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Theorem iblss2 19658
Description: Change the domain of an integrability predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iblss2.1  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
iblss2.2  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  vol )
iblss2.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
iblss2.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
0 )
iblss2.5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )
Assertion
Ref Expression
iblss2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  L ^1 )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x    x, V
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem iblss2
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iblss2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
2 iblss2.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  vol )
3 iblss2.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
4 iblss2.4 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
0 )
5 iblss2.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )
6 iblmbf 19620 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 
->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
75, 6syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
81, 2, 3, 4, 7mbfss 19499 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn )
91adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  A  C_  B )
109sselda 3316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  B )
11 iftrue 3713 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  B  ->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
13 iftrue 3713 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
1413adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
1512, 14eqtr4d 2447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) )
16 ifid 3739 . . . . . . . . 9  |-  if ( x  e.  B , 
0 ,  0 )  =  0
17 simplll 735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  ph )
18 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
19 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  -.  x  e.  A )
2018, 19eldifd 3299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  ( B  \  A
) )
2117, 20, 4syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  C  =  0 )
2221oveq1d 6063 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  ( C  /  ( _i ^
k ) )  =  ( 0  /  (
_i ^ k ) ) )
23 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  k  e.  ( 0 ... 3
) )
24 elfzelz 11023 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  ZZ )
25 ax-icn 9013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  _i  e.  CC
26 ine0 9433 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  _i  =/=  0
27 expclz 11369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
28 expne0i 11375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
2927, 28div0d 9753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
0  /  ( _i
^ k ) )  =  0 )
3025, 26, 29mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
0  /  ( _i
^ k ) )  =  0 )
3123, 24, 303syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  (
0  /  ( _i
^ k ) )  =  0 )
3222, 31eqtrd 2444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  ( C  /  ( _i ^
k ) )  =  0 )
3332fveq2d 5699 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re ` 
0 ) )
34 re0 11920 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Re
`  0 )  =  0
3533, 34syl6eq 2460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  =  0 )
3635ifeq1d 3721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ,  0 ) )
37 ifid 3739 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ,  0 )  =  0
3836, 37syl6eq 2460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3 ) )  /\  -.  x  e.  A )  /\  x  e.  B )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  0 )
3938ifeq1da 3732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( x  e.  B ,  0 ,  0 ) )
40 iffalse 3714 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
4140adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
4216, 39, 413eqtr4a 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) )
4315, 42pm2.61dan 767 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) )
44 ifan 3746 . . . . . . 7  |-  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )
45 ifan 3746 . . . . . . 7  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )
4643, 44, 453eqtr4g 2469 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
4746mpteq2dv 4264 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
4847fveq2d 5699 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
49 eqidd 2413 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
50 eqidd 2413 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) )
5149, 50, 5, 3iblitg 19621 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
5224, 51sylan2 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
5348, 52eqeltrd 2486 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
5453ralrimiva 2757 . 2  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
55 eqidd 2413 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
56 eqidd 2413 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) )
57 elun 3456 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( A  u.  ( B  \  A ) )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  A
) ) )
58 undif2 3672 . . . . . . . 8  |-  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  ( A  u.  B
)
59 ssequn1 3485 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  B  <->  ( A  u.  B )  =  B )
601, 59sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  =  B )
6158, 60syl5eq 2456 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  B )
6261eleq2d 2479 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  ( B 
\  A ) )  <-> 
x  e.  B ) )
6357, 62syl5bbr 251 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  A
) )  <->  x  e.  B ) )
6463biimpar 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  A ) ) )
657, 3mbfmptcl 19490 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
66 0cn 9048 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
674, 66syl6eqel 2500 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  e.  CC )
6865, 67jaodan 761 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  A
) ) )  ->  C  e.  CC )
6964, 68syldan 457 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  CC )
7055, 56, 69isibl2 19619 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  B  |->  C )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
718, 54, 70mpbir2and 889 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  L ^1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   A.wral 2674    \ cdif 3285    u. cun 3286    C_ wss 3288   ifcif 3707   class class class wbr 4180    e. cmpt 4234   dom cdm 4845   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   CCcc 8952   RRcr 8953   0cc0 8954   _ici 8956    <_ cle 9085    / cdiv 9641   3c3 10014   ZZcz 10246   ...cfz 11007   ^cexp 11345   Recre 11865   volcvol 19321  MblFncmbf 19467   S.2citg2 19469   L ^1cibl 19470
This theorem is referenced by:  itgss3  19667  itgless  19669  areacirc  26195
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-cda 8012  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xadd 10675  df-ioo 10884  df-ico 10886  df-icc 10887  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-fl 11165  df-mod 11214  df-seq 11287  df-exp 11346  df-hash 11582  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-clim 12245  df-sum 12443  df-xmet 16658  df-met 16659  df-ovol 19322  df-vol 19323  df-mbf 19473  df-ibl 19476
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