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Theorem iccbnd 26540
Description: A closed interval in  RR is bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iccbnd.1  |-  J  =  ( A [,] B
)
iccbnd.2  |-  M  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( J  X.  J ) )
Assertion
Ref Expression
iccbnd  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  M  e.  ( Bnd `  J ) )

Proof of Theorem iccbnd
Dummy variables  x  r  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccbnd.2 . . 3  |-  M  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( J  X.  J ) )
2 cnmet 18798 . . . 4  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( Met `  CC )
3 iccbnd.1 . . . . . 6  |-  J  =  ( A [,] B
)
4 iccssre 10984 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
53, 4syl5eqss 3384 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  J  C_  RR )
6 ax-resscn 9039 . . . . 5  |-  RR  C_  CC
75, 6syl6ss 3352 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  J  C_  CC )
8 metres2 18385 . . . 4  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( Met `  CC )  /\  J  C_  CC )  ->  (
( abs  o.  -  )  |`  ( J  X.  J
) )  e.  ( Met `  J ) )
92, 7, 8sylancr 645 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( J  X.  J ) )  e.  ( Met `  J
) )
101, 9syl5eqel 2519 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  M  e.  ( Met `  J ) )
11 resubcl 9357 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
1211ancoms 440 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
131oveqi 6086 . . . . . . 7  |-  ( x M y )  =  ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( J  X.  J
) ) y )
14 ovres 6205 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  J  /\  y  e.  J )  ->  ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( J  X.  J
) ) y )  =  ( x ( abs  o.  -  )
y ) )
1514adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( J  X.  J
) ) y )  =  ( x ( abs  o.  -  )
y ) )
1613, 15syl5eq 2479 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( x M y )  =  ( x ( abs  o.  -  ) y ) )
177sselda 3340 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  J
)  ->  x  e.  CC )
187sselda 3340 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  J
)  ->  y  e.  CC )
1917, 18anim12dan 811 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )
20 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
2120cnmetdval 18797 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x ( abs 
o.  -  ) y
)  =  ( abs `  ( x  -  y
) ) )
2219, 21syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( x ( abs 
o.  -  ) y
)  =  ( abs `  ( x  -  y
) ) )
2316, 22eqtrd 2467 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( x M y )  =  ( abs `  ( x  -  y
) ) )
24 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
y  e.  J )
2524, 3syl6eleq 2525 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
y  e.  ( A [,] B ) )
26 elicc2 10967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( y  e.  ( A [,] B )  <-> 
( y  e.  RR  /\  A  <_  y  /\  y  <_  B ) ) )
2726adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( y  e.  ( A [,] B )  <-> 
( y  e.  RR  /\  A  <_  y  /\  y  <_  B ) ) )
2825, 27mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( y  e.  RR  /\  A  <_  y  /\  y  <_  B ) )
2928simp1d 969 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
y  e.  RR )
3012adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( B  -  A
)  e.  RR )
31 resubcl 9357 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( B  -  A
)  e.  RR )  ->  ( y  -  ( B  -  A
) )  e.  RR )
3229, 30, 31syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( y  -  ( B  -  A )
)  e.  RR )
33 simpll 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  ->  A  e.  RR )
34 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  ->  x  e.  J )
3534, 3syl6eleq 2525 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  ->  x  e.  ( A [,] B ) )
36 elicc2 10967 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( A [,] B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
3736adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( x  e.  ( A [,] B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
3835, 37mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )
3938simp1d 969 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  ->  x  e.  RR )
40 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  ->  B  e.  RR )
4128simp3d 971 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
y  <_  B )
4229, 40, 33, 41lesub1dd 9634 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( y  -  A
)  <_  ( B  -  A ) )
4329, 33, 30, 42subled 9621 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( y  -  ( B  -  A )
)  <_  A )
4438simp2d 970 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  ->  A  <_  x )
4532, 33, 39, 43, 44letrd 9219 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( y  -  ( B  -  A )
)  <_  x )
4629, 30readdcld 9107 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( y  +  ( B  -  A ) )  e.  RR )
4738simp3d 971 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  ->  x  <_  B )
4828simp2d 970 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  ->  A  <_  y )
4933, 29, 40, 48lesub2dd 9635 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( B  -  y
)  <_  ( B  -  A ) )
5040, 29, 30lesubadd2d 9617 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( ( B  -  y )  <_  ( B  -  A )  <->  B  <_  ( y  +  ( B  -  A
) ) ) )
5149, 50mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  ->  B  <_  ( y  +  ( B  -  A
) ) )
5239, 40, 46, 47, 51letrd 9219 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  ->  x  <_  ( y  +  ( B  -  A
) ) )
5339, 29, 30absdifled 12229 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( ( abs `  (
x  -  y ) )  <_  ( B  -  A )  <->  ( (
y  -  ( B  -  A ) )  <_  x  /\  x  <_  ( y  +  ( B  -  A ) ) ) ) )
5445, 52, 53mpbir2and 889 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( abs `  (
x  -  y ) )  <_  ( B  -  A ) )
5523, 54eqbrtrd 4224 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( x M y )  <_  ( B  -  A ) )
5655ralrimivva 2790 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( x M y )  <_  ( B  -  A ) )
57 breq2 4208 . . . . 5  |-  ( r  =  ( B  -  A )  ->  (
( x M y )  <_  r  <->  ( x M y )  <_ 
( B  -  A
) ) )
58572ralbidv 2739 . . . 4  |-  ( r  =  ( B  -  A )  ->  ( A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( x M y )  <_  r  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( x M y )  <_ 
( B  -  A
) ) )
5958rspcev 3044 . . 3  |-  ( ( ( B  -  A
)  e.  RR  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  J  (
x M y )  <_  ( B  -  A ) )  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  J  A. y  e.  J  (
x M y )  <_  r )
6012, 56, 59syl2anc 643 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  J  A. y  e.  J  (
x M y )  <_  r )
61 isbnd3b 26485 . 2  |-  ( M  e.  ( Bnd `  J
)  <->  ( M  e.  ( Met `  J
)  /\  E. r  e.  RR  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( x M y )  <_  r
) )
6210, 60, 61sylanbrc 646 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  M  e.  ( Bnd `  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698    C_ wss 3312   class class class wbr 4204    X. cxp 4868    |` cres 4872    o. ccom 4874   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981    + caddc 8985    <_ cle 9113    - cmin 9283   [,]cicc 10911   abscabs 12031   Metcme 16679   Bndcbnd 26467
This theorem is referenced by:  icccmpALT  26541
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-ec 6899  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-icc 10915  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-bnd 26479
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