Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iblulm Structured version   Unicode version

Theorem iblulm 20325
 Description: A uniform limit of integrable functions is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
itgulm.z
itgulm.m
itgulm.f
itgulm.u
itgulm.s
Assertion
Ref Expression
iblulm

Proof of Theorem iblulm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgulm.z . . . 4
2 itgulm.m . . . 4
3 itgulm.f . . . . . 6
4 ffn 5593 . . . . . 6
53, 4syl 16 . . . . 5
6 itgulm.u . . . . 5
7 ulmf2 20302 . . . . 5
85, 6, 7syl2anc 644 . . . 4
9 eqidd 2439 . . . 4
10 eqidd 2439 . . . 4
11 1rp 10618 . . . . 5
1211a1i 11 . . . 4
131, 2, 8, 9, 10, 6, 12ulmi 20304 . . 3
141r19.2uz 12157 . . 3
1513, 14syl 16 . 2
16 ulmcl 20299 . . . . . . 7
176, 16syl 16 . . . . . 6
1817adantr 453 . . . . 5
1918feqmptd 5781 . . . 4
208ffvelrnda 5872 . . . . . . . . 9
21 elmapi 7040 . . . . . . . . 9
2220, 21syl 16 . . . . . . . 8
2322adantrr 699 . . . . . . 7
2423ffvelrnda 5872 . . . . . 6
2518ffvelrnda 5872 . . . . . 6
2624, 25nncand 9418 . . . . 5
2726mpteq2dva 4297 . . . 4
2819, 27eqtr4d 2473 . . 3
2923feqmptd 5781 . . . . 5
303ffvelrnda 5872 . . . . . 6
3130adantrr 699 . . . . 5
3229, 31eqeltrrd 2513 . . . 4
3324, 25subcld 9413 . . . 4
34 ulmscl 20297 . . . . . . . . 9
356, 34syl 16 . . . . . . . 8
3635adantr 453 . . . . . . 7
3736, 24, 25, 29, 19offval2 6324 . . . . . 6
38 iblmbf 19661 . . . . . . . 8 MblFn
3931, 38syl 16 . . . . . . 7 MblFn
40 iblmbf 19661 . . . . . . . . . . 11 MblFn
4140ssriv 3354 . . . . . . . . . 10 MblFn
42 fss 5601 . . . . . . . . . 10 MblFn MblFn
433, 41, 42sylancl 645 . . . . . . . . 9 MblFn
441, 2, 43, 6mbfulm 20324 . . . . . . . 8 MblFn
4544adantr 453 . . . . . . 7 MblFn
4639, 45mbfsub 19556 . . . . . 6 MblFn
4737, 46eqeltrrd 2513 . . . . 5 MblFn
48 eqid 2438 . . . . . . . . 9
4933, 48fmptd 5895 . . . . . . . 8
50 fdm 5597 . . . . . . . 8
5149, 50syl 16 . . . . . . 7
5251fveq2d 5734 . . . . . 6
53 itgulm.s . . . . . . 7
5453adantr 453 . . . . . 6
5552, 54eqeltrd 2512 . . . . 5
56 1re 9092 . . . . . 6
5722ffvelrnda 5872 . . . . . . . . . . . . 13
5817adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14
5958ffvelrnda 5872 . . . . . . . . . . . . 13
6057, 59subcld 9413 . . . . . . . . . . . 12
6160abscld 12240 . . . . . . . . . . 11
62 ltle 9165 . . . . . . . . . . 11
6361, 56, 62sylancl 645 . . . . . . . . . 10
64 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . 15
65 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . 15
6664, 65oveq12d 6101 . . . . . . . . . . . . . 14
67 ovex 6108 . . . . . . . . . . . . . 14
6866, 48, 67fvmpt 5808 . . . . . . . . . . . . 13
6968adantl 454 . . . . . . . . . . . 12
7069fveq2d 5734 . . . . . . . . . . 11
7170breq1d 4224 . . . . . . . . . 10
7263, 71sylibrd 227 . . . . . . . . 9
7372ralimdva 2786 . . . . . . . 8
7473impr 604 . . . . . . 7
7551raleqdv 2912 . . . . . . 7
7674, 75mpbird 225 . . . . . 6
77 breq2 4218 . . . . . . . 8
7877ralbidv 2727 . . . . . . 7
7978rspcev 3054 . . . . . 6
8056, 76, 79sylancr 646 . . . . 5
81 bddibl 19733 . . . . 5 MblFn
8247, 55, 80, 81syl3anc 1185 . . . 4
8324, 32, 33, 82iblsub 19715 . . 3
8428, 83eqeltrd 2512 . 2
8515, 84rexlimddv 2836 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  wrex 2708  cvv 2958   wss 3322   class class class wbr 4214   cmpt 4268   cdm 4880   wfn 5451  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083   cof 6305   cmap 7020  cc 8990  cr 8991  c1 8993   clt 9122   cle 9123   cmin 9293  cz 10284  cuz 10490  crp 10614  cabs 12041  cvol 19362  MblFncmbf 19508  cibl 19511  culm 20294 This theorem is referenced by:  itgulm  20326  itgulm2  20327 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cc 8317  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-disj 4185  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-ofr 6308  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-omul 6731  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-acn 7831  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-ioc 10923  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-limsup 12267  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-cmp 17452  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354  df-cncf 18910  df-ovol 19363  df-vol 19364  df-mbf 19514  df-itg1 19515  df-itg2 19516  df-ibl 19517  df-0p 19564  df-ulm 20295
 Copyright terms: Public domain W3C validator