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Theorem icc0 10956
Description: An empty open interval of extended reals. (Contributed by FL, 30-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
icc0  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A [,] B
)  =  (/)  <->  B  <  A ) )

Proof of Theorem icc0
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccval 10947 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A [,] B )  =  { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) } )
21eqeq1d 2443 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A [,] B
)  =  (/)  <->  { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) }  =  (/) ) )
3 df-ne 2600 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) }  =/=  (/)  <->  -.  { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) }  =  (/) )
4 rabn0 3639 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) }  =/=  (/)  <->  E. x  e.  RR*  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) )
53, 4bitr3i 243 . . . . 5  |-  ( -. 
{ x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) }  =  (/)  <->  E. x  e.  RR*  ( A  <_  x  /\  x  <_  B
) )
6 xrletr 10740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  A  <_  B
) )
763com23 1159 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  x  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  A  <_  B
) )
873expa 1153 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  x  e.  RR* )  ->  ( ( A  <_  x  /\  x  <_  B
)  ->  A  <_  B ) )
98rexlimdva 2822 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  A  <_  B ) )
10 simp2 958 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  RR* )
11 simp3 959 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  A  <_  B )
12 xrleid 10735 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  RR*  ->  B  <_  B )
13123ad2ant2 979 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  B  <_  B )
14 breq2 4208 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  B  ->  ( A  <_  x  <->  A  <_  B ) )
15 breq1 4207 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  B  ->  (
x  <_  B  <->  B  <_  B ) )
1614, 15anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  <_  x  /\  x  <_  B )  <-> 
( A  <_  B  /\  B  <_  B ) ) )
1716rspcev 3044 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  ( A  <_  B  /\  B  <_  B ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) )
1810, 11, 13, 17syl12anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  E. x  e.  RR*  ( A  <_  x  /\  x  <_  B
) )
19183expia 1155 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  ->  E. x  e.  RR*  ( A  <_  x  /\  x  <_  B
) ) )
209, 19impbid 184 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A  <_  x  /\  x  <_  B )  <->  A  <_  B ) )
215, 20syl5bb 249 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( -.  { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) }  =  (/)  <->  A  <_  B ) )
22 xrlenlt 9135 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
2321, 22bitrd 245 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( -.  { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) }  =  (/)  <->  -.  B  <  A ) )
2423con4bid 285 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) }  =  (/)  <->  B  <  A ) )
252, 24bitrd 245 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A [,] B
)  =  (/)  <->  B  <  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   E.wrex 2698   {crab 2701   (/)c0 3620   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073   RR*cxr 9111    < clt 9112    <_ cle 9113   [,]cicc 10911
This theorem is referenced by:  iccntr  18844  icccmp  18848  cniccbdd  19350  iccvolcl  19453  itgioo  19699  c1lip1  19873  pserulm  20330
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-icc 10915
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