MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icccld Structured version   Unicode version

Theorem icccld 18793
Description: Closed intervals are closed sets of the standard topology on  RR. (Contributed by FL, 14-Sep-2007.)
Assertion
Ref Expression
icccld  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )

Proof of Theorem icccld
StepHypRef Expression
1 difreicc 11020 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( RR  \  ( A [,] B ) )  =  ( (  -oo (,) A )  u.  ( B (,)  +oo ) ) )
2 retop 18787 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
3 iooretop 18792 . . . 4  |-  (  -oo (,) A )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
4 iooretop 18792 . . . 4  |-  ( B (,)  +oo )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
5 unopn 16968 . . . 4  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  (  -oo (,) A )  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  ( B (,)  +oo )  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  -> 
( (  -oo (,) A )  u.  ( B (,)  +oo ) )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
)
62, 3, 4, 5mp3an 1279 . . 3  |-  ( ( 
-oo (,) A )  u.  ( B (,)  +oo ) )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
71, 6syl6eqel 2523 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( RR  \  ( A [,] B ) )  e.  ( topGen `  ran  (,) ) )
8 iccssre 10984 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
9 uniretop 18788 . . . 4  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
109iscld2 17084 . . 3  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( A [,] B )  C_  RR )  ->  ( ( A [,] B )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
)  <->  ( RR  \ 
( A [,] B
) )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
) )
112, 8, 10sylancr 645 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A [,] B )  e.  (
Clsd `  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  <->  ( RR  \  ( A [,] B
) )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
) )
127, 11mpbird 224 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725    \ cdif 3309    u. cun 3310    C_ wss 3312   ran crn 4871   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   RRcr 8981    +oocpnf 9109    -oocmnf 9110   (,)cioo 10908   [,]cicc 10911   topGenctg 13657   Topctop 16950   Clsdccld 17072
This theorem is referenced by:  cnmpt2pc  18945  cvmliftlem10  24973  mblfinlem  26234  icccmpALT  26541
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-ioo 10912  df-icc 10915  df-topgen 13659  df-top 16955  df-bases 16957  df-cld 17075
  Copyright terms: Public domain W3C validator