
Assertion
Ref Expression
iblneg  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u B )  e.  L ^1 )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x    x, V
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem iblneg
StepHypRef Expression
1 itgcnval.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
2 iblmbf 19122 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
31, 2syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
4 itgcnval.1 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
53, 4mbfmptcl 18992 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
65renegd 11694 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  -u B )  =  -u ( Re `  B ) )
76breq2d 4035 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  ( Re `  -u B )  <->  0  <_  -u ( Re `  B ) ) )
8 eqidd 2284 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  =  0 )
97, 6, 8ifbieq12d 3587 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  -u B ) ,  ( Re `  -u B ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u ( Re
`  B ) , 
-u ( Re `  B ) ,  0 ) )
109mpteq2dva 4106 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_ 
( Re `  -u B
) ,  ( Re
`  -u B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Re `  B
) ,  -u (
Re `  B ) ,  0 ) ) )
115iblcn 19153 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L ^1 
/\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L ^1 ) ) )
121, 11mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L ^1  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L ^1 ) )
1312simpld 445 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e.  L ^1 )
145recld 11679 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
1514iblre 19148 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  (
Re `  B ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Re `  B ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1 ) ) )
1613, 15mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  ( Re `  B ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Re `  B
) ,  -u (
Re `  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1 ) )
1716simprd 449 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Re `  B
) ,  -u (
Re `  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1 )
1810, 17eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_ 
( Re `  -u B
) ,  ( Re
`  -u B ) ,  0 ) )  e.  L ^1 )
196negeqd 9046 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Re `  -u B )  =  -u -u ( Re `  B ) )
2014recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  CC )
2120negnegd 9148 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u -u (
Re `  B )  =  ( Re `  B ) )
2219, 21eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Re `  -u B )  =  ( Re `  B ) )
2322breq2d 4035 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  -u ( Re
`  -u B )  <->  0  <_  ( Re `  B ) ) )
2423, 22, 8ifbieq12d 3587 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u (
Re `  -u B ) ,  -u ( Re `  -u B ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  B ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) )
2524mpteq2dva 4106 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Re `  -u B
) ,  -u (
Re `  -u B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  ( Re `  B ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
2616simpld 445 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_ 
( Re `  B
) ,  ( Re
`  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1 )
2725, 26eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Re `  -u B
) ,  -u (
Re `  -u B ) ,  0 ) )  e.  L ^1 )
285negcld 9144 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u B  e.  CC )
2928recld 11679 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  -u B )  e.  RR )
3029iblre 19148 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  -u B ) )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  (
Re `  -u B ) ,  ( Re `  -u B ) ,  0 ) )  e.  L ^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Re `  -u B ) ,  -u ( Re `  -u B
) ,  0 ) )  e.  L ^1 ) ) )
3118, 27, 30mpbir2and 888 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  -u B
) )  e.  L ^1 )
325imnegd 11695 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  -u B )  =  -u ( Im `  B ) )
3332breq2d 4035 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  ( Im `  -u B )  <->  0  <_  -u ( Im `  B ) ) )
3433, 32, 8ifbieq12d 3587 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Im `  -u B ) ,  ( Im `  -u B ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u ( Im
`  B ) , 
-u ( Im `  B ) ,  0 ) )
3534mpteq2dva 4106 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_ 
( Im `  -u B
) ,  ( Im
`  -u B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Im `  B
) ,  -u (
Im `  B ) ,  0 ) ) )
3612simprd 449 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  e.  L ^1 )
375imcld 11680 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
3837iblre 19148 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  (
Im `  B ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Im `  B ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1 ) ) )
3936, 38mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  ( Im `  B ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Im `  B
) ,  -u (
Im `  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1 ) )
4039simprd 449 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Im `  B
) ,  -u (
Im `  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1 )
4135, 40eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_ 
( Im `  -u B
) ,  ( Im
`  -u B ) ,  0 ) )  e.  L ^1 )
4232negeqd 9046 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Im `  -u B )  =  -u -u ( Im `  B ) )
4337recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  CC )
4443negnegd 9148 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u -u (
Im `  B )  =  ( Im `  B ) )
4542, 44eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Im `  -u B )  =  ( Im `  B ) )
4645breq2d 4035 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  -u ( Im
`  -u B )  <->  0  <_  ( Im `  B ) ) )
4746, 45, 8ifbieq12d 3587 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u (
Im `  -u B ) ,  -u ( Im `  -u B ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Im `  B ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) )
4847mpteq2dva 4106 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Im `  -u B
) ,  -u (
Im `  -u B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  ( Im `  B ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
4939simpld 445 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_ 
( Im `  B
) ,  ( Im
`  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1 )
5048, 49eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Im `  -u B
) ,  -u (
Im `  -u B ) ,  0 ) )  e.  L ^1 )
5128imcld 11680 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  -u B )  e.  RR )
5251iblre 19148 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Im `  -u B ) )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  (
Im `  -u B ) ,  ( Im `  -u B ) ,  0 ) )  e.  L ^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Im `  -u B ) ,  -u ( Im `  -u B
) ,  0 ) )  e.  L ^1 ) ) )
5341, 50, 52mpbir2and 888 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  -u B
) )  e.  L ^1 )
5428iblcn 19153 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  -u B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( Re `  -u B
) )  e.  L ^1  /\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  -u B ) )  e.  L ^1 ) ) )
5531, 53, 54mpbir2and 888 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u B )  e.  L ^1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1684   ifcif 3565   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ` cfv 5255   0cc0 8737    <_ cle 8868   -ucneg 9038   Recre 11582   Imcim 11583  MblFncmbf 18969   L ^1cibl 18972
This theorem is referenced by:  itgneg  19158  iblsub  19176  itgsub  19180
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xadd 10453  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-xmet 16373  df-met 16374  df-ovol 18824  df-vol 18825  df-mbf 18975  df-itg1 18976  df-itg2 18977  df-ibl 18978  df-0p 19025
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