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Theorem icc0 10720
Description: An empty open interval of extended reals. (Contributed by FL, 30-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
icc0  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A [,] B
)  =  (/)  <->  B  <  A ) )

Proof of Theorem icc0
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccval 10711 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A [,] B )  =  { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) } )
21eqeq1d 2304 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A [,] B
)  =  (/)  <->  { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) }  =  (/) ) )
3 df-ne 2461 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) }  =/=  (/)  <->  -.  { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) }  =  (/) )
4 rabn0 3487 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) }  =/=  (/)  <->  E. x  e.  RR*  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) )
53, 4bitr3i 242 . . . . 5  |-  ( -. 
{ x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) }  =  (/)  <->  E. x  e.  RR*  ( A  <_  x  /\  x  <_  B
) )
6 xrletr 10505 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  A  <_  B
) )
763com23 1157 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  x  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  A  <_  B
) )
873expa 1151 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  x  e.  RR* )  ->  ( ( A  <_  x  /\  x  <_  B
)  ->  A  <_  B ) )
98rexlimdva 2680 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  A  <_  B ) )
10 simp2 956 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  RR* )
11 simp3 957 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  A  <_  B )
12 xrleid 10500 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  RR*  ->  B  <_  B )
13123ad2ant2 977 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  B  <_  B )
14 breq2 4043 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  B  ->  ( A  <_  x  <->  A  <_  B ) )
15 breq1 4042 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  B  ->  (
x  <_  B  <->  B  <_  B ) )
1614, 15anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  <_  x  /\  x  <_  B )  <-> 
( A  <_  B  /\  B  <_  B ) ) )
1716rspcev 2897 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  ( A  <_  B  /\  B  <_  B ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) )
1810, 11, 13, 17syl12anc 1180 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  E. x  e.  RR*  ( A  <_  x  /\  x  <_  B
) )
19183expia 1153 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  ->  E. x  e.  RR*  ( A  <_  x  /\  x  <_  B
) ) )
209, 19impbid 183 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A  <_  x  /\  x  <_  B )  <->  A  <_  B ) )
215, 20syl5bb 248 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( -.  { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) }  =  (/)  <->  A  <_  B ) )
22 xrlenlt 8906 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
2321, 22bitrd 244 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( -.  { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) }  =  (/)  <->  -.  B  <  A ) )
2423con4bid 284 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) }  =  (/)  <->  B  <  A ) )
252, 24bitrd 244 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A [,] B
)  =  (/)  <->  B  <  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   E.wrex 2557   {crab 2560   (/)c0 3468   class class class wbr 4039  (class class class)co 5874   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884   [,]cicc 10675
This theorem is referenced by:  iccntr  18342  icccmp  18346  cniccbdd  18837  iccvolcl  18940  itgioo  19186  c1lip1  19360  pserulm  19814  intvconlem1  25806
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-icc 10679
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