MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icccld Unicode version

Theorem icccld 18276
Description: Closed intervals are closed sets of the standard topology on  RR. (Contributed by FL, 14-Sep-2007.)
Assertion
Ref Expression
icccld  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )

Proof of Theorem icccld
StepHypRef Expression
1 difreicc 10767 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( RR  \  ( A [,] B ) )  =  ( (  -oo (,) A )  u.  ( B (,)  +oo ) ) )
2 retop 18270 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
3 iooretop 18275 . . . 4  |-  (  -oo (,) A )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
4 iooretop 18275 . . . 4  |-  ( B (,)  +oo )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
5 unopn 16649 . . . 4  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  (  -oo (,) A )  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  ( B (,)  +oo )  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  -> 
( (  -oo (,) A )  u.  ( B (,)  +oo ) )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
)
62, 3, 4, 5mp3an 1277 . . 3  |-  ( ( 
-oo (,) A )  u.  ( B (,)  +oo ) )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
71, 6syl6eqel 2371 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( RR  \  ( A [,] B ) )  e.  ( topGen `  ran  (,) ) )
8 iccssre 10731 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
9 uniretop 18271 . . . 4  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
109iscld2 16765 . . 3  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( A [,] B )  C_  RR )  ->  ( ( A [,] B )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
)  <->  ( RR  \ 
( A [,] B
) )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
) )
112, 8, 10sylancr 644 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A [,] B )  e.  (
Clsd `  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  <->  ( RR  \  ( A [,] B
) )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
) )
127, 11mpbird 223 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1684    \ cdif 3149    u. cun 3150    C_ wss 3152   ran crn 4690   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736    +oocpnf 8864    -oocmnf 8865   (,)cioo 10656   [,]cicc 10659   topGenctg 13342   Topctop 16631   Clsdccld 16753
This theorem is referenced by:  cnmpt2pc  18426  cvmliftlem10  23825  icccmpALT  26565
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-ioo 10660  df-icc 10663  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-cld 16756
  Copyright terms: Public domain W3C validator