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Theorem icc0 10889
Description: An empty open interval of extended reals. (Contributed by FL, 30-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
icc0  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A [,] B
)  =  (/)  <->  B  <  A ) )

Proof of Theorem icc0
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccval 10880 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A [,] B )  =  { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) } )
21eqeq1d 2388 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A [,] B
)  =  (/)  <->  { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) }  =  (/) ) )
3 df-ne 2545 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) }  =/=  (/)  <->  -.  { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) }  =  (/) )
4 rabn0 3583 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) }  =/=  (/)  <->  E. x  e.  RR*  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) )
53, 4bitr3i 243 . . . . 5  |-  ( -. 
{ x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) }  =  (/)  <->  E. x  e.  RR*  ( A  <_  x  /\  x  <_  B
) )
6 xrletr 10673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  A  <_  B
) )
763com23 1159 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  x  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  A  <_  B
) )
873expa 1153 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  x  e.  RR* )  ->  ( ( A  <_  x  /\  x  <_  B
)  ->  A  <_  B ) )
98rexlimdva 2766 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  A  <_  B ) )
10 simp2 958 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  RR* )
11 simp3 959 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  A  <_  B )
12 xrleid 10668 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  RR*  ->  B  <_  B )
13123ad2ant2 979 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  B  <_  B )
14 breq2 4150 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  B  ->  ( A  <_  x  <->  A  <_  B ) )
15 breq1 4149 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  B  ->  (
x  <_  B  <->  B  <_  B ) )
1614, 15anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  <_  x  /\  x  <_  B )  <-> 
( A  <_  B  /\  B  <_  B ) ) )
1716rspcev 2988 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  ( A  <_  B  /\  B  <_  B ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) )
1810, 11, 13, 17syl12anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  E. x  e.  RR*  ( A  <_  x  /\  x  <_  B
) )
19183expia 1155 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  ->  E. x  e.  RR*  ( A  <_  x  /\  x  <_  B
) ) )
209, 19impbid 184 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A  <_  x  /\  x  <_  B )  <->  A  <_  B ) )
215, 20syl5bb 249 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( -.  { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) }  =  (/)  <->  A  <_  B ) )
22 xrlenlt 9069 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
2321, 22bitrd 245 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( -.  { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) }  =  (/)  <->  -.  B  <  A ) )
2423con4bid 285 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) }  =  (/)  <->  B  <  A ) )
252, 24bitrd 245 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A [,] B
)  =  (/)  <->  B  <  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2543   E.wrex 2643   {crab 2646   (/)c0 3564   class class class wbr 4146  (class class class)co 6013   RR*cxr 9045    < clt 9046    <_ cle 9047   [,]cicc 10844
This theorem is referenced by:  iccntr  18716  icccmp  18720  cniccbdd  19218  iccvolcl  19321  itgioo  19567  c1lip1  19741  pserulm  20198
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-icc 10848
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