Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iblrelem Unicode version

Theorem iblrelem 19550
 Description: Integrability of a real function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
iblrelem.1
Assertion
Ref Expression
iblrelem MblFn
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem iblrelem
StepHypRef Expression
1 eqid 2388 . . 3
2 eqid 2388 . . 3
3 eqid 2388 . . 3
4 eqid 2388 . . 3
5 iblrelem.1 . . 3
61, 2, 3, 4, 5iblcnlem 19548 . 2 MblFn
75reim0d 11958 . . . . . . . . 9
87itgvallem3 19545 . . . . . . . 8
9 0re 9025 . . . . . . . 8
108, 9syl6eqel 2476 . . . . . . 7
117negeqd 9233 . . . . . . . . . 10
12 neg0 9280 . . . . . . . . . 10
1311, 12syl6eq 2436 . . . . . . . . 9
1413itgvallem3 19545 . . . . . . . 8
1514, 9syl6eqel 2476 . . . . . . 7
1610, 15jca 519 . . . . . 6
1716biantrud 494 . . . . 5
185rered 11957 . . . . . . . . . 10
1918ibllem 19524 . . . . . . . . 9
2019mpteq2dv 4238 . . . . . . . 8
2120fveq2d 5673 . . . . . . 7
2221eleq1d 2454 . . . . . 6
2318negeqd 9233 . . . . . . . . . 10
2423ibllem 19524 . . . . . . . . 9
2524mpteq2dv 4238 . . . . . . . 8
2625fveq2d 5673 . . . . . . 7
2726eleq1d 2454 . . . . . 6
2822, 27anbi12d 692 . . . . 5
2917, 28bitr3d 247 . . . 4
3029anbi2d 685 . . 3 MblFn MblFn
31 3anass 940 . . 3 MblFn MblFn
32 3anass 940 . . 3 MblFn MblFn
3330, 31, 323bitr4g 280 . 2 MblFn MblFn
346, 33bitrd 245 1 MblFn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wcel 1717  cif 3683   class class class wbr 4154   cmpt 4208  cfv 5395  cr 8923  cc0 8924   cle 9055  cneg 9225  cre 11830  cim 11831  MblFncmbf 19374  citg2 19376  cibl 19377 This theorem is referenced by:  iblpos  19552  iblre  19553  itgrevallem1  19554  itgreval  19556  itgrecl  19557  iblcn  19558  i1fibl  19567  itgle  19569  iblabslem  19587  iblabsnclem  25969 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-disj 4125  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-ofr 6246  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-cda 7982  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xadd 10644  df-ioo 10853  df-ico 10855  df-icc 10856  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-fl 11130  df-seq 11252  df-exp 11311  df-hash 11547  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-clim 12210  df-sum 12408  df-xmet 16620  df-met 16621  df-ovol 19229  df-vol 19230  df-mbf 19380  df-itg1 19381  df-itg2 19382  df-ibl 19383  df-0p 19430
 Copyright terms: Public domain W3C validator