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Theorem iccbnd 26240
Description: A closed interval in  RR is bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iccbnd.1  |-  J  =  ( A [,] B
)
iccbnd.2  |-  M  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( J  X.  J ) )
Assertion
Ref Expression
iccbnd  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  M  e.  ( Bnd `  J ) )

Proof of Theorem iccbnd
Dummy variables  x  r  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccbnd.2 . . 3  |-  M  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( J  X.  J ) )
2 cnmet 18677 . . . 4  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( Met `  CC )
3 iccbnd.1 . . . . . 6  |-  J  =  ( A [,] B
)
4 iccssre 10924 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
53, 4syl5eqss 3335 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  J  C_  RR )
6 ax-resscn 8980 . . . . 5  |-  RR  C_  CC
75, 6syl6ss 3303 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  J  C_  CC )
8 metres2 18301 . . . 4  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( Met `  CC )  /\  J  C_  CC )  ->  (
( abs  o.  -  )  |`  ( J  X.  J
) )  e.  ( Met `  J ) )
92, 7, 8sylancr 645 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( J  X.  J ) )  e.  ( Met `  J
) )
101, 9syl5eqel 2471 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  M  e.  ( Met `  J ) )
11 resubcl 9297 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
1211ancoms 440 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
131oveqi 6033 . . . . . . 7  |-  ( x M y )  =  ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( J  X.  J
) ) y )
14 ovres 6152 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  J  /\  y  e.  J )  ->  ( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( J  X.  J
) ) y )  =  ( x ( abs  o.  -  )
y ) )
1514adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( x ( ( abs  o.  -  )  |`  ( J  X.  J
) ) y )  =  ( x ( abs  o.  -  )
y ) )
1613, 15syl5eq 2431 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( x M y )  =  ( x ( abs  o.  -  ) y ) )
177sselda 3291 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  J
)  ->  x  e.  CC )
187sselda 3291 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  J
)  ->  y  e.  CC )
1917, 18anim12dan 811 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )
20 eqid 2387 . . . . . . . 8  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
2120cnmetdval 18676 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x ( abs 
o.  -  ) y
)  =  ( abs `  ( x  -  y
) ) )
2219, 21syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( x ( abs 
o.  -  ) y
)  =  ( abs `  ( x  -  y
) ) )
2316, 22eqtrd 2419 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( x M y )  =  ( abs `  ( x  -  y
) ) )
24 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
y  e.  J )
2524, 3syl6eleq 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
y  e.  ( A [,] B ) )
26 elicc2 10907 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( y  e.  ( A [,] B )  <-> 
( y  e.  RR  /\  A  <_  y  /\  y  <_  B ) ) )
2726adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( y  e.  ( A [,] B )  <-> 
( y  e.  RR  /\  A  <_  y  /\  y  <_  B ) ) )
2825, 27mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( y  e.  RR  /\  A  <_  y  /\  y  <_  B ) )
2928simp1d 969 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
y  e.  RR )
3012adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( B  -  A
)  e.  RR )
31 resubcl 9297 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( B  -  A
)  e.  RR )  ->  ( y  -  ( B  -  A
) )  e.  RR )
3229, 30, 31syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( y  -  ( B  -  A )
)  e.  RR )
33 simpll 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  ->  A  e.  RR )
34 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  ->  x  e.  J )
3534, 3syl6eleq 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  ->  x  e.  ( A [,] B ) )
36 elicc2 10907 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( A [,] B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
3736adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( x  e.  ( A [,] B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
3835, 37mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) )
3938simp1d 969 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  ->  x  e.  RR )
40 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  ->  B  e.  RR )
4128simp3d 971 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
y  <_  B )
4229, 40, 33, 41lesub1dd 9574 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( y  -  A
)  <_  ( B  -  A ) )
4329, 33, 30, 42subled 9561 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( y  -  ( B  -  A )
)  <_  A )
4438simp2d 970 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  ->  A  <_  x )
4532, 33, 39, 43, 44letrd 9159 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( y  -  ( B  -  A )
)  <_  x )
4629, 30readdcld 9048 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( y  +  ( B  -  A ) )  e.  RR )
4738simp3d 971 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  ->  x  <_  B )
4828simp2d 970 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  ->  A  <_  y )
4933, 29, 40, 48lesub2dd 9575 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( B  -  y
)  <_  ( B  -  A ) )
5040, 29, 30lesubadd2d 9557 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( ( B  -  y )  <_  ( B  -  A )  <->  B  <_  ( y  +  ( B  -  A
) ) ) )
5149, 50mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  ->  B  <_  ( y  +  ( B  -  A
) ) )
5239, 40, 46, 47, 51letrd 9159 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  ->  x  <_  ( y  +  ( B  -  A
) ) )
5339, 29, 30absdifled 12164 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( ( abs `  (
x  -  y ) )  <_  ( B  -  A )  <->  ( (
y  -  ( B  -  A ) )  <_  x  /\  x  <_  ( y  +  ( B  -  A ) ) ) ) )
5445, 52, 53mpbir2and 889 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( abs `  (
x  -  y ) )  <_  ( B  -  A ) )
5523, 54eqbrtrd 4173 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  -> 
( x M y )  <_  ( B  -  A ) )
5655ralrimivva 2741 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( x M y )  <_  ( B  -  A ) )
57 breq2 4157 . . . . 5  |-  ( r  =  ( B  -  A )  ->  (
( x M y )  <_  r  <->  ( x M y )  <_ 
( B  -  A
) ) )
58572ralbidv 2691 . . . 4  |-  ( r  =  ( B  -  A )  ->  ( A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( x M y )  <_  r  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( x M y )  <_ 
( B  -  A
) ) )
5958rspcev 2995 . . 3  |-  ( ( ( B  -  A
)  e.  RR  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  J  (
x M y )  <_  ( B  -  A ) )  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  J  A. y  e.  J  (
x M y )  <_  r )
6012, 56, 59syl2anc 643 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  J  A. y  e.  J  (
x M y )  <_  r )
61 isbnd3b 26185 . 2  |-  ( M  e.  ( Bnd `  J
)  <->  ( M  e.  ( Met `  J
)  /\  E. r  e.  RR  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( x M y )  <_  r
) )
6210, 60, 61sylanbrc 646 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  M  e.  ( Bnd `  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649   E.wrex 2650    C_ wss 3263   class class class wbr 4153    X. cxp 4816    |` cres 4820    o. ccom 4822   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   CCcc 8921   RRcr 8922    + caddc 8926    <_ cle 9054    - cmin 9223   [,]cicc 10851   abscabs 11966   Metcme 16613   Bndcbnd 26167
This theorem is referenced by:  icccmpALT  26241
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-ec 6843  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-sup 7381  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-icc 10855  df-seq 11251  df-exp 11310  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-xmet 16619  df-met 16620  df-bl 16621  df-bnd 26179
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